2022届高考北师大版数学（理）一轮复习学案：7.5 直线、平面垂直的判定及其性质

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1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节是高考的热 点，主要考查直线与平面以及平面与平面垂 直的判定和性质，常出现在解答题的第（1） 问中，难度中等 本节通过线、面垂直的判定及性质考查考生 对转化与化归思想的应用，提升直观想象、 逻辑推理核心素养 授课提示：对应学生用书第 150 页 知识点一 直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则该直 线与此平

2、面垂直 la，lb abO a b l 性质 定理 两直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行 a b ab 温馨提醒 二级结论 1直线与平面垂直的定义常常逆用，即 a，bab 2若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面 3垂直于同一条直线的两个平面平行 4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 必明易错 证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条件 1 （2021 深圳四校联考）若平面 ， 满足 ，l，P，Pl，则下列命题中是假命 题的为（ ） A过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内 C过

3、点 P 垂直于平面 的直线在平面 内 D过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 解析：由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线，因此也平行于 平面 因此 A 正确过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 ，不一定在平面 内， 因此 B 不正确根据面面垂直的性质定理知，选项 C，D 正确 答案：B 2 （2021 唐山模拟）如图，在以下四个正方体中，直线 AB 与平面 CDE 垂直的是（ ） A B C D 解析：对于，易证 AB 与 CE 所成角为 45 ，则直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于，易证 ABCE，ABED，且 CEEDE，则 A

4、B平面 CDE；对于，易证 AB 与 CE 所成角为 60 ， 则直线 AB 与平面 CDE 不垂直； 对于， 易证 ED平面 ABC， 则 EDAB， 同理 ECAB， 可得 AB平面 CDE 答案：B 3“直线 a 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面垂直”的 条件 解析： 根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 内的无数条直线都垂直”不能推出“直 线 a 与平面 垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件 答案：必要不充分 知识点二 平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 （2）判定定理与性质定

5、理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个平面的一条垂 线，则这两个平面互相垂直 l，l 性质 定理 如果两个平面互相垂直，则在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面 a la l l 温馨提醒 面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视 面面垂直的性质定理在使用时易忘一个平面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误 1下列命题中不正确的是（ ） A如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ，

6、l，那么 l 解析：若平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 或直线 l 与平面 相交故选 项 A 错误 答案：A 2 （2021 苏州模拟）在三棱锥 P- ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O （1）若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的 心； （2）若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的 心 解析： （1）如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 （2）如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于点 H，D，G 因为 P

7、CPA，PBPC，PAPBP， 所以 PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，所以 PCAB， 因为 ABPO，POPCP， 所以 AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， 所以 ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心 答案： （1）外 （2）垂 授课提示：对应学生用书第 151 页 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60 ， PAABBC，E 是 PC 的中点 证明： （1）CDAE； （2）PD平面 ABE

8、 证明 （1）在四棱锥 P- ABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD 又ACCD，PAACA， PA，AC平面 PAC， CD平面 PAC 又 AE平面 PAC，CDAE （2）由 PAABBC，ABC60 ，可得 ACPA E 是 PC 的中点，AEPC 由（1）知 AECD，且 PCCDC， PC，CD平面 PCD， AE平面 PCD， 又 PD平面 PCD，AEPD PA底面 ABCD，AB平面 ABCD， PAAB 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， ABPD又ABAEA， AB，AE平面 ABE， PD平面 ABE 1判

9、定线面垂直的四种方法 2判定线线垂直的四种方法 对点训练 如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，AB平面 PAD，ABCD，PDAD，E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点，且 DF1 2AB，PH 为PAD 中 AD 边上的高 求证： （1）PH平面 ABCD； （2）EF平面 PAB 证明： （1）因为 AB平面 PAD，PH平面 PAD，所以 PHAB 因为 PH 为PAD 中 AD 边上的高，所以 PHAD 因为 ABADA，AB平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 PH平面 ABCD （2）如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME因为 E 是 PB 的中点，所以 ME

10、綊1 2AB 又因为 DF 綊1 2AB 所以 ME 綊 DF， 所以四边形 MEFD 是平行四边形， 所以 EFMD 因为 PDAD，所以 MDPA 因为 AB平面 PAD，MD平面 PAD，所以 MDAB 因为 PAABA，所以 MD平面 PAB， 所以 EF平面 PAB 题型二 面面垂直的判定与性质 例 如图，四棱锥 P- ABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点 （1）求证：CE平面 PAD； （2）求证：平面 EFG平面 EMN 证明 （1）法一：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH 又 E 为 PB

11、的中点， 所以 EH 綊1 2AB 又 CD 綊1 2AB， 所以 EH 綊 CD 所以四边形 DCEH 是平行四边形， 所以 CEDH 又 DH平面 PAD，CE平面 PAD 所以 CE平面 PAD 法二：连接 CF因为 F 为 AB 的中点，所以 AF1 2AB 又 CD1 2AB， 所以 AFCD 又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CFAD 又 CF平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 CF平面 PAD 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA 又 EF 平面 PAD，PA平面 PAD， 所以 EF平面 PAD 又因为 CFEFF故平面 CEF平面

12、 PAD 又因为 CE平面 CEF， 所以 CE平面 PAD （2）因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点， 所以 EFPA，又 ABPA，所以 ABEF 同理可得 ABFG 又 EFFGF，EF平面 EFG， FG平面 EFG， 因此 AB平面 EFG 又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD 又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG 又 MN平面 EMN， 所以平面 EFG平面 EMN 变式探究 1 在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC 证明：因为 ABPA，ABAC，且 PAACA， 所以 AB平面 PAC 又 MNCD，CDAB，所以 MNAB 所以

13、 MN平面 PAC 又 MN平面 EMN， 所以平面 EMN平面 PAC 变式探究 2 在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC 证明：因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点， 所以 EFPA，FGAC， 又 EF 平面 PAC，PA平面 PAC， 所以 EF平面 PAC 同理，FG平面 PAC 又 EFFGF，所以平面 EFG平面 PAC 面面垂直判定的两种方法与一个转化 （1）两种方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理（a，a） （2）一个转化： 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 对点训练

14、（2020 高考全国卷）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接 正三角形，P 为 DO 上一点，APC90 （1）证明：平面 PAB平面 PAC； （2）设 DO 2，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 P- ABC 的体积 解析： （1）证明：由题设可知，PAPBPC 由ABC 是正三角形， 可得PACPAB，PACPBC 又APC90 ，故APB90 ，BPC90 从而 PBPA，PBPC， 故 PB平面 PAC， 所以平面 PAB平面 PAC （2）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 由题设可得 rl 3，l2r22，解得 r1，l 3 从而 AB 3 由（1）

15、可得 PA2PB2AB2，故 PAPBPC 6 2 所以三棱锥 P- ABC 的体积为 1 3 1 2PAPBPC 1 3 1 2 6 2 3 6 8 题型三 平行与垂直的综合问题 例 如图所示， 已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD， ACD 为等边三角形， ADDE2AB， F 为 CD 的中点 求证： （1）AF平面 BCE； （2）平面 BCE平面 CDE 证明 （1）如图，取 CE 的中点 G，连接 FG，BG F 为 CD 的中点， GFDE 且 GF1 2DE AB平面 ACD，DE平面 ACD， ABDE，GFAB 又 AB1 2DE，GFAB 四边形 GFAB 为平行四

16、边形，则 AFBG AF 平面 BCE，BG平面 BCE， AF平面 BCE （2）ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，AFCD DE平面 ACD，AF平面 ACD，DEAF 又 CDDED，AF平面 CDE BGAF，BG平面 CDE 又BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE 1线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证 明平行时常用中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用等腰三角形的中线等 2证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范 对点训练 如图， 在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD平面 A

17、BCD，PAPD， PAPD， E，F 分别为 AD，PB 的中点 （1）求证：PEBC； （2）求证：平面 PAB平面 PCD； （3）求证：EF平面 PCD 证明： （1）因为 PAPD，E 为 AD 的中点， 所以 PEAD 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BCAD，所以 PEBC （2）因为底面 ABCD 为矩形，所以 ABAD 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD， 所以 AB平面 PAD， 因为 PD平面 PAD，所以 ABPD 又因为 PAPD，ABPAA， 所以 PD平面 PAB 因为 PD平面 PCD， 所以平面 PAB平面

18、 PCD （3）如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FGBC，FG1 2BC 因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC 所以 DEFG，DEFG 所以四边形 DEFG 为平行四边形 所以 EFDG 又因为 EF 平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD 平行、垂直关系中的核心素养 逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的体现 逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直 关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程

19、平行、垂直关系证 明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系 例 （2020 高考全国卷）如图，已知三棱柱 ABC- A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E， 交 AC 于 F （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F； （2）设 O 为A1B1C1的中心若 AOAB6，AO平面 EB1C1F，且MPN 3，求四棱锥 B- EB1C1F 的体积 解析 （1） 证明： 因为 M， N 分别为 BC， B1C1的中点， 所以 MNCC1 又由已知得 AA1C

20、C1， 故 AA1MN因为A1B1C1是正三角形，所以 B1C1A1N又 B1C1MN，故 B1C1平面 A1AMN所以平面 A1AMN平面 EB1C1F （2）AO平面 EB1C1F，AO平面 A1AMN， 平面 A1AMN平面 EB1C1FPN，故 AOPN 又 APON，故四边形 APNO 是平行四边形， 所以 PNAO6，APON1 3AM 3，PM 2 3AM2 3，EF 1 3BC2因为 BC平面 EB1C1F，所以四棱锥 B- EB1C1F 的顶点 B 到底面 EB1C1F 的距离等于点 M 到底面 EB1C1F 的距 离 如图所示，作 MTPN，垂足为 T，则由（1）知，MT平

21、面 EB1C1F，故 MTPMsinMPN 3 底面 EB1C1F 的面积为1 2 （B1C1EF） PN 1 2 （62） 624 所以四棱锥 B- EB1C1F 的体积为1 324324 解决平行与垂直的综合应用问题的策略 处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平 行与垂直的转化 对点训练 如图，在底面为菱形的四棱锥 P- ABCD 中，PAAD，PACD，E 为侧棱 PC 上一点 （1）若 BEPC，求证：PC平面 BDE； （2）若 PA平面 BDE，求平面 BDE 把四棱锥 P- ABCD 分成两部分的体积比 解析： （1）证明：连接 AC（图

22、略） ，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD 因为 PAAD，PACD，且 ADCDD， 所以 PA底面 ABCD，所以 PABD 又 PAACA，所以 BD平面 PAC，所以 BDPC 又因为 BEPC，BDBEB，所以 PC平面 BDE （2）设 ACBDO，连接 OE（图略） ，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AOOC 因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEOE，所以 PAOE，所以 PEEC，即 E 是 PC 的中点 由（1）知 PA底面 ABCD，所以点 E 到平面 ABCD 的距离为1 2PA 故 VE- BCD VP- ABCD 1 3SBCD PA 2 1 3S菱形ABCDPA 1 3SBCD PA 2 1 32SBCDPA 1 4， 所以平面 BDE 把四棱锥 P- ABCD 分成两部分的体积比为 13（或 31）