2022高考数学一轮总复习课件:6.2 等差数列及其前n项和
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1、62 等差数列及其前等差数列及其前n项和项和 【教材梳理】 1等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的等于同一个_,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的_,通常用字母 d 表示,即_d(nN,且 n2)或 _d(nN) 2等差中项 三个数 a,A,b 成等差数列,这时 A 叫做 a 与 b 的_ 3等差数列的通项公式 若an是等差数列,则其通项公式 an_. an成等差数列anpnq, 其中 p_, q_, 点(n, an)是直线_ 上一群孤立的点 单调性:d0 时,an为_数列;d0 时,an为_数列;d0 时,an为 _ 4等差数列的前 n
2、项和公式 (1)等差数列前 n 项和公式 Sn_.其推导方 法是_ (2)an成等差数列,求 Sn的最值: 若 a10,d0,且满足 an_, an1_ 时,Sn最大; 若 a10,d0,且满足 an_, an_ 时,Sn最小; 或利用二次函数求最值;或利用导数求最值 5等差数列的性质 (1)aman_d,即 daman mn . (2)在等差数列中,若 pqmn,则有 apaqam_;若 2mpq,则 有_amapaq(p,q,m,nN*)但要注意:在等差数列 anknb 中,若 m pq,易证得 amapaq成立的充要条件是 b0,故对一般等差数列而言,若 mpq,则 amapaq并不一定
3、成立 (3)若an,bn均为等差数列,且公差分别为 d1,d2,则数列pan,anq,anbn 也为_数列,且公差分别为_,_,_. 【常用结论】 6在等差数列中,按序等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an,anm,an2m,为等差数列,公差为 md. 7等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2nSn,S3nS2n,为等差数列,公差为 n2d. 8等差数列偶数项、奇数项和的性质 (1)若等差数列的项数为 2n,则有 S偶S奇nd,S 奇 S偶 an an1. (2)若项数为 2n1,则 S偶(n1)an,S奇nan,S奇S偶an,S 奇 S偶 n n1. 9若公差 d0,则 (1)
4、Snd 2n 2 a1d 2 n,点(n,Sn)在一条抛物线上 (2)Sn n d 2n a1d 2 ,点 n,Sn n 在一条直线上,即 Sn n 也是等差数列 10两个等差数列an,bn的前 n 项和 Sn,Tn满足an bn S2n1 T2n1. 【自查自纠】 1差 常数 公差 anan1 an1an 2等差中项 3a1(n1)d d a1d ydx(a1d) 单调递增 单调递减 常数列 4(1)n(a1an) 2 na1n(n1)d 2 倒序相加法 (2)0 0 0 0 5(1)(mn) (2)an 2 (3)等差 pd1 d1 d1d2 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错
5、误的画“” (1)若数列an满足 a3a2a2a1,则an是等差数列 ( ) (2)已知数列an为等差数列,且公差 d0,则an是递增数列 ( ) (3)4 是 2 和 8 的等差中项 ( ) (4)若数列an是等差数列,则数列an2an1也是等差数列 ( ) (5)SnAn2Bn(A,B 为常数,A 不为 0,nN*)是an为等差数列的充要条件 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5). (2019开封高三定位考试)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1a510, S416,则数列an的公差为 ( ) A1 B2 C3 D4 解:设等差数列an的公差为 d,则由题
6、意,得 a1a14d10, 4a143 2 d16,解得 a11, d2. 另解:S42(a1a4)16a1a48.故 d(a1a5)(a1a4)2.故选 B. (20192020学年重庆七校高三三诊)在等差数列an中,前 n 项和 Sn满足 S9S235,则 a6的值是( ) A5 B7 C9 D3 解:因为 S9S235,所以 a3a4a5a6a7a8a935,即 7a635, a65.故选 A. (2021 届湖北四地六校高三起点联考)周髀算经是我国古老的天文学和 数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照 日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度)夏至、
7、小暑、大暑、立秋、处 暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,经记 录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺,夏至、大暑、处暑三个节气的晷 长之和为 10.5 尺,则立秋的晷长为( ) A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 解:依题意,设连续九个节气的晷长成等差数列an,首项为 a1,公 差为 d,前 n 项和为 Sn, 则 S949.5, a1a3a510.5 9a136d49.5, 3a16d10.5 a11.5, d1, 所以立秋的晷长为 a41.534.5.故选 D. (2020全国新高考卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得
8、到 数列an,则an的前 n 项和为_ 解:因为数列2n1是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,数列3n2是以 1 首 项,3 为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以 1 为首项, 6 为公差的等差数列,所以an的前 n 项和为 n1n(n1) 2 63n22n.故填 3n2 2n. 考点一考点一 等差数列基本量的计算等差数列基本量的计算 (1)(2019全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S40,a55,则( ) Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn1 2n 22n 解:设公差为 d,则 4a16d0, a14d5, 解得 a13,
9、d2. 故 an2n5,Sn(2n53) n 2 n24n. 故选 A. (2)(2021 河南豫西名校高二 10 月联考)记等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a52, a2a4a58a6,则 S20( ) A180 B180 C162 D162 解:因为 a52,a22a48a6, 所以 a14d2, a1d2a16d8a140d,即 a14d2, a15d0, 解得 a110, d2,所以 a 201019(2)28, 所以 S2020(a1a20) 2 180.故选 B. (3)(2019山东德州模拟)已知 Sn是数列an的前 n 项和, 且 Sn1Snan3, a4a523,则
10、S8 ( ) A72 B88 C92 D98 解:因为 Sn1Snan3,所以 Sn1Snan3an1,所以 an1an3,所以 an是公差为 d3 的等差数列,又 a4a523,即 2a17d23,解得 a11,所以 S88a187 2 d92.故选 C. 【点拨】 在等差数列五个基本量 a1,d,n,an,Sn中,已知其中三个量, 可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出关于基本量的 方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换及方程思想的应用求解 等差数列基本量问题时,要注意多使用等差数列的性质进行转化,如an为等 差数列,若 mnpq,则 amanapaq. (
11、1)(2021届江西南昌高三摸底)Sn为等差数列an的前 n 项和,满 足 3a35a2,S10100,则 a1( ) A1 B2 C3 D4 解: 设等差数列an的公差为 d, 因为 3a35a2, S10100, 所以 3(a12d)5(a1d), 10a145d100, 解得 a11, d2. 故选 A. (2)(2020安徽太和中学期末)设 Sn是等差数列an的前 n 项和,a411, 且 S3,S5,a22成等差数列,则 S10( ) A145 B150 C155 D160 解: 设等差数列an的公差为 d, 因为 a411, 所以 S33(a1a3) 2 3a23(11 2d),S
12、55a35(11d),a221118d, 因为 S3, S5, a22成等差数列, 所以 3(112d)1118d10(11d), 所以 d3, a1a43d1192, 所以 S1010a145d20135155.故选 C. (3)(2020届四川天府名校高三上一联)已知数列an满足an2an1an 1an(nN*),且 a510,a714,则 a2 021a2 020 ( ) A2 B1 C2 D1 解:由题意可知,数列an为等差数列,故设数列an的公差为 d, 则 a7a542d,即 d2,所以 a2 021a2 020d2.故选 A. 考点二考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证
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