2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.6 抛物线
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1、第六节 抛物线 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看,抛物线的定义、标准方程、几何 性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点,常以 选择题和填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以 解答题的形式出现 本节主要考查考生的转化与化 归思想的运用,提升考生数学 运算、直观想象核心素养 授课提示:对应学生用书第 181 页 知识点一 抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内; (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等; (3)定点不在定直线上 温馨提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹 是过
2、定点且与直线垂直的直线 1抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 解析:设 P(x1,y1) ,则|PF|x125,y218x1,所以 x13,y1 2 6故满足条件的点 P 有两个 答案:C 2 (易错题)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 _ 解析:抛物线 y28x 的准线方程 x2,因为点 P 到 y 轴的距离为 4,所以点 P 到准线的距 离为 6,由抛物线定义知点 P 到焦点的距离为 6 答案:6 知识点二 抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y22px (p0)
3、 y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p 2,0 F p 2,0 F 0,p 2 F 0,p 2 离心率 e1 续表 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0,y0) ) |PF|x0p 2 |PF|x0 p 2 |PF|y0p 2 |PF|y0 p 2 温馨提醒 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点 F
4、 的弦, 若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则: (1)x1x2p 2 4 ,y1y2p2 (2)弦长|AB|x1x2p 2p sin2( 为弦 AB 的倾斜角) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p 1 (易错题)抛物线 yax2的准线方程是 y1,则 a 的值为( ) A1 4 B1 4 C4 D4 解析:由题意知抛物线的标准方程为 x21 ay,所以准线方程 y 1 4a1,解得 a 1 4 答案:B 2过点 P(2,3)的抛物线的标准方程是( ) Ay29 2x 或 x 24 3y By29 2x 或 x 24 3y Cy29
5、 2x 或 x 24 3y Dy29 2x 或 x 24 3y 解析:设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my,代入点 P(2,3) ,解得 k9 2,m 4 3, 所以 y29 2x 或 x 24 3y 答案:A 3过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)两点,如果 x1x26, 则|PQ|_ 解析: 抛物线 y24x 的焦点为 F (1, 0) , 准线方程为 x1 根据题意可得, |PQ|PF|QF| x11x21x1x228 答案:8 授课提示:对应学生用书第 182 页 题型一 抛物线的标准方程及几何性质 1 (2021 宜春联考)已
6、知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,点 M 是抛物线 C 上一点, 圆 M 与 y 轴相切,且被直线 xp 2截得的弦长为 2p,若|MF| 5 2,则抛物线的方程为( ) Ay24x By22x Cy28x Dy2x 解析:设圆 M 与 y 轴相切于点 N,直线 xp 2与圆 M 交于 A,B 两点,如图所示,设 M(x0, y0) ,则|MN|MA|MB|x0,|AB| 2p,所以 2 2 p 2 x0p 2 2 x20,解得 x03 4p,由抛物 线的定义知,|MF|x0p 2,因为|MF| 5 2,所以 5 2 3 4p 1 2p,即 p2,所以抛物线方程为 y 2 4x 答
7、案:A 2已知抛物线 C:y28x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若FP 4FQ ,则|QF|( ) A7 2 B5 2 C3 D2 解析:因为FP 4FQ ,所以|PQ| |PF| 3 4如图,过 Q 作 QQl,垂足为 Q,设 l 与 x 轴的交点为 A,则|AF|4,所以|PQ| |PF| |QQ| |AF| 3 4所以|QQ|3,根据抛物线定义可知|QQ|QF|3 答案:C 3 (2021 辽宁五校联考)抛物线 C:y24x 的焦点为 F,N 为准线上一点,M 为 y 轴上一点, MNF 为直角,若线段 MF 的中点 E 在抛物线
8、 C 上,则MNF 的面积为( ) A 2 2 B 2 C3 2 2 D3 2 解析:如图所示,不妨设点 N 在第二象限,连接 EN,易知 F(1,0) ,因为MNF 为直角, 点 E 为线段 MF 的中点,所以|EM|EF|EN|,又 E 在抛物线 C 上,所以 ENl,E 1 2, 2 , 所以 N(1, 2) ,M(0,2 2) ,所以|NF| 6,|NM| 3,所以MNF 的面积为3 2 2 答案:C 4 (2020 高考全国卷)设 O 为坐标原点,直线 x2 与抛物线 C:y22px(p0)交于 D, E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为( ) A 1 4,0 B 1 2,0
9、 C (1,0) D (2,0) 解析:法一:抛物线 C 关于 x 轴对称,D,E 两点关于 x 轴对称可得出直线 x2 与抛 物线的两交点的坐标分别为(2,2 p) , (2,2 p) 不妨设 D(2,2 p) ,E(2,2 p) , 则OD (2,2 p) ,OE (2,2 p) 又ODOE,OD OE 44p0,解得 p1, C 的焦点坐标为 1 2,0 法二:抛物线 C 关于 x 轴对称,D,E 两点关于 x 轴对称ODOE,D,E 两点横、 纵坐标的绝对值相等不妨设点 D(2,2) ,将点 D 的坐标代入 C:y22px,得 44p,解得 p1,故 C 的焦点坐标为 1 2,0 答案
10、:B 1求抛物线方程的三个注意点 (1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种 (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系 (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题 2运用抛物线几何性质的技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称 轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性 题型二 抛物线的定义及应用 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等常见的命题角度有: (1)焦点与定点距离之和最小问题; (2)点与准线的距离之和最小问题; (3
11、)焦点弦中距离 之和最小问题 考法(一) 焦点与定点距离之和最小问题 例 1 (2021 赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 是抛物线 y22x 的焦点,点 M 在抛物 线上移动时,使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为( ) A (0,0) B 1 2,1 C (1, 2) D (2,2) 解析 过 M 点作准线的垂线,垂足是 N(图略) ,则|MF|MA|MN|MA|,当 A,M,N 三点共线时,|MF|MA|取得最小值,此时 M(2,2) 答案 D 考法(二) 点与准线的距离之和最小问题 例 2 (2021 邢台摸底)已知 M 是抛物线 x24y 上一点,F 为其焦点,点
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