2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:9.2 排列与组合
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1、第二节 排列与组合 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的高考来看,本节内容是命题的热点,主要 考查排列与组合的综合应用,分组分配问题是命题热 点,多为选择题、填空题,难度中等偏下 本节内容主要通过排列、组合的应用 考查逻辑推理核心素养 授课提示:对应学生用书第 205 页 知识点一 排列与排列数 1排列与排列数 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 Am n 2排列数
2、公式及性质 (1)排列数公式 Am nn(n1) (n2)(nm1) n! (nm)!(m、nN 且 mn) (2)性质:Annn! ; 0!1 16 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A144 B120 C72 D24 解析:“插空法”,先排 3 个空位,形成 4 个空隙供 3 人选择就座,因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A3443224 答案:D 2用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A8 B24 C48 D120 解析:末位数字排法有 A12种,其他位置排法有 A34种,共有 A12A3448 种排法,所以偶数的个
3、 数为 48 答案:C 知识点二 组合与组合数 1组合与组合数 (1)组合 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合 (2)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数,记作 Cm n 2组合数的公式及性质 (1)组合数公式 Cm nA m n Am m n(n1)(nm1) m! n! m!(nm)!(n、mN 且 mn) (2)组合数性质 C0n1; Cm n C nm n; Cm nC m1 n Cm n1 温馨提醒 二级结论 与组合数相关的几个公
4、式 (1)C0nC1nCnn2n(全组合公式) (2)Cm nC m n1C m m1C m mC m1 n1 (3)kCknnCk 1 n1 必明易错 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关, 组合问题与顺序无关 1从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( ) A18 B24 C30 D36 解析:选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C24C1318(种) ,选出的 3 人中有 1 名 男同学 2 名女同学的方法有 C14C2312 (种) , 故 3 名学生中男女生都有的选法有 C2
5、4C13C14C23 30(种) 答案:C 2 (易错题)用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不在左、右两端,2,4, 6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( ) A423 B288 C216 D144 解析:若 2,4 相邻,把 2,4 捆绑在一起,与另外四个数排列(相当于 5 个元素排列) ,1 不 在左、右两侧,则六位数的个数为 2C13A44144,同理 2,4 与 6 相邻的有 A2222A33 48(个) ,所以只有 2,4 相邻的有 1444896(个) ,全部符合条件的六位数有 963288 (个) 答案:B 3从 6 台原装计算
6、机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装计算机和组装计算 机各 2 台,则不同的取法有 种 解析:分两类:第一类,取 2 台原装计算机与 3 台组装计算机,有 C26C35种方法;第二类,取 3 台原装计算机与 2 台组装计算机, 有 C36C25种方法 所以满足条件的不同取法有 C26C35C36C25 350(种) 答案:350 授课提示:对应学生用书第 206 页 题型一 排列应用问题 例 3 名女生和 5 名男生排成一排 (1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法? (2)如果女生都不相邻,有多少种排法? (3)如果女生不站两端,有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前
7、面(可不相邻) ,有多少种排法? (5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法? 解析 (1) (捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一 起有 6 个元素,排成一排有 A66种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有 A33种排法,因 此共有 A66 A334 320 种不同排法 (2) (插空法)先排 5 个男生,有 A55种排法,这 5 个男生之间和两端有 6 个位置,从中选取 3 个位置排女生,有 A36种排法,因此共有 A55 A3614 400 种不同排法 (3)法一: (位置分析法)因为两端不排女生,只能从 5 个男生中选 2 人排列,有 A25种排
8、法, 剩余的位置没有特殊要求,有 A66种排法,因此共有 A25 A6614 400 种不同排法 法二: (元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生,有 A36种排法,其余位置无限制,有 A55种排法,因此共有 A36 A5514 400 种不同排法 (4)8 名学生的所有排列共 A88种,其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中1 2,符合要求 的排法种数为1 2A 8 820 160(种) (5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置 法一: (特殊元素法)甲在最右边时,其他的可全排,有 A77种;甲不在最右边时,可从余下 6 个位置中任选一个,有 A16种而乙可排在除去最右边位置后剩
9、余的 6 个中的任一个上,有 A16 种, 其余人全排列, 共有 A16 A16 A66种 由分类加法计数原理, 共有 A77A16 A16 A6630 960 (种) 法二: (特殊位置法)先排最左边,除去甲外,有 A17种,余下 7 个位置全排,有 A77种,但应 剔除乙在最右边时的排法 A16 A66种,因此共有 A17 A77A16 A6630 960(种) 法三: (间接法)8 个人全排,共 A88种,其中,不合条件的有甲在最左边时,有 A77种,乙在最 右边时,有 A77种,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形,有 A66种因此共有 A882A77A6630 960(种)
10、解决排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同时注意捆 绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在 前面元素排列的空中 消序法 定序问题消序(除法)处理的方法,可先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元 素的全排列 题组突破 1 (2021 合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行 A,B,C,D,E,F 六项 不同的任务,要求是:任务 A 必须排在前三项执行,且执行任务 A 之后需立即执行任务 E, 任务 B,C 不能相邻,则不同的执行方案共有(
11、 ) A36 种 B44 种 C48 种 D54 种 解析:由题意知任务 A,E 必须相邻,且只能安排为 AE,由此分三类完成: (1)当 AE 排第一、 二位置时,用表示其他任务,则顺序为 AE,余下四项任务,先全排 D,F 两项任 务,然后将任务 B,C 插入 D,F 两项任务形成的三个空隙中,有 A22A23种方法 (2)当 AE 排 第二、三位置时,顺序为AE,余下四项任务又分为两类:B,C 两项任务中一项排 第一位置,剩余三项任务排在后三个位置,有 A12A33种方法;D,F 两项任务中一项排第一位 置,剩余三项任务排在后三个位置,且任务 B,C 不相邻,有 A12A22种方法 (3
12、)当 AE 排第三、 四位置时,顺序为AE,第一、二位置必须分别排来自 B,C 和 D,F 中的一个,余下 两项任务排在后两个位置,有 C12C12A22A22种方法,根据分类加法计数原理知不同的执行方案共 有 A22A23A12A33A12A22C12C12A22A2244(种) 答案:B 2 (2021 昆明高三质检)数字“2015”中,各位数字相加和为 8,称该数为“如意四位数”, 则用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”的个数为 _ (用数字作答) 解析:由数字 0,1,2,5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”首位数字必为
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