2022高考数学一轮总复习课件:8.3 圆的方程
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1、83 圆的方程圆的方程 【教材梳理】 1圆的定义 在平面内,到_的距离等于_的点的叫圆确定一个 圆最基本的要素是_和_ 2圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程:方程(xa)2(yb)2r2(r0)叫做以点_为圆心,为 半径长的圆的标准方程 (2)圆的一般方程:方程 x2y2DxEyF0(_)叫做圆的一般方程 注:将上述一般方程配方得 xD 2 2 yE 2 2 D 2E24F 4 ,此为该一般方程对应 的标准方程,表示的是以_为圆心,_为半径长的圆 3点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种,设圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0),点 M(x0,y0),则 (1)点 M 在圆上:
2、 _ (2)点 M 在圆外: _ (3)点 M 在圆内: _ 【常用结论】 4二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆,则 AC0, B0, D2E24AF0 5以 A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 【自查自纠】 1定点 定长 集合 圆心 半径长 2(1)(a,b) r (2)D2E24F0 D 2 ,E 2 1 2 D2E24F 3(1)(x0a)2(y0b)2r2 (2)(x0a)2(y0b)2r2 (3)(x0a)2(y0b)20), 则有 (2a) 2(2b)2r2, (5a)2(3b)2r2, (3a)2(
3、1b)2r2, 解得 a4, b1, r25 所以ABC 的外接圆的标准方程为(x4)2(y1)25 考点二考点二 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 已知 RtABC 的斜边为 AB,且 A(1,0),B(3,0)求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解:(1)方法一:设 C(x,y),因为 A,B,C 三点不共线,所以 y0 因为 ACBC,且 BC,AC 的斜率均存在,所以 kACkBC1, 又 kAC y x1,kBC y x3,所以 y x1 y x31,化简得 x 2y22x30 因此,直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y
4、0) 方法二: 设 AB 的中点为 D, 由中点坐标公式得 D(1, 0), 由直角三角形的性质知|CD| 1 2|AB|2由圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心,2 为半径的圆(由于 A, B,C 三点不共线,所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x,y),C(x0,y0),因为 B(3,0),M 是线段 BC 的中点,由中点坐标公式得 xx03 2 ,yy00 2 , 所以 x02x3,y02y 由(1)知,点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0), 将 x02x3,y02y 代入得(2x4)2(2y)24,
5、即(x2)2y21 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 【点拨】 求与圆有关的轨迹问题时, 根据题设条件的不同常采用以下方 法:直接法:直接根据题目提供的条件列出方程;定义法:根据圆、直 线等定义列方程;几何法:利用圆的几何性质列方程;相关点代入法: 找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式 已知圆 C 的方程为 x2y24,过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 N,若向量OQ OM ON (O 为坐标原点),求动点 Q 的轨迹方程 解:设点 Q 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x0,y0)(y00),则点 N 的坐 标
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