浙江省杭州市桐庐县2021-2022学年高三第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

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1、2022届高三第一次模拟考试一选择题（共10小题，每题4分）1. 已知全集U为实数集，则（ ）A. B. C. D. 2. 设复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）A. B. C. D. 3. 若、为非零实数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 平行四边形中，点E是的中点，点F是的一个三等分点（靠近B），则（ ）A. B. C. D. 5. 若直线y=ax+2a与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. 0，9C. 0，+ )D. (-，96. 在的展开式中的系数是（ ）A. B.

2、 C. D. 7. 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得（ ）A. B. C. D. 8. 设是函数导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）A. B. C D. 9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 存实数a，使有最小值且最小值大于0B. 对任意实数a，有最小值且最小值大于0C. 存在正实数a和实数，使在上递减，在上递增D. 对任意负实数a，存实数，使在上递减，在上递增10. 在

3、空间直角坐标系中有一正三角形，其边长为4，其中点在轴上运动，点在平面上，则的长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 函数（）为奇函数，则_.12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是_cm3，表面积是_cm213. 我国古代数学著作增删算法统宗中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算.”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里.”则他第六天走_里路，前三天共走了_里路.14. 在中，内角，所对的边分别

4、为，若，若，则_，三角形的形状为_.15. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有_种16. 椭圆的半焦距为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率为_.17. 已知平面向量，则的最大值是_，最小值是_.三解答题（共5小题，第18题14分，其余每题15分，共74分）18. 函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.19. 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点（1）求证：平面（2）若，求二面角的余弦值20. 设等差数列公差，等

5、比数列公比为，已知，.（1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和.21. 已知椭圆C：右焦点为，且过点（1）求C的方程；（2）点P、Q分别在C和直线上，M为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上22. 已知函数.（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围.2022届高三第一次模拟考试一选择题（共10小题，每题4分）1. 已知全集U为实数集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，然后求得，进而求得.【详解】，所以，所以.故选：B2. 设复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）A. B. C. D.

6、 【答案】C【解析】【分析】根据复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z11+i，得到z21+i，再利用复数的乘法求解.【详解】复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z11+i，z21+i，（1+i）（1i）1iii22i故选：C3. 若、为非零实数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题可根据充分条件以及必要条件的判定得出结果.【详解】若，则，故“”是“”的充分条件，令，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4. 平行四边形中

7、，点E是的中点，点F是的一个三等分点（靠近B），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，.故选：D.【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.5. 若直线y=ax+2a与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. 0，9C. 0，+ )D. (-，9【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，直线过定点，数形结合得出，求出，得出实数的取值范围【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，；，直线过定点，直线

8、经过不等式组表示的平面区域有公共点则，故选：B 6. 在的展开式中的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先写出展开式的通项，再令，即可求解.【详解】展开式的通公式为，令.则，故的系数是，故选：A【点睛】本题主要考查了求二项式展开式中某一项的系数，属于基础题.7. 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合已知条件

9、以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】依题意可知，所以.故选：C8. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可【详解】解：根据导函数图像，的增区间为，减区间为，观察选项可得D符合，故选：D【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题9. 已知函数，则下列结论中正确是（ ）A. 存在实数a，使有最小值且最小值大于0B 对任意实数a，有最小值且最小值大于0C. 存在正实数a和实数，使在上递减，在上递增

10、D. 对任意负实数a，存在实数，使在上递减，在上递增【答案】C【解析】【分析】求出导函数，根据导数与单调性、最值的关系判断【详解】，令，则，当时，恒成立，即在为增函数，有且只有一个实根，且时，递减，时，递增，是极小值点，也是最小值点C显然正确时，时，B错误，当时，而不是最小值点（因为），因此存在，使得，综上得A错，由得，或时，时，即在和上递增，在上递减，所以极大值，当时，极大值，极小值，因此即在，上各有一个零点，从小到大依次为，在，上，递减，在，上，递增，D错误故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值解题基础是掌握单调性与导数的关系解题关键是对“存在”、“任意”等词语的

11、正确理解，掌握相应命题的求解方法10. 在空间直角坐标系中有一正三角形，其边长为4，其中点在轴上运动，点在平面上，则的长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点为，连接，根据题中条件，求出，；得到点在以点为圆心，以为半径的圆上，根据圆的性质，结合题意，即可得出，从而可得出结果.【详解】取的中点为，连接，因为在空间直角坐标系中，即为直角三角形，又，所以；因为是边长为的等边三角形，所以，因此点在以点为圆心，以为半径的圆上，为使的长度取得最值，只需三点共线，因此，即，所以的长度的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在先确定点是以中点为圆心，以

12、为半径的圆上的点，将问题转化为求定点到圆上一点距离的最值问题即可.二填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 函数（）为奇函数，则_.【答案】【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数为奇函数，则，即，即对任意的恒成立，则，得.故答案为：.12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是_cm3，表面积是_cm2【答案】 3； . 【解析】【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积【详解】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是，表面积是（2+2

13、+1+）1+211+cm2故答案为：3，11+【点睛】本题了考查三视图的还原，求几何体的面积、体积，确定直观图的形状是关键，属于基础题.13. 我国古代数学著作增删算法统宗中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算.”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里.”则他第六天走_里路，前三天共走了_里路.【答案】 . . 【解析】【分析】将实际问题转化为等比数列模型，由每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里，可知等比数列的公比与前6项和，即可求得首项，代入第6项的通项公式与等比数列前3项前n项和公式

14、，求得答案.【详解】由题可知每天走的路程成等比数列，设第一天走了a里，且公比所以6天共走，所以则第六天，故答案为：(1) (2)【点睛】本题考查等比数列的实际应用，优先建立等比数列模型，再解模，属于中档题.14. 在中，内角，所对的边分别为，若，若，则_，三角形的形状为_.【答案】 . 或 . 正三角形.【解析】【分析】由给定等式边化角，再用两角和正弦变形求出即可得解；由，结合所求角即可得解.【详解】中，由正弦定理及给定等式得：，而，则，又，所以或；因，则，于是为正三角形.故答案为：或；正三角形.15. 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名

15、优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有_种【答案】81【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，由分步计数原理分析剩下的3人分配方案数目，由乘法原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行分析：在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有种情况，对于剩下的三人，每人都可以安排在、三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有种不同的选法，则有种不同的分配方法；故答案为：81【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意“可以有乡镇中学不分配到名优教师”的条件，属于基础题16. 椭圆的半焦距为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的

16、离心率为_.【答案】【解析】【分析】先确定直线y2x与椭圆的一个交点的坐标，代入椭圆方程，转化为关于a，c之间的方程，从而可求椭圆的离心率【详解】解：由题意，直线y2x与椭圆的一个交点的纵坐标为2c，将其代入得而所以，另一根不合题意，舍去故答案为点睛】本题的考点是椭圆的简单性质，主要考查椭圆的离心率，关键是寻找几何量a，c之间的关系17. 已知平面向量，则的最大值是_，最小值是_.【答案】 . . 【解析】【分析】设， 易得，则，进而表示，作图分析只讨论；利用分类讨论与的投影的正负，以与垂直，与垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.【详解】因为，可设， 易得，则所

17、以或 ，其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者，将其整理为；从图象中可看出对顶角部分（无论阴影部分还是非阴影部分）是对称的，所以只讨论当与的投影均非负时，显然以与垂直是第一个分界线，则则因为，所以由，即，则，所以最小值为11，最大值为16；当与的投影为负，与的投影为正时，显然以与垂直是第二个分界线，则则显然在第四象限，因，所以，即，故，所以在区间上应单调递减，故； 当与的投影均为负时，则所以由中，即所以在区间上应单调递减故；综上所述，的最大值为16，最小值为.故答案为：(1).；(2).【点睛】本题考查在平面向量的背景下转化为三角函数求最值，涉及向量数量积的坐标运算与表示，还考查了分类讨论思想

18、的使用，属于难题.三解答题（共5小题，第18题14分，其余每题15分，共74分）18. 函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；（2）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值.【详解】（1）由图象可得，函数的最小正周期为，所以，所以，可得，因此，；（2），当时，所以，当时，函数取最小值，即.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方

19、法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.19. 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点（1）求证：平面（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值【详解】（1）取的中点，连接、，在中，因为为中点，为中点，所以，且，且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，又因为点为的中点，所以，且，所以且，从而四边形为平行四边形，所以，又平面平面，

20、所以平面；（2）在直三棱柱中，平面，平面，则，因为，所，故，从而以点为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示，则、，设平面的法向量为，则，即，解得，令，得，设平面的法向量为，则，即，解得，令，得，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角

21、还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20. 设等差数列公差为，等比数列公比为，已知，.（1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将条件均用基本量表示，列方程求解即可；（2）写出和，作差，利用等比数列的求和公式整理即可【详解】（1），又，解得：，若，（舍去），若，.（2），.【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力，是基础题21. 已知椭圆C：右焦点为，且过点（1）求C的方程；（2）点P、Q分别在C和直线上，M为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分

22、析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.（2）设出的坐标，求得直线的斜率，根据求得直线的方程，从而求得点的坐标，计算，由此得到，从而判断出直线与直线的交点在圆上.【详解】（1）依题意知为椭圆C的左顶点，故，又为C的右焦点，所以于是，.所以C的方程为（2）设，则，直线的斜率，又，所以直线的方程为，令得，又P在C上，所以，即，代入（*）得，所以故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆方程为即直线与直线的交点在某定曲线上【点睛】本题解题关键在于判断出，采用的方法是利用向量数量积的坐标运算.22. 已知函数.（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围.【答案

23、】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，令求得切点坐标后可得切线方程；（2）求导函数，确定在定义域内只有一个极值点，因此这个极值点必在区间上，然后得函数在上的极小值，由极小值小于0，区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论【详解】由已知函数定义域是，（1），由解得（舍去），又，所以切线方程为，即；（2），易知只有一个极值点，要使得有两个零点，则，即，此时在上，递减，在上，递增，在时取得极小值，所以解得综上的范围是【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题函数在某个区间上的零点，解题时先从大处入手，由导数确定函数的极值点，利用单调区间上的零点最多只有一个，因此函数的极值点必在给定区间内，从而缩小参数的范围，在此范围内计算的单调性与极值，结合零点存在定理可得结论