2022高考数学一轮总复习课件:9.2 二项式定理
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1、92 二项式定理二项式定理 【教材梳理】 1二项式定理 (ab)n_(nN*), 这个公式所表示的规律叫做二项式定 理(ab)n的二项展开式共有_项, 其中各项的系数_(k0, 1, 2, , n)叫做二项式系数,式中的_叫做二项展开式的通项,用 Tk1表示,即 _通项为展开式的第_项 2二项式系数的性质 (1)对称性 在二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 C0 nC n n, C 1 nC n1 n , C2 nC n2 n ,_,Cn nC 0 n (2)增减性与最大值 二项式系数 Ck n, 当_时, 二项式系数是递增的; 当_ 时,二项式系数是递减的 当 n
2、 是偶数时,中间的一项_取得最大值 当 n 是奇数时,中间的两项_和_相等,且同时取 得最大值 (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于_, 即 C0 nC 1 nC 2 n Cr nC n n_二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数 项的二项式系数的和,即 C1 nC 3 nC 5 nC 0 nC 2 nC 4 n_ 【常用结论】 3解二项式定理相关问题应注意的点 (1)二项展开式中的 Ck na nkbk 是第 k1 项,而不是第 k 项 (2)在(ab)n的展开式中,系数最大的项是中间项;但当 a,b 的系数不是 1 时, 需要利用通项,根据系数的增减性具
3、体讨论而定 (3)解决二项展开式中“系数和”的问题,常用“赋值法”和“构造法” (4)解决“整除性问题”或“余数问题”常用“配凑法”和“消去法” 【自查自纠】 1C0 nanC1nan 1bCk nan kbkCn nbn n1 Ck n Cknan kbk T k1Cknan kbk k1 2(1)Ck nCn k n (2)kn1 2 kn1 2 C n 2n C n1 2 n C n1 2 n (3)2n 2n 2n 1 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)Ck na nkbk 是二项展开式的第 k 项 ( ) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间
4、两项 ( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关 ( ) (4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系 数不同 ( ) (5)杨辉三角各行中除 1 以外的每个数字,等于其“肩上”两数之和 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) (2020届山东省高三11月新高考模拟)(1 xx) 10 的展开式中 x4的系数是( ) A210 B120 C120 D210 解:根据题意(1 xx) 10 的展开式中第 r1 项是 Tr1Cr10(1 x) 10r(x)r (1)rCr10 x 2r 10,由 2r104 得到 r7
5、,所以 x4 的系数 T8120故选 B (2020年全国卷) x22 x 6 的展开式中常数项 是 ( ) A60 B120 C160 D240 解:因为 x22 x 6 展开式的通项为 Tr1Cr 6(x 2)6r 2 x r 2rCr 6x 123r,令 12 3r0,解得 r4,所以 x22 x 6 的展开式中常数项是 24C4 6240故选 D (2021届广东七校第一次联考)若 3 x 1 x n 的展开式中各项系数之和为 64,则 展开式的常数项为( ) A540 B162 C162 D540 解:令x1,得展开式中各项系数之和为 2 n64,n6,则展开式的常数 项为C 3 6
6、(3x) 3 1 x 3 540故选 A A (2021 年新高考八省模拟演练)(1x)2(1x)3(1x)9的展开 式中 x2的系数是_ 解: 展开式中 x2的系数是 C2 2C 2 3C 2 4C 2 9C 3 3C 2 3C 2 4C 2 9C 3 9 C2 9C 3 10120另可由等比数列求和公式结合二项式定理求故填 120 考点一考点一 展开式的特定项展开式的特定项 命题角度 1 二项展开式 (1)(2018全国卷)(x22 x) 5 的展开式中 x4的系数为 ( ) A10 B20 C40 D80 解:由题可得 Tr1Cr 5(x 2)5r(2 x) rCr 52 rx103r,
7、令 103r4,则 r2,所以 x4的系数为 C2 52 240故选 C (2)(2019浙江卷)在二项式( 2x)9的展开式中,常数项是_;系数为 有理数的项的个数是_ 解:由题意,( 2x)9的通项为 Tr1Cr 9( 2) 9rxr(r0,1,2,9),当 r0 时, 可得常数项为 T1C0 9( 2) 916 2;若展开式的系数为有理数,则 r1,3,5,7,9, 有 T2,T4,T6,T8,T10共 5 项故填 16 2;5 【点拨】 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略: 求展开式 中的特定项, 可依据条件写出第 r1 项, 再由特定项的特点求出 r 值即可; 已知展开式的某项
8、,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项 写出第 r1 项,由特定项得出 r 值,最后求出其系数 (1)已知( x a x) 5 的展开式中含 x 3 2的项的系数为 30,则实数 a _ 解:( x a x) 5 的展开式的通项为 Tr1Cr 5( x) 5r( a x) r(a)rCr 5x 52r 2 依 题意,令 52r3,得 r1,所以(a)1C1 530,解得 a6故填6 (2)(2020湖北武汉模拟)若在 3x2 1 2x3 n 的展开式中含有常数项,则正整数 n 取得 最小值时的常数项为( ) A135 2 B135 C135 2 D135 解:展开式的通项为 Tr1Cr
9、n(3x2)n r 1 2x3 r Crn 1 2 r 3n rx 2n 5r ,由于含有常数项,则 2n 5r0,所以 n5r 2 ,且当 r2 时,正整数 n 取得最小值,n5,此时常数项为 C2 5 1 2 2 33 135 2 故选 C 命题角度 2 两个多项式积的展开式 (1)(2019年全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为( ) A12 B16 C20 D24 解:由题意得,x3的系数为 C3 42C 1 44812故选 A (2)( 2020安徽马鞍山三模 )(x 1)5(x 1)4的 展 开 式 中x3的 系 数 为 _(用数字作答) 解:(x1)5(x1)4
10、(x1)(x1)4(x1)4 (x1)(x21)4x(x21)4(x21)4, 易知仅 x(x21)4的展开式中含 x3项, 其中(x21)4展开式的通项为 Tr1Cr 4(x 2)4r(1)rCr 4x 82r(1)r,要求 x3的系数,则令 82r2,解得 r3,所以 T31C3 4x 2(1)34x2,所以 x3的系数为4故填4 【点拨】 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题, 一般都可以根 据因式连乘的规律,结合组合定义求解,但要注意适当地运用分类方法, 以免重复或遗漏 (1)(2020届河北唐山高三上摸底)在(xy)(xy)5的展开式中, x3y3的系数是( ) A10 B0 C1
11、0 D20 解:由题意,二项式(xy)5的展开式的通项为 Tk1(1)kCk 5x 5kyk,所以展 开式中 x3y3的系数为(1)3C3 5(1) 2C2 510100故选 B (2)(2021届河南焦作高三一模)(x1)5 1 x2 3 的展开式中 x 的系数为 _ 解: 二项式(x1)5的通项 Tn1Cn 5x 5n1nCn 5x 5n,二项式 1 x2 3 的通项 Tk1Ck 3 1 x 3k 2k2kCk 3x k3,故 x 的系数为 C1 5C 0 3C 2 5C 1 32C 3 5C 2 32 2C4 5C 3 3 23225故填 225 命题角度 3 三项展开式 (x2xy)5
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