2022高考数学一轮总复习课件:5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
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1、52 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 【教材梳理】 1平面向量基本定理 如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 1, 2,使 _ 我们把不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_ 2向量的夹角 (1)已知两个_向量 a 和 b,作OA a,OB b,则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图) (2)向量夹角 的范围是_ a 与 b 同向时, 夹角 _; a 与 b 反向时, 夹角 _. (3)如果向量 a 与 b 的夹角是_,我们就说 a 与 b 垂直,记作_ 3平面向量的正交分解及坐标表示
2、 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量,叫做向量的正交分解 (2)在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底任作一个向 量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x,y,使得 axiyj.则实数对_叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a_,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,该式叫 做向量的坐标表示与 a 相等的向量的坐标也为_显然,i,j,0. 4平面向量的坐标运算 (1)已知 a(x1,y1),b(x2,y2),则 a b_. (2)如果 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB _.
3、 (3)若 a(x,y),则 a_. (4)如果 a(x1,y1),b(x2,y2)(b0),则 ab 的充要条件是_ 【常用结论】 5若 a 与 b 不共线,且 ab0,则 0. 6已知ABC 的顶点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段 AB 的中点坐标为 x1x2 2 ,y1y2 2 ,ABC 的重心坐标为 x1x2x3 3 ,y1y2y3 3 . 7线段的分点坐标 设点 P 是线段 P1P2上的一点,且 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)当P1P PP2 时, 点 P 的坐标(x,y) x1x2 1 ,y1y2 1 .特别地:当 1 时,点 P
4、 为线段 P1P2的中点, 其坐标为 P x1x2 2 ,y1y2 2 . 【自查自纠】 1a1e12e2 基底 2(1)非零 (2)0180 0 180 (3)90 ab 3(1)互相垂直 (2)(x,y) (x,y) (x,y) (1,0) (0,1) (0,0) 4(1)(x1x2,y1y2) (2)(x2x1,y2y1) (3)(x,y) (4)x1y2x2y10 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)若 a,b 不共线,且 1a1b2a2b,则 12, 12. ( ) (3)平面向量的基底不唯一,只要基底
5、确定后,平面内的任何一个向量都可被这 组基底唯一表示 ( ) (4)若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件是x1 x2 y1 y2. ( ) (5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5). 已知 e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不 能作为一组基底的是 ( ) Ae1e2和 e1e2 B3e12e2和 4e26e1 Ce12e2和 e22e1 De2和 e1e2 解:因为 4e26e12(3e12e2),所以 3e12e2与 4e26e1共线,又作 为一组基底的两个向量一
6、定不共线,所以它们不能作为一组基底故选 B. (2020 辽宁本溪满族自治县高级中学高三期末)已知向量 a(1,3),b(t,1),若 (ab)b,则实数 t 的值为 ( ) A.1 3 B3 C1 D1 或 2 解:由题意可得:ab(1t,2),因为(ab)b,所以 1t2t0,所 以 t1 3.故选 A. (2019山西省长治市第二中学高一期中)若向量 m 与向量 n(2, 1)为共线 向量,且|m|3 5,则向量 m 的坐标为 ( ) A(6,3) B(6,3) C(6,3)或(6,3) D(6,3)或(6,3) 解:根据题意,设向量 mn(2,), 因为|m|3 5,即有 (2)223
7、 5, 解得 3. 所以向量 m 的坐标为(6,3)或(6,3)故选 C. 在正方形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,CD 的中点,若AC AM BN , 则实数 _. 解法一:因为AC AB BC ,AM AB BM AB 1 2BC ,BN BC CN BC 1 2AB , 所以由AC AM BN 有 11 2, 11 2, 解得 6 5, 2 5, 所以 8 5. 解法二:不妨设正方形边长为 2,以 A 为坐标原点,AB 方向为 x 轴正方向, AD 方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系,则AC (2,2),AM (2,1),BN (1,2) 由AC AM BN 有 22, 22,
8、解得 6 5, 2 5, 8 5.故填 8 5. 考点一考点一 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(2019浙江高一期中)已知 A(2,5), B(10,3),点 P 在直线 AB 上, 且PA 1 3PB ,则点 P 的坐标是 ( ) A(8,9) B(1,3) C(1,3) D(8,9) 解:设 P(x,y),因为 A(2,5),B(10,3),点 P 在直线 AB 上,所以PA (2x,5y),PB (10 x,3y) 因为PA 1 3PB , 则有 2x1 3(10 x), 5y1 3(3y). 解得 x1, y3. 所以 P(1, 3) 故 选 B. (2)已知梯形 ABC
9、D,其中 ABCD,且 DC2AB,三个顶点 A(1,2),B(2, 1),C(4,2),则点 D 的坐标为_ 解:因为在梯形 ABCD 中,DC2AB,ABCD,所以DC 2AB .设点 D 的坐标为(x,y), 则DC (4,2)(x,y)(4x,2y), AB (2,1)(1,2)(1,1), 所以(4x,2y)2(1,1),即(4x,2y)(2,2), 所以 4x2, 2y2, 解得 x2, y4,故点 D 的坐标为(2,4) 故填(2,4) 【点拨】 平面向量坐标运算的技巧: 向量的坐标运算常建立 在向量的线性运算的基础之上,若已知有向线段两端点的坐标,则 应考虑坐标运算;解题过程中
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