2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.9 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
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1、第九节 圆锥曲线的综合问题 命题分析预测 学科核心素养 直线与圆锥曲线的综合应用问题(特别是一些经典问题, 如:定值与定点、最值与取值范围、探索性问题)一直是 高考热点问题常常与向量、圆等知识交汇在一起命题, 多以解答题形式出现,难度较大 本节通过圆锥曲线的综合应用 考查数学运算、逻辑推理等核心 素养 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 授课提示:对应学生用书第 191 页 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 AxByC0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)0,消去 y(或消去 x)得到一个关于变量
2、x(或变量 y) 的一元二次方程, 即 AxByC0, F(x,y)0. 消去 y,得 ax2bxc0 (1)当 a0 时,设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为 ,则 0直线与圆锥曲线 C 相交; 0直线与圆锥曲线 C 相切; 0直线与圆锥曲线 C 相离 (2)当 a0,b0 时, 即得到一个一次方程, 则直线 l 与圆锥曲线 C 相交, 且只有一个交点, 此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线,则直 线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 温馨提醒 1直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双
3、曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点 2直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一 点 1直线 ykxk1 与椭圆x 2 9 y2 41 的位置关系为( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 解析:直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1) 又点(1,1)在椭圆内部,故直 线与椭圆相交 答案:A 2过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析:过(0,1)与抛物线 y24x 相切的直线有 2 条,过(0,1)与对称轴平行的直线有一 条,这三条直线与抛物线都只有一个公
4、共点 答案:C 3 (易错题)直线 yb ax3 与双曲线 x2 a2 y2 b21 的交点个数是( ) A1 B2 C1 或 2 D0 解析:因为直线 yb ax3 与双曲线的渐近线 y b ax 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点 答案:A 知识点二 弦长公式 设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 (x1x2)24x1x2 11 k2 |y1y2| 11 k2 (y1y2) 24y 1y2 1 (2021 张掖市高三诊断) 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线
5、交于 A, B 两点, 若 A, B 两点的横坐标之和为10 3 ,则|AB|( ) A13 3 B14 3 C5 D16 3 解析:过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|px1x2p2,|AB|210 3 16 3 答案:D 2已知椭圆的方程是 x22y240,则以 M(1,1)为中点的弦所在直线方程是_ 解析:设过 M(1,1)点的方程为 ykxb,则有 kb1,即 b1k,即 ykx(1k) , 联立方程组 x22y240, ykx(1k),则有 (12k 2) x2 (4k4k2) x (2k24k2) 0, 所以x1x2 2 1 2 4k24k 12k2 1,解得 k1 2,故 b 3
6、2,所以 y 1 2x 3 2,即 x2y30 答案:x2y30 授课提示:对应学生用书第 192 页 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 1若直线 ykx2 与抛物线 y2x 有一个公共点,则实数 k 的值为( ) A1 8 B0 C1 8或 0 D8 或 0 解析:由 ykx2, y2x 得 ky2y20,若 k0,直线与抛物线有一个交点,则 y2, 若 k0,则18k0,k1 8, 综上可知 k0 或1 8 答案:C 2已知直线 ykxt 与圆 x2(y1)21 相切且与抛物线 C:x24y 交于不同的两点 M, N,则实数 t 的取值范围是( ) A (,3)(0,) B (,2)
7、(0,) C (3,0) D (2,0) 解析:因为直线与圆相切,所以 |t1| 1k21,即 k 2t22t将直线方程代入抛物线方程并整理 得 x24kx4t0,于是 16k216t16(t22t)16t0,解得 t0 或 t3 答案:A 3若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( ) A 15 3 , 15 3 B 0, 15 3 C 15 3 ,0 D 15 3 ,1 解析:由 ykx2, x2y26 得(1k2)x24kx100设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1, y1) ,B(x2,y2) , 则 1k20, 16k24(1k2)(
8、10)0, x1x2 4k 1k20, x1x2 10 1k20, 解得 15 3 k1,即 k 的取值范围是 15 3 ,1 答案:D 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x,y 的方程组,消去 y(或 x)得一 元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标 几何法 即画出直线与圆锥曲线的图像,根据图像判断公共点个数 题型二 直线与圆锥曲线位置关系的基本应用 直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等 考法(一) 弦长与方程问题 例 1 (2021 贵阳摸底)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0
9、)的离心率为 2 2 ,F1,F2分别是 椭圆 C 的左、右焦点,椭圆 C 的焦点 F1到双曲线x 2 2y 21 的渐近线的距离为 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l:ykxm(k0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,以线段 AB 为直径的圆经过点 F2, 且原点 O 到直线 l 的距离为2 5 5 ,求直线 l 的方程 解析 (1)椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ,c a 2 2 又双曲线x 2 2y 21 的其中一条渐近线方程为 x 2y0,椭圆 C 的焦点 F 1(c,0) , |c| 12 3 3 ,解得 c1, a 2,b1, 椭圆
10、C 的标准方程为x 2 2y 21 (2)由(1)知 F2(1,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由原点 O 到直线 l:ykxm(k0)的距离为2 5 5 , 得 |m| 1k2 2 5 5 , 即 m24 5(1k 2) 将 ykxm 代入x 2 2y 21,得(12k2)x24kmx2m220, 16k2m24(12k2) (2m22)8(2k2m21)0, x1x2 4km 12k2,x1x2 2m22 12k2 又以线段 AB 为直径的圆经过点 F2,F2A F2B 0, 即(x11) (x21)y1y20, (x11) (x21)(kx1m) (kx2m)0,
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