2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:9.5 古典概型、几何概型
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1、第五节 古典概型、几何概型 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的热点,常以选择题和填空题的形式出现,主要考 查古典概型,与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知 识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计 案例的综合,求解时要掌握古典概型和几何概型的应用条件和 计算公式 本节通过古典概型和几何 概型考查考生的数学运算、 数学建模等核心素养 授课提示:对应学生用书第 215 页 知识点一 古典概型 1古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性 (2)每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性 2古典概型概率公式 P(A)A包含的基本事件的个数 基本事件的
2、总数 m n 温馨提醒 1在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视他们是否是等可能的 2概率的一般加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)中,易忽视只有当 AB, 即 A,B 互斥时,P(AB)P(A)P(B) ,此时 P(AB)0 1从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的概率为 ( ) A06 B05 C04 D03 解析:设 2 名男同学为 a,b,3 名女同学为 A,B,C,从中选出两人的情形有(a,b) , (a, A) , (a,B) , (a,C) , (b,A) , (b,B) , (b,C) , (A,B)
3、 , (A,C) , (B,C) ,共 10 种, 而都是女同学的情形有(A,B) , (A,C) , (B,C) ,共 3 种,故所求概率为 3 1003 答案:D 2袋中装有 6 个白球,5 个黄球,4 个红球从中任取一球,则取到白球的概率为_ 解析: 从袋中任取一球, 有 15 种取法, 其中取到白球的取法有 6 种, 则所求概率为 P 6 15 2 5 答案:2 5 3 (易错题)从某班 5 名学生(其中男生 3 人,女生 2 人)中任选 3 人参加学校组织的社会 实践活动,则所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为_ 解析:采用间接法,从某班 5 名学生中任选 3 人共有 10 种选
4、法,3 名学生全为男生的有 1 种 选法至少有 1 名女生的对立事件是没有女生,即全为男生,所以所求概率 P1 1 10 9 10 答案: 9 10 知识点二 几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型 (2)特点:无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; 等可能性:每个结果的发生具有等可能性 (3)公式: P(A) 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成区域长度(面积或体积) 温馨提醒 易混淆几何概型与古典概型,两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的,不同之处是 几
5、何概型的试验结果的个数是无限的,古典概型中试验结果的个数是有限的 1在线段0,3上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为_ 解析:坐标小于 1 的区间为0,1) ,长度为 1,0,3的区间长度为 3,故所求概率为1 3 答案:1 3 2设不等式组 0 x2, 0y2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原 点的距离大于 2 的概率为_ 解析:如图所示,正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D,且区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4因此满足条件的概率是4 4 1 4 答案:1 4
6、授课提示:对应学生用书第 216 页 题型一 几何概型 考法(一) 与长度、角度有关的几何概型 例 1 (1)从区间2,2中随机选取一个实数 a,则函数 f(x)4xa 2x 11 有零点的 概率是( ) A1 4 B1 3 C1 2 D2 3 解析 令 t2x, 函数有零点就等价于方程 t22at10 有正根, 进而可得 0 t1t20 t1t20 a1, 又 a2,2,所以函数有零点的实数 a 应满足 a1,2,故 P1 4 答案 A (2)如图,扇形 AOB 的圆心角为 120 ,点 P 在弦 AB 上,且 AP1 3AB,延长 OP 交弧 AB 于 点 C,现向扇形 AOB 内投一点,
7、则该点落在扇形 AOC 内的概率为_ 解析 设 OA3,则 AB3 3,所以 AP 3,由余弦定理可求得 OP 3,AOP30 , 所以扇形 AOC 的面积为3 4 ,扇形 AOB 的面积为 3,从而所求概率为 3 4 3 1 4 答案 1 4 1与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,可直接用概率的计算公式求解 2与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率, 且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段 考法(二) 与体积有关的几何概型 例 2 如图,正四棱锥 S- ABCD 的顶点都在球面上,球心 O
8、 在平面 ABCD 上,在球 O 内任取 一点,则这点取自正四棱锥内的概率为_ 解析 设球的半径为 R,则所求的概率为 PV 锥 V球 1 3 1 22R2RR 4 3R 3 1 2 答案 1 2 与体积有关的几何概型的求法 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事 件空间) ,对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解 考法(三) 与面积有关的几何概型 例 3 (1) (2021 长沙联考)如图,在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆 锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向 鱼缸内随机地投入一粒鱼食,
9、则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( ) A1 4 B 12 C 4 D1 12 解析 鱼缸底面正方形的面积为 224,圆锥底面圆的面积为 所以“鱼食能被鱼缸内的 圆锥外面的鱼吃到”的概率是 1 4 答案 A (2)已知实数 m0,1,n0,2,则关于 x 的一元二次方程 4x24mxn22n0 有实 数根的概率是( ) A1 4 B 4 C3 2 D 21 解析 关于 x 的一元二次方程 4x24mxn22n0 有实数根, 16m216 (n22n) 0 得 m2(n1)21,如图所示,长方形面积为 2,扇形面积为 2,图中白色部分是满足题意 的点集合区域,故概率为 2 2 2
10、1 4 答案 A 解决与面积有关的几何概型问题,其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域 面积,其解题流程为: 题组突破 1 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案, 展现了一种相互转化, 相对统一的形式美 按 照太极图的构图方法,在如图所示的平面直角坐标系中,圆 O 被函数 y3sin 6x 的图像分割 为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为 1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部 分的概率为( ) A 1 36 B 1 18 C 1 12 D1 9 解析:根据题意,大圆的直径为函数 y3sin 6x 的最小正周期 T,又 T 2 6 12,所以大圆的 面积 S 12 2 2
11、 36,一个小圆的面积 S12,故在大圆内随机取一点,此点取自阴影 部分的概率为 P2S S 2 36 1 18 答案:B 2 (2021 江西九江模拟)星期一,小张下班后坐公交车回家,公交车有 1,10 两路每路车 都是间隔 10 分钟一趟,1 路车到站后,过 4 分钟 10 路车到站不计停车时间,则小张坐 1 路 车回家的概率是( ) A1 2 B1 3 C2 5 D3 5 解析: 由题意可知小张下班后坐 1 路公交车回家的时间段是在 10 路车到站与 1 路车到站之间, 共 6 分钟设“小张坐 1 路车回家”为事件 A,则 P(A) 6 10 3 5 答案:D 3记函数 f(x) 6xx
12、2的定义域为 D,在区间4,5上随机取一个数 x,则 xD 的 概率是_ 解析:由 6xx20,解得2x3,则 D2,3,则所求概率为3(2) 5(4) 5 9 答案:5 9 4(2021 太原五中模拟) 已知四棱锥 P- ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上, PA底面 ABCD, 底面 ABCD 为正方形,PAAB2现在球 O 的内部任取一点,则该点取自四棱锥 P- ABCD 内部的概率为_ 解析:把四棱锥 P- ABCD 扩展为正方体,则正方体的体对角线的长是外接球的直径 R,即 2 3 2R,R 3,则四棱锥的体积为1 3222 8 3,球的体积为 4 3( 3) 34 3,则该点
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