2022高考数学一轮总复习课件:4.3 三角恒等变换
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1、43 三角恒等变换三角恒等变换 【教材梳理】 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S( ):sin( )_ (2)C( ):cos( ) (3)T( ):tan( ) 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2_ (2)cos2_ (3)tan2_ 3几个常用的变形公式 (1)升幂缩角:1 sin_; 1cos_;1cos_ (2)降幂扩角:sin2_;cos2_ (3)tantan _ (4)辅助角公式:asinbcos a2b2sin(),其中 cos_, sin_,或 tan_, 角所在象限与点(a,b)所在象 限_, 角的终边经过点(a,b) 【常用结论】 4常用的拆角、拼角
2、技巧 (1)154530604530 2 (2)()(),2()(), 2 2 (2)() (3) 3 2 6 , 6 2 3 , 3 2 3 , 4 3 4 5半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 1cos 2 (2)cos 2 1cos 2 (3)tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 6tantan tantan tan()11 tantan tan() 【自查自纠】 1(1)sincoscossin (2)coscossinsin (3)tantan 1tantan 2(1)2sincos (2)cos2sin2 2cos21 12sin2 (3)
3、2tan 1tan2 3(1) sin 2cos 2 2 2cos2 2 2sin 2 2 (2)1cos2 2 1cos2 2 (3)tan()(1tantan) (4) a a2b2 b a2b2 b a 相同 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)存在实数 , ,使等式 sin()sinsin 成立 ( ) (2)在锐角ABC 中,sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确定 ( ) (3)对任意角 都有 1sin sin 2cos 2 2 ( ) (4)y3sinx4cosx 的最大值是 7 ( ) (5)0,且 sincos1 2,则 sin2 3 4
4、,cos2 7 4 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 已知 sin 3 3 ,270360,那么 sin2 的值是 ( ) A2 2 3 B2 2 3 C 3 8 D 3 8 解:因为 sin 3 3 ,2700,又 sin 2cos 21,所 以 cos 6 3 ,所以 sin22sincos2 3 3 6 3 2 2 3 故选 B (2020全国卷)已知 (0,),且 3cos28cos5,则 sin( ) A 5 3 B2 3 C 1 3 D 5 9 解:由 3cos28cos5,得 6cos28cos80, 即 3cos24cos40,解得 cos2 3或 c
5、os2(舍去), 又因为 (0,),所以 sin 1cos2 5 3 故选 A (2020全国卷)已知 2tan tan 4 7,则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 解:因为 2tantan 4 7,所以 2tantan1 1tan7, 解得 tan2故选 D 已知 sin 3 1 4,则 cos 22 3 的值为_ 解: sin 3 1 4, 则 cos 22 3 12sin2( 3)12 1 4 27 8 故 填7 8 考点一考点一 和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的简单应用 【多选题】(2020 年山东威海高一下期末)下列选项中,与 sin 11 6 的值相等的是( )
6、 A2cos2151 Bcos18cos42sin18sin42 C2sin15sin75 D tan30tan15 1tan30tan15 解:sin 11 6 sin 6 1 2 对于 A,2cos2151cos30 3 2 ,不相等; 对于 B,cos18cos42sin18sin42cos(1842)cos601 2,相等; 对于 C,2sin15sin752sin15cos15sin301 2,相等; 对于 D, tan30tan15 1tan30tan15tan451,不相等故选 BC 【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立,使用 中要注意观察角之间的和、差、倍、互补
7、、互余等关系 【多选题】下列各式的值为1 2的是( ) A tan225 1tan2225 Btan15cos 215 C 3 3 cos2 12 3 3 sin2 12 D 1cos60 2 解:对于 A,原式1 2 2tan225 1tan2225 1 2tan45 1 2; 对于 B,原式sin15cos151 2sin30 1 4; 对于 C,原式 3 3 cos 6 1 2; 对于 D,原式sin301 2故选 ACD 考点二考点二 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 命题角度 1 三角函数式的化简求值 (1)(2019全国卷)已知 0, 2 ,2sin2cos21,则 sin(
8、) A1 5 B 5 5 C 3 3 D2 5 5 解: 因为 2sin2cos21, 所以 4sincos2cos2因为 0, 2 , 所以 cos0, sin0,所以 2sincos,又 sin2cos21,所以 5sin21,sin21 5,sin 5 5 故 选 B (2)sin(30)sin(30) cos ( ) A1 B 3 C2 D2 3 解:原式2cossin30 cos 2sin30 21 21故选 A 【点拨】三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名 三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角 函数互化等三角化简的标准:三角函数名称尽量
9、少,次数尽量低,最好 不含分母,能求值的尽量求值化简、求值的主要技巧:(i)寻求角与角之 间的关系,化非特殊角为特殊角;(ii)正确灵活地运用公式,通过三角变换消 去或约去一些非特殊角的三角函数值 (1)已知 cos2sin,则 cos2( ) A 51 2 B3 5 2 C1 2 D 52 解:由 cos2sin1sin2,可得 sin 51 2 或1 5 2 (舍去),可得 cos212 51 2 2 52故选 D (2)(2020临猗县临晋中学月考)计算: 2cos21 tan 4 sin 2 4 的结果为 ( ) A1 B2 C1 D2 解: 2cos21 tan 4 sin 2 4
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