2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.3 圆的方程
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1、第三节 圆的方程 命题分析预测 学科核心素养 本节是命题的热点,主要考查圆的方程,多 以选择题和填空题形式考查,难度中等 本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直 观想象核心素养 授课提示:对应学生用书第 171 页 知识点一 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准 (xa)2(yb)2r2(r0) 圆心 C(a,b) 半径为 r 一般 x2y2DxEyF0(D2E24F0) 充要条件: D2E24F0 圆心坐标: D 2, E 2 半径 r 1 2 D2E24F 温馨提醒 二元二次方程 x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是 D2E24F0,与一元二
2、次方程 ax2bxc0(a0)的判别式 b24ac 相类似,表述的都是一次项的平方和减去二次项 与常数项积的 4 倍,只有把条件理解了、记清楚了,才不会陷入命题人设置的这个“陷阱” 1若方程 x2y2mx2y30 表示圆,则 m 的取值范围是_ 解析:将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 xm 2 2 (y1)2m 2 4 2 由其表示圆可得m 2 4 20,解得 m2 2或 m2 2 答案: (,2 2)(2 2,) 2已知 aR,方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆,则圆心坐标是 ,半 径是_ 解析:由题可得 a2a2,解得 a1 或 a2当 a1 时,方程为 x2y2
3、4x8y5 0,表示圆,故圆心为(2,4) ,半径为 5当 a2 时,方程不表示圆 答案: (2,4) 5 3圆 C 的圆心在 x 轴上,并且过点 A(1,1)和 B(1,3) ,则圆 C 的方程为_ 解析:设圆心坐标为 C(a,0) , 因为点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上, 所以|CA|CB|, 即 (a1)21 (a1)29, 解得 a2, 所以圆心为 C(2,0) , 半径|CA| (21)21 10, 所以圆 C 的方程为(x2)2y210 答案: (x2)2y210 知识点二 点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0,y0)与圆 C: (xa)2(yb)2r2之间存在着
4、下列关系: (1)drM 在圆外,即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外; (2)drM 在圆上,即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上; (3)drM 在圆内,即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内 1 (2021 南昌二中月考)若坐标原点在圆(xm)2(ym)24 的内部,则实数 m 的取 值范围是( ) A (1,1) B ( 3, 3) C ( 2, 2) D 2 2 , 2 2 解析:原点(0,0)在圆(xm)2(ym)24 的内部, (0m)2(0m)24,解得 2m 2 答案:C 2若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部,则实数 a 的取值范围是_ 解析:因为点(
5、1,1)在圆内, 所以(1a)2(a1)24,即1a1 答案: (1,1) 授课提示:对应学生用书第 171 页 题型一 圆的方程求法 例 求满足下列条件的圆的方程: (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 l:xy10 相切于点 B(2,1) ; (2)已知圆 C 经过 P(2,4) ,Q(3,1)两点,且在 x 轴上截得的弦长等于 6 解析 (1)法一:由已知 kAB0, 所以 AB 的中垂线方程为 x3 过点 B 且垂直于直线 xy10 的直线方程为 y1(x2) , 即 xy30, 联立,解得 x3, y0, 所以圆心坐标为(3,0) , 半径 r (43)2(10)2 2, 所以圆
6、 C 的方程为(x3)2y22 法二:设圆方程为(xa)2(yb)2r2(r0) , 因为点 A(4,1) ,B(2,1)都在圆上, 故 (4a)2(1b)2r2, (2a)2(1b)2r2, 又因为b1 a21, 解得 a3,b0,r 2, 故所求圆的方程为(x3)2y22 (2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0) , 将 P,Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20, 3DEF10. 又令 y0,得 x2DxF0 设 x1,x2是方程的两根, 由|x1x2|6, 即(x1x2)24x1x236, 得 D24F36, 由解得 D2,E4,F8, 或 D6,E8,F0 故所求
7、圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0 求圆的方程的两种方法 (1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程 (2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,依据已 知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D, E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值 对点训练 已知圆 C 经过直线 xy20 与圆 x2y24 的交点,且圆 C 的圆心在直线 2xy30 上, 则圆 C 的方程为_ 解析:设所求圆的方程为(x2y2
8、4)a(xy2)0,a0,即 x2y2axay42a 0, 所以圆心为 a 2, a 2 ,因为圆心在直线 2xy30,所以aa 230,所以 a6 所以圆的方程为 x2y26x6y160,即(x3)2(y3)234 答案: (x3)2(y3)234 题型二 与圆有关的轨迹问题 例 (2021 衡水中学调研)已知 RtABC 的斜边为 AB,且 A(1,0) ,B(3,0) 求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解析 (1)法一:设 C(x,y) ,因为 A,B,C 三点不共线,所以 y0 因为 ACBC,所以 kAC kBC1, 又 kAC y
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