2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.2 两直线的位置关系
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1、第二节 两直线的位置关系 命题分析预测 学科核心素养 本节内容单独考查较少,多与其他知识交汇考查常涉及充 要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容,多为选择题 通过两直线的位置关系、对称 问题的考查,提升数学运算核 心素养 授课提示:对应学生用书第 167 页 知识点一 两直线的位置关系 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1l2k1k2特别地,当直线 l1, l2的斜率都不存在时,l1与 l2平行 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2斜率都存在,设为 k1,k2,则 l1l2k1k21,当一条直线斜率为零,
2、 另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直 2两直线相交 直线 l1: A1xB1yC10 和 l2: A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解一一对应 相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行方程组无解; 重合方程组有无数个解 温馨提醒 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一 条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况 1 已知过点 A (2, m) 和 B (m, 4) 的直线与直线 2xy10 平行, 则实数 m 的值为 ( ) A0 B8 C2 D10 解析:由题意知 4m m(2)2
3、,解得 m8 答案:B 2已知 P(2,m) ,Q(m,4) ,且直线 PQ 垂直于直线 xy10,则 m( ) A1 B2 C3 D4 解析:由题意知 m4 2m1,所以 m42m,所以 m1 答案:A 3 (易错题)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则 m( ) A2 B3 C2 或3 D3 解析:直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则有2 m m1 3 4 2,故 m2 或3 答案:C 知识点二 距离公式 1两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2 特别地,原点
4、O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP| x2y2 2点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线 l:AxByC0 的距离 d|Ax0By0C| A2B2 3两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线 l1:AxByC10,l2:AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2 温馨提醒 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x,y 的系数分别相等这一条件,盲目套用 公式导致出错 1已知点(a,2) (a0)到直线 l:xy30 的距离为 1,则 a( ) A 21 B 21 C2 2 D 22 解析:由题意得|a23| 11 1, 解得 a1 2或 a
5、1 2因为 a0,所以 a1 2 答案:A 2直线 2x2y10,xy20 之间的距离是( ) A4 2 3 B3 2 4 C2 3 3 D3 3 4 解析:先将 2x2y10 化为 xy1 20, 则两平行线间的距离为 d |21 2| 2 3 2 4 答案:B 授课提示:对应学生用书第 168 页 题型一 两直线的位置关系 1 (2021 济南模拟)“m3”是“直线 l1:2(m1)x(m3)y75m0 与直线 l2: (m3)x2y50 垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:由 l1l2得,2(m1) (m3)2(m3)0,解得 m
6、3 或 m2所以 m3 是 l1l2的充分不必要条件 答案:A 2 (2021 衡水中学一调)直线 l1: (3a)x4y53a 和直线 l2:2x(5a)y8 平行, 则 a( ) A7 或1 B7 C7 或 1 D1 解析:由题意,得 (3a)(5a)240, (3a)82(53a)0,解得 a7 答案:B 3 (2021 洛阳统一考试)已知 b0,直线(b21)xay20 与直线 xb2y10 垂直, 则 ab 的最小值为( ) A1 B2 C2 2 D2 3 解析: 由已知两直线垂直可得, (b21) ab20, 即 ab2b21, 又 b0, 所以 abb1 b 由 基本不等式得 b
7、1 b 2b 1 b2,当且仅当 b1 时等号成立,所以(ab)min2 答案:B 两直线位置关系的三种判断方法 方法 平行 垂直 适合题型 化成斜 截式 k1k2,且 b1b2 k1k21 斜率存在 一般式 设直线 l1:A1xB1yC1 0, l2: A2xB2yC20, l1l2A1B2A2B10, 且 B1C2B2C10 设直线 l1:A1xB1yC1 0, l2: A2xB2yC20, l1l2A1A2B1B20 无限制 直接法 k1与k2都不存在, 且b1b2 k1与 k2中一个不存在,另 一个为零 k 不存在 题型二 距离问题 1 (2020 高考全国卷)点(0,1)到直线 yk
8、(x1)距离的最大值为( ) A1 B 2 C 3 D2 解析:设点 A(0,1) ,直线 l:yk(x1) ,由 l 过定点 B(1,0) ,知当 ABl 时,距 离最大,最大值为 2 答案:B 2过点 P(3,1)引直线,使点 A(2,3) ,B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的 方程为( ) Ax3 B4xy130 C4xy130 Dx3 或 4xy130 解析:若直线的斜率不存在,则其方程为 x3,满足条件; 若直线的斜率存在, 设其方程为 y1k (x3) , 即 kxy3k10, 由题意得|2k33k1| k21 |4k53k1| k21 , 解得 k4, 此时直线方程为 4x
9、y130, 综上,直线的方程为 x3 或 4xy130 答案:D 3 (2021 厦门模拟)若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 13 13 ,则 c 的 值是( ) A2 B2 C2 或6 D6 解析:依题意知,6 3 a 2 c 1,解得 a4,c2,即直线 6xayc0 可化为 3x2y c 20,又两平行线之间的距离为 2 13 13 ,所以 |c 21| 32(2)2 2 13 13 ,解得 c2 或6 答案:C 4 (2021 广州模拟)已知点 P(4,a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3,则 a 的取值范 围是( ) A0,10 B (0,10) C0,
10、5 D5,10 解析:由题意得,点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 又|153a| 5 3,即|15 3a|15,解得 0a10,所以 a 的取值范围是0,10 答案:A 距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的 形状等 (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距 离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在 (3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中 x,y 的对应项系数转化成相等的形式,再利 用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题 题型三
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