2022高考数学一轮总复习课件:8.7 抛物线
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1、87 抛物线抛物线 【教材梳理】 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F_)距离相等的点的轨 迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_,直线 l 叫做抛物线的 _ 2抛物线的标准方程及几何性质 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 图形 焦点 p 2,0 0,p 2 准线 xp 2 yp 2 范围 x0,yR y0,xR 对称 轴 y 轴 顶点 原点 O(0,0) 离心 率 性 质 开口 向左 向上 【常用结论】 3抛物线焦点弦的性质 直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F,交抛物线于 A(x1,y1),B(
2、x2,y2)两点,则有: (1)通径的长为 2p; (2)焦点弦长公式:|AB x1x2p; (3)x1x2p 2 4 ,y1y2p2; (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 (5)若 为弦 AB 的倾斜角,则|AF| p 1cos,|BF| p 1cos;|AB| 2p sin2; 1 |AF| 1 |BF| 2 p;以 AF 或 BF 为 直径的圆与 y 轴相切 4抛物线中的最值 P 为抛物线 y22px(p0)上的任一点,F 为焦点,则有:| PF p 2;焦点弦 AB 以通径(2p)为最小值;A(m, n)为一定点,则| PA |PF 有最小值 5抛物线的焦半径 抛物线上的点 P
3、(x0,y0)与焦点 F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦 半径)记作 r|PF (1)y22px(p0),rx0p 2; (2)y22px(p0),rx0p 2; (3)x22py(p0),ry0p 2; (4)x22py(p0),ry0p 2 【自查自纠】 1l 焦点 准线 2 p 2,0 0,p 2 xp 2 y p 2 x0,yR y0,xR x 轴 e1 向右 向下 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形 ( ) (3)方程 yax
4、2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 a 4,0 ,准线方 程是 xa 4 ( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2,0 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则OA OB 3 4p 2 ( ) (5)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) (2020全国卷)已知 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p ( ) A2 B3 C6 D9 解:设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|xA
5、p 212, 即 129p 2,解得 p6故选 C 已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物 线 C 的方程是 ( ) Ay2 2 2x By2 2x Cy2 4x Dy2 4 2x 解:由已知可知双曲线的焦点为( 2,0),( 2,0) 设抛物线 C 的方程为 y2 2px(p0),则p 2 2, 所以 p2 2,所以抛物线 C 的方程为 y2 4 2x故选 D 若抛物线 y24x 的准线为 l,P 是抛物线上任意一点,则 P 到准线 l 的距离 与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是( ) A2 B13 5 C14 5 D3 解: 由抛物线定义可
6、知, 点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 由抛物线 y24x 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离, 所以点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值为点 F(1, 0)到直线 3x4y70 的距离,即 |37| 32422故选 A 抛物线 y22x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是_ 解:抛物线 y22x 的焦点为 F(1 2,0),准线方程为 x 1 2,设 A(x1,y1),B(x2, y2), 则|AF|BF|x11 2x2 1 25, 解得 x1x24, 故线段AB的中点
7、横坐标为 2 故 线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2故填 2 考点一考点一 抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程 (1)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点, F 为抛物线的焦点, 若 B(3, 2), 则|PB| |PF|的最小值为_ 解: 如图, 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q, 交抛物线于点 P1, 则|P1Q|P1F|则 有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4,即|PB|PF|的最小值为 4故填 4 (2)【多选题】(2020年黄石一中高二下期末)经过点 P(4,2)的抛物线的 标准方程为 ( ) Ay2x Bx28y Cx28y Dy28x 解:若抛物线的焦
8、点在 x 轴上,设抛物线的方程为 y22px(p0),又因为抛物线 经过点 P(4,2),所以(2)22p4,解得 p1 2,所以抛物线的方程为 y 2x若抛 物线的焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x22py(p0),又因为抛物线经过点 P(4, 2),所以 422p(2),解得 p4,所以抛物线的方程为 x28y故选 AC (3)若点 A,B 在抛物线 y22px(p0)上,O 是坐标原点,正OAB 的面积为 4 3,则该抛物 线的方程是( ) Ay22 3 3 x By2 3x Cy22 3x Dy2 3 3 x 解:根据对称性,可知 ABx 轴,由于正OAB 的面积是 4 3,故 3
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