2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.5 椭圆
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1、第五节 椭圆 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以 及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点,直线与椭圆的 位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查,多以解答题的 形式出现,难度中等偏上 本节主要考查考生的数学 运算、直观想象核心素养 及考生对数形结合思想、 转化与化归思想的应用 授课提示:对应学生用书第 177 页 知识点一 椭圆的定义 平面内到两定点 F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两定点 F1, F2叫做椭圆的焦点 集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a0,c0,且 a,c 为常数
2、 (1)当 2a|F1F2|时,P 点的轨迹是椭圆 (2)当 2a|F1F2|时,P 点的轨迹是线段 (3)当 2a|F1F2|这一条件,当 2a|F1F2|时,其轨迹为线段 F1F2,当 2ab0) 1设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若F1PF2为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A 2 2 B 21 2 C2 2 D 21 解析:由题意可知,|PF2|2c,|PF1|2 2c 因为|PF1|PF2|2a,2c2 2c2a, 解得c a 21 答案:D 2 (易错题)若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为 (
3、 ) Ax 2 5y 21 Bx 2 4 y2 51 Cx 2 5y 21 或x 2 4 y2 51 D以上答案都不对 解析:直线与坐标轴的交点为(0,1) , (2,0) , 由题意知当焦点在 x 轴上时,c2,b1, a25,所求椭圆的标准方程为x 2 5y 21 当焦点在 y 轴上时,b2,c1, a25,所求椭圆标准方程为y 2 5 x2 41 答案:C 3椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4,则 m_ 解析:当焦点在 x 轴上时,10mm20,10m(m2)4,所以 m4当焦点在 y 轴上时,m210m0,m2(10m)4,所以 m8所以 m4 或 8 答案:4 或 8 授
4、课提示:对应学生用书第 178 页 题型一 椭圆的定义与标准方程 1已知ABC 的顶点 B,C 在椭圆x 2 3y 21 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一 个焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是( ) A2 3 B6 C4 3 D12 解析:由椭圆的方程得 a 3设椭圆的另一个焦点为 F,则由椭圆的定义得|BA|BF|CA| |CF|2a,所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|) (|CF|CA|)2a2a4a4 3 答案:C 2设 P 是椭圆x 2 25 y2 91 上一点,M,N 分别是两圆: (x4) 2y21 和(x4)2y21
5、 上的点,则|PM|PN|的最小值,最大值分别为( ) A9,12 B8,11 C8,12 D10,12 解析:如图所示,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10,易知 |PM|PN|(|PM|MF1|)(|PN|NF2|)2,则其最小值为|PF1|PF2|28,最大值 为|PF1|PF2|212 答案:C 3 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴, 经过点 (2, 0) , 长轴长是短轴长的 2 倍, 则椭圆的方程为 ( ) Ax 2 4y 21 By 2 16 x2 41 Cx 2 4y 21 或y 2 16 x2 41 Dx 2 4y 21 或y 2 4x 21
6、解析:由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍,即有 a2b,又椭圆经过点(2,0) ,则若焦点在 x 轴上,则 a2,b1,椭圆方程为x 2 4y 21;若焦点在 y 轴上,则 a4,b2,椭圆方程为 y2 16 x2 41 答案:C 1椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是 当 P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点 F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义 可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1| |PF2|,通过整体代入可求其面积等 2求椭圆方程的常用方法 (1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义 (2)待定系
7、数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a,b当 不知焦点在哪一个坐标轴上时, 一般可设所求椭圆的方程为 mx2ny21 (m0, n0, mn) , 再用待定系数法求出 m,n 的值即可 题型二 椭圆的几何性质 例 (1)已知 F1,F2分别为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左,右焦点,点 P 是椭圆上位于 第一象限的点, 延长 PF2交椭圆于点 Q, 若 PF1PQ, 且|PF1|PQ|, 则椭圆的离心率为 ( ) A2 2 B 3 2 C 21 D 6 3 解析 设|PF1|PQ|m(m0) ,则|PF2|2am,|QF2|2m2a,|QF1|4a2m由
8、题 意知PQF1为等腰直角三角形,所以|QF1| 2|PF1|,故 m4a2 2a因为|PF1|2|PF2|2 |F1F2|24c2,所以(4a2 2a)22a(4a2 2a)24c2,整理得 4(c a) 23624 2, 即c a 96 2 6 3 答案 D (2)已知椭圆 mx24y21 的离心率为 2 2 ,则实数 m 等于( ) A2 B2 或8 3 C2 或 6 D2 或 8 解析 显然 m0 且 m4,当 0m4 时,椭圆长轴在 x 轴上,则 1 m 1 4 1 m 2 2 ,解得 m 2;当 m4 时,椭圆长轴在 y 轴上,则 1 4 1 m 1 4 2 2 ,解得 m8 答案
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