2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.8 曲线与方程
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1、第八节 曲线与方程 命题分析预测 学科核心素养 应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程 是本节的命题热点,题型以解答题为主,难度中等偏上,考 查知识点较多,能力要求较高 本节通过曲线与方程的求法考 查数学建模、直观想象、数学 抽象等核心素养 授课提示:对应学生用书第 188 页 知识点一 曲线与方程 1曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)0 的实数解 建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线 叫做方程的曲线 2求动点轨迹方程的一般步骤
2、 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p(M); (3)用坐标表示条件 p(M) ,列出方程 f(x,y)0; (4)化方程 f(x,y)0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 温馨提醒 轨迹问题应区分是“求轨迹”,还是“求轨迹方程”一般来说,若是“求轨迹方程”,求 到方程就可以了;若是“求轨迹”,求到方程还不够,还应指出方程所表示的曲线的类型有 时候,问题仅要求指出轨迹的类型,如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知 识指出轨迹是什么曲线,则可不求轨迹方程 1已知点
3、 F 1 4,0 ,直线 l:x 1 4,点 B 是 l 上的动点,若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 解析:由已知|MF|MB|,根据抛物线的定义知,点 M 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线 的抛物线 答案:D 2已知O 的方程为 x2y24,过 M(4,0)的直线与O 交于 A,B 两点,则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为( ) A (x2)2y24 B (x2)2y24 C (x2)2y24(0 x1) D (x2)2y24(1x0) 解析:根据垂径定理知:OPPM,所以 P 点轨迹是
4、以 OM 为直径的圆且在O 内的部分以 OM 为直径的圆的方程为(x2)2y24,它与O 的交点为(1, 3) 结合图形可知所 求轨迹方程为(x2)2y24(0 x1) 答案:C 3 (易错题)设定点 F1(0,3) ,F2(0,3) ,动点 P 满足条件|PF1|PF2|a9 a(a0) , 则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C线段 D椭圆或线段 解析:a9 a2 a 9 a6(a0) 当 a3 时,a9 a6,此时|PF1|PF2|F1F2|, P 点的轨迹为线段 F1F2, 当 a3,a0 时,|PF1|PF2|F1F2| 由椭圆定义知 P 点的轨迹为椭圆 答案:D 4 平面上
5、有三点 A (2, y) , B 0,y 2 , C (x, y) , 若AB BC, 则动点 C 的轨迹方程为_ 解析:AB 2,y 2 ,BC x,y 2 AB BC, AB BC0,得 2 xy 2 y 20,得 y 28x 答案:y28x 授课提示:对应学生用书第 189 页 题型一 直接法求轨迹方程 例 (1)已知 A(1,0) ,B(1,0)两点,过动点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,若MN 2 AN NB,则当 0 时,动点 M 的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 (2)与 y 轴相切且与圆 C:x2y26x0 相外切的圆的圆心的轨迹方程为_ 解析 (1)设 M
6、(x,y) ,则 N(x,0) ,所以MN 2y2,AN NB (x1,0) (1x,0) (1x2) ,所以 y2(1x2) ,即 x2y2,变形为 x2y 2 1,所以当 0 时,动点 M 的轨迹为双曲线 (2)若动圆在 y 轴右侧,设与 y 轴相切,且与圆 x2y26x0 外切的圆的圆心为 P(x,y) (x0) ,则半径长为|x|,因为圆 x2y26x0 的圆心为(3,0) ,所以 (x3)2y2|x| 3,则 y212x(x0) ,若动圆在 y 轴左侧,则 y0,即圆心的轨迹方程为 y212x(x0) 或 y0(x0) 答案 (1)C (2)y212x(x0)或 y0(x0) 利用直
7、接法求轨迹方程的方法及注意点 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简 (2)运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗 漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略 对点训练 设点 A 为圆 (x1) 2y21 上的动点, PA 是圆的切线, 且|PA|1, 则点 P 的轨迹方程是 ( ) Ay22x B (x1)2y24 Cy22x D (x1)2y22 解析:如图,设 P(x,y) ,圆心为 M(1,0) ,连接 MA,则 MAPA,且|MA|1,又因为|P
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