2020-2021学年浙江省温州市乐清市芙蓉镇二校联考八年级上9月月考数学试题（含答案解析）

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1、八年级上月考考试数学试题八年级上月考考试数学试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分每小题只有一个选项是正确的，不选、分每小题只有一个选项是正确的，不选、 多选、错选，均不给分）多选、错选，均不给分） 1. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 2，2，4 C. 2，3，6 D. 6，8，15 3. 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 在ABC 中,若A+B=90,则ABC 一定是( ) A.

2、 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 把不等式 1 23 x x 组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 6. 点5,7P 关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. 7,5 B. 5, 7 C. 5,7 D. 5, 7 7. 对于命题“若 a2b2，则 ab”，下面四组关于 a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. a=3，b=2 B. a=3，b=2 C. a=3，b=1 D. a=1，b=3 8. 如图，已知BACDAC，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC的是（ ） A CBCD B. ABAD C. B

3、CADCA D. BD 9. 如图，ABCV周长是 21，OB，OC分别平分ABC 和ACB，ODBC于D， 且4OD， 则ABCV 的面积为（ ） A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 10. 如图所示，边长为 2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合） ，点E在边AB的 延长线上， 点F在边AC的延长线上，ADDEDF 点D在BC边上从B至C的运动过程中，BEDV 周长变化规律为（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 8 题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. 已知

4、点P在第四象限，点P的坐标可以是_（只要写出一个符合条件的坐标即可） 12. 某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 18 months如果用 x（单位：月）表示 Eatable Date（保质期） ， 那么该饮料的保质期可以用不等式表示为_ 13. 乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”如图，雁荡山在乐成镇的_ 14. 如图，将一副直角三角扳叠在一起，使直角顶点重合于O点，则AOBDOC_ 15. 如图，在ABCV中，7cmAC ，5cmBC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则 DBC的周 长是_cm 16. 将一筐橘子分给若千个儿童，如果每人分 4个橘子，则剩下 9 个

5、橘子；如果每人分 7个橘子，则最后一 个儿童分得的橘子数将少于 3个，由以上可推出，共有_个儿童，分_个橘子 17. 如图， 在直角三角形EFD中， 直角边4EF ，3DF ， 以它的三边分别作出了正方形ABDE、CDFL、 EFGH，把AEH、BDCV、GFL的面积分别记为 1 S、 2 S、 3 S，则 123 SSS_ 18. 图 1是小馨在“天猫双 12”活动中购买的一张多档位可调节靠椅 档位调节示意图如图 2所示， 己知两 支脚0.8ABAC米，0.96BC 米，O为AC上固定连接点， 靠背0.8OD米 档位为档时，/OD AB， 档位为档时，ODAC当靠椅由档调节为档时，靠背顶端D

6、向后靠的水平距离（即EF）为_ 米 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 6 小题，共小题，共 46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解不等式（组） （1）533xx （2） 31512 1 531 1 23 xx xx 20. 平面直角坐标系中，画出点0,2A，点4,0B，点C与点A关于x轴对称 （1）连结AB、AC、BC，并画出ABCV的BC边上的中线AE （2）求出ABE的面积 21. 如图，在ABCV中，80A ， 50B，CD是ACB平分线，/DE BC，交AC于点E （1）求CDE的度数 （2）若点F为CD

7、中点，连结EF求证：EFCD 22. 如图，在ABCV中，ABAC，DE垂直平分AB，BEAC ，AFBC （1）证明：AGBC； （2）求EFC的度数 23. 某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维 生素 C含量及购买这两种原料的价格如下表：现要配制这种营养食品 20千克要求每千克至少含有 480单位 的维生素 C，设购买甲种原料x千克 原料维生素 C 及价格 甲种原料 乙种原料 维生素 C（单位千克） 600 400 原料价格（元/千克） 9 5 （1）至少需要购买甲种原料多少千克？ （2）请说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少？并求出

8、最少费用 24. 如图，在长方形ABCD中，点E是边BC的中点，沿AE对折长方形ABCD，使点B落在点P处，折 痕为AE，连接CP并延长交CD于点F，连接BP，12BC （1）证明：BPC为直角三角形； （2）证明：BEDF； （3）连接DP，当APFV为等腰三角形时，求DP的长 八年级上月考考试数学试题卷八年级上月考考试数学试题卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分每小题只有一个选项是正确的，不选、分每小题只有一个选项是正确的，不选、 多选、错选，均不给分）多选、错选，均不给分） 1. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）

9、A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等图形的定义判断即可； 【详解】A选项，两个图形能够完全重合，故本选项正确； B选项，圆内两条相交的线段所成的夹角不同，不能完全重合，故本选项错误； C选项，两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误； D 选项，两个图形中的嘴巴不能完全重合，故本选项错误 故选 A 【点睛】本题主要考查了全等图形的判断，准确理解是解题的关键 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 2，2，4 C. 2，3，6 D. 6，8，15 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系计算判定求解 【详解】解：由

10、2+34得 2，3，4 能构成三角形，故 A选项符合题意； 由 2+24得 2，2，4 不能构成三角形，故 B 选项不符合题意； 由 2+36得 2，3，6 不能构成三角形，故 C 选项不符合题意； 由 6+815得 6，8，15不能构成三角形，故 D选项不符合题意， 故选：A 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两 边之差小于第三边，掌握三角形的三边关系是解题的关键 3. 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选

11、项图形解答 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高 故选：D 【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的定义以及作出图形是解题关键 4. 在ABC 中,若A+B=90,则ABC 一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【详解】在 ABC 中,A+B=90 ，根据三角形的内角和定理可得C=90，所以 ABC 一定是直角三 角形，故选 B. 5. 把不等式 1 23 x x 组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式的解集，再将

12、不等式的解集表示在数轴上即可 【详解】 1 23 x x 解不等式得：1x， 不等式组的解集为11x 将不等式组的解集表示在数轴上： 故选 B 【点睛】本题考查解不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知 识是解题关键 6. 点5,7P 关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. 7,5 B. 5, 7 C. 5,7 D. 5, 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接写出答案 【详解】解：点 P（-5，7）关于 y轴的对称点的坐标为（5，7） ， 故选：C 【点睛】此题主要考查了关于 y 轴对称点的坐标特

13、点，关键是掌握点的变化规律 7. 对于命题“若 a2b2，则 ab”，下面四组关于 a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. a=3，b=2 B. a=3，b=2 C. a=3，b=1 D. a=1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在 A 中，a2=9，b2=4，且 32，满足“若 a2b2，则 ab”，故 A 选项中 a、b 的值不能 说明命题为假命题； 在 B 中，a2=9，b2=4，且32，此时虽然满足 a2b2，但 ab 不成立，故 B 选项中 a、b 的值可以说明命 题为假命题； 在 C 中，a2=9，b2=1，且 31，满足“若 a2b2，则 ab”，故

14、 C 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题； 在 D 中，a2=1，b2=9，且13，此时满足 a2b2，得出 ab，即意味着命题“若 a2b2，则 ab”成立， 故 D 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题； 故选 B 考点：命题与定理 8. 如图，已知BACDAC，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC的是（ ） A. CBCD B. ABAD C. BCADCA D. BD 【答案】A 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可 【详解】解：选项 A中，根据 CB=CD，AC=AC，BAC=DAC，不能推出BAC 和D

15、AC全等，故本 选项符合题意； 选项 B中，在ABC和ADC中，AB=AD，BAC=DAC，AC=AC， 根据 SAS 可以判定ABCADC，故本选项不符合题意； 选项 C中，在ABC和ADC中，BAC=DAC，AC=AC，BCA=DCA， 根据 ASA可以判定ABCADC，故本选项不符合题意； 选项 D中，在ABC和ADC中，B=D，BAC=DAC，AC=AC， 根据 AAS可以判定ABCADC，故本选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键 9. 如图，ABCV的周长是 21，OB，OC分别平分ABC 和ACB，ODBC于D， 且4OD

16、， 则ABCV 的面积为（ ） A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线性质可得点 O到 AB、AC、BC的距离为 4，再根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：连接 OA OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且4OD 点 O到 AB、AC、BC 的距离为 4 ABCAOCOBCABO SSSS 1 4 2 ABBCAC 1 4 21 2 42 故选 C 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键 10. 如图所示，边长为 2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合） ，点E在

17、边AB的 延长线上， 点F在边AC的延长线上，ADDEDF 点D在BC边上从B至C的运动过程中，BEDV 周长变化规律为（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【解析】 【分析】先证明BEDCDF，得到BED周长是 BE+BD+AD=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD，由此求解即 可得到答案 【详解】解：AD=DE=DF， BED=BAD，DAC=DFC， ABC是等边三角形， BAC=ABC=ACB=60 BED+BDE=ABC=60 （三角形外角定理） 即BAD+BDE=60 又BAD+DAC=60 ， BDE=DAC， BDE=DFC，

18、 DBE=180 -ABC，FCD=180 -ACB DBE=FCD 在BED中CDF 中 BDEDFC DBEFCD DEDF BEDCDF（AAS） ， BE=CD BED周长是 BE+BD+DE，DE=AD BED周长是 BE+BD+AD=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD 影响BED周长的是 AD， 又AD 在变化过程中会经历一个由大变小在变大的过程，在 ADBC时有最小值 BED周长变化规律为先变小在变大 故选 D 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质和全等三角形的判定以及三角形周长等相关知识点，能够熟练的 运用三角形外角和定理求得证全等所需要的对应角很关键. 二、填空题（本题有

19、二、填空题（本题有 8 题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. 已知点P在第四象限，点P的坐标可以是_（只要写出一个符合条件的坐标即可） 【答案】2, 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据点在第四象限内的坐标特征，即可求解 【详解】解：点P在第四象限， 点P坐标可以是2, 1P， 故答案为：2, 1（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特 点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（-，+） ；第三象限（-，-） ；第四象限（+，-）是解题的关键 12. 某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Dat

20、e 18 months如果用 x（单位：月）表示 Eatable Date（保质期） ， 那么该饮料的保质期可以用不等式表示为_ 【答案】0 x18 【解析】 【详解】试题分析：将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等关系式即可一般饮料和 食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 0 x18 考点：一元一次不等式的应用 13. 乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”如图，雁荡山在乐成镇的_ 【答案】北偏东 27 的37km处 【解析】 【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东 27 度的方向，距离原点37km

21、处， 即可求解 【详解】 解： 由图象可得： 乐成镇位于坐标原点， 雁荡山在乐成镇的北偏东 27 度的方向， 距离原点37km处， 即雁荡山在乐成镇的北偏东 27 度的37km处 故答案为：北偏东 27度的37km处 【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键 14. 如图，将一副直角三角扳叠在一起，使直角顶点重合于O点，则AOBDOC_ 【答案】180 【解析】 【分析】直接利用已知三角板得出AOBDOCCODAODDOB，进而得出答案 【详解】解：将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于 O， AOBDOCCODAODDOBCOADOB180 故答案为：18

22、0 【点睛】此题主要考查了余角和补角，正确得出AOBDOCCODAODDOB 是解题关键 15. 如图，在ABCV中，7cmAC ，5cmBC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则 DBC的周 长是_cm 【答案】12 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DADB，根据三角形周长公式计算即可 【详解】解：DE是线段AB的垂直平分线， DADB， 12 DBC CBCBDDCBCDADCACBCcm V ， 故答案为：12 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等是解题的关键 16. 将一筐橘子分给若千个儿童，如果每人分 4个橘

23、子，则剩下 9 个橘子；如果每人分 7个橘子，则最后一 个儿童分得的橘子数将少于 3个，由以上可推出，共有_个儿童，分_个橘子 【答案】 . 5 . 29 【解析】 【分析】如果每人分 4个橘子，则剩下 9 个橘子，可设有 x个儿童，则橘子数有：4x+9；每人分 7 个橘子， 则最后一个儿童分得的橘子数将少于 3 个，即橘子总数小于 7（x-1）+3，就可以列出不等式，得出 x 的取 值范围 【详解】解：设共有 x个儿童，则共有 4x+9 个橘子， 14971 49713 xx xx , 解得 13 3 x5， 所以共有 5 个儿童，4x+9=29 个橘子， 故答案是：5，29 【点睛】考查了

24、一元一次不等式组的应用要注意不等式两边同时除以一个负数不等号的方向要改变正 确理解“最后一个儿童分得的橘子数少于 3 个”这句话包含的不等关系是解决本题的关键 17. 如图， 在直角三角形EFD中， 直角边4EF ，3DF ， 以它的三边分别作出了正方形ABDE、CDFL、 EFGH，把AEH、BDCV、GFL的面积分别记为 1 S、 2 S、 3 S，则 123 SSS_ 【答案】18 【解析】 【分析】过点 A 作 AMEH交 EH延长线于点 M，连接 MG，FM，根据题意可证得AEMADEF，从而得 到 AM=DF，进而 SAHE=SDEF，同理 SBDC=SGFM=SDEF，可得到 S

25、AHE +SBDC+SGFL=3SDEF，即可求解 【详解】解：如图，过点 A作 AMEH交 EH 延长线于点 M，连接 MG，FM， 正方形ABDE、CDFL、EFGH， DF=DC，DE=DB，AE=DE，EF=FG，FL=DF，GFL=90，EDF+BDC=180 ， AME=DFE=90 ， AEM+DEM=90 ，DEM+DEF=90 ， AEM=DEF， AE=DE， AEMADEF（AAS） ， AM=DF， EH=EF， 11 22 AMEHEFDF ， SAHE=SDEF， 同理：SBDC=SGFM=SDEF， SGFL= 1 2 FG FL， SGFL= 1 2 DF EF

26、= SDEF， 直角边4EF ，3DF ， SAHE +SBDC+SGFL=3 SDEF=31 2 3 4=18， 123 18SSS 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了正方形性的性质，求三角形的面积，全等三角形的判定和性质，得到 SAHE +SBDC+SGFL=3 SDEF是解题的关键 18. 图 1是小馨在“天猫双 12”活动中购买的一张多档位可调节靠椅 档位调节示意图如图 2所示， 己知两 支脚0.8ABAC米，0.96BC 米，O为AC上固定连接点， 靠背0.8OD米 档位为档时，/OD AB， 档位为档时，ODAC当靠椅由档调节为档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为_ 米

27、 【答案】0.16 【解析】 【分析】过 A作 AGBC于点 G，过 O作 OHBC于 H，作 OMDF 于点 M，交 DE于点 N，再次证明全 等：ABGDON，ACGODM，便可解决问题 【详解】解：过 A 作 AGBC 于点 G，过 O作 OHBC 于 H，作 OMDF 于点 M，交 DE于点 N，如图所 示， 则 OMHF，ONHE， ABAC0.8，BC0.96 BGCG 1 2 BC0.48， AG 22 0.64ABBG ， ABCD，BCOM， ABGDON， 在ABG和DON 中， 90 0.8 ABGDON AGBDNO ABOD ， ABGDON（AAS） ， BGONH

28、E0.48， ODAC DOM+MOC90， OMBC， MOCACG， ACG+CAG90， CAGDOM， 在ACG和ODM 中， 90 CAGDOM AGCOMD ACOD ， ACGODM（AAS） ， AGOMHF0.64， EFHFHE0.640.480.16（m） ， 故答案为：0.16 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是构造全等三角 形 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 6 小题，共小题，共 46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解不等式（组） （1）5

29、33xx （2） 31512 1 531 1 23 xx xx 【答案】 （1） 3 8 x ； （2） 1 3 3 x 【解析】 【分析】 （1）直接移项解不等式即可； （2）先分别解一元一次不等式，再求交集即可. 【详解】解： （1）533xx 533xx 3 8 x ， 故答案为： 3 8 x ； （2） 3(1)5(1)2 1 531 1 23 xx xx 解由得：3x， 由得： 1 3 x ， 原不等式组的解集为 1 3 3 x ， 故答案为： 1 3 3 x . 【点睛】本题是对一元一次不等式组考查，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键. 20. 在平面直角坐标系中，画出

30、点0,2A，点4,0B，点C与点A关于x轴对称 （1）连结AB、AC、BC，并画出ABCV的BC边上的中线AE （2）求出ABE的面积 【答案】 （1）见解析； （2）4 【解析】 【分析】 （1）标出点0,2A，点4,0B，依据轴对称的性质，即可得到点C，依次连结，再利用中点坐 标公式得出 E 点坐标，画出 AE即可； （2）根据三角形面积计算公式，即可得到ABE的面积 S的值 【详解】解：点C与点A关于x轴对称且0,2A， 0, 2C 如下图所示，依次在图中画出点 A、点 B与点C并连接即可， 又 AE是BC边上的中线， 2, 1E 如图所示，连接 AE即可； （2） 111 4 4= 2

31、2 4 2 ABEABC SS VV 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系基础，解题的关键是学会利用轴对称性质求坐标及面积 21. 如图，在ABCV中，80A ， 50B，CD是ACB的平分线，/DE BC，交AC于点E （1）求CDE的度数 （2）若点F为CD中点，连结EF求证：EFCD 【答案】 （1）25 ； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形的内角和定理得出50ACB，再根据角平分线的定义和平行线的性质即可 得出答案； （2）根据等腰三角形的底边上的三线合一即可得出结论； 【详解】解： （1）Q50B，80A ， 50ACB QCD平分ACB ， =25BCDACD，

32、 Q /DE BC， 25EDCBCD （2）=25BCDACD，25EDCBCD ACDBCDEDC， ED EC 又QF是CD的中点， EFCD 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题 的关键 22. 如图，在ABCV中，ABAC，DE垂直平分AB，BEAC ，AFBC （1）证明：AGBC； （2）求EFC的度数 【答案】 （1）见解析； （2）45 【解析】 【分析】 （1）证明AGEVBCEV即可； （2）由（1）可得22.5EBCBEF，再由三角形外角性质可得结论 【详解】解： （1）DE垂直平分AB， EAEB， 又BEAC，

33、AFBC， 90AEGBEC， 又90FACCEBCC， FACEBC， AGEVBCEV， AG BC （2）QDE垂直平分AB，BEAC EAEB，90BEABEC 45BAC AFBC，ABAC BFCF， 1 22.5 2 FACBAC， 又90BEC EFBFCF， 22.5EBCBEF， 45EFC 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上 的点到这条线段的两个端点的距离相等是解此题的关键 23. 某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维 生素 C含量及购买这两种原料的价格如下表：

34、现要配制这种营养食品 20千克要求每千克至少含有 480单位 的维生素 C，设购买甲种原料x千克 原料维生素 C 及价格 甲种原料 乙种原料 维生素 C（单位千克） 600 400 原料价格（元/千克） 9 5 （1）至少需要购买甲种原料多少千克？ （2）请说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少？并求出最少费用 【答案】 （1）至少需要购买甲种原料 8千克； （2）购买甲种原料 8 千克时，总费用最少是 132元 【解析】 【分析】 （1）根据题意分别求出甲、乙两种原料中维生素 C 的含量，再根据每千克至少含有 480 单位的维 生素 C，列出不等式即可； （2）根据表中所给的数据列出式子，再

35、根据 k 的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少 详解】解： （1）依题意，得 600 x+400（20-x）48020， 解得 x8 至少需要购买甲种原料 8 千克， 答：至少需要购买甲种原料 8千克 （2）根据题意得：y=9x+5（20-x） ， 即 y=4x+100， k=40， y随 x的增大而增大， x8， 当 x=8 时，y最小，y=4 8+100=132， 购买甲种原料 8千克时，总费用最少，是 132元， 答：购买甲种原料 8 千克时，总费用最少，是 132元 【点睛】本题考查一次函数的应用、不等式的应用，解题的关键的理解题意，找等量关系或不等关系 24. 如图，在长

36、方形ABCD中，点E是边BC的中点，沿AE对折长方形ABCD，使点B落在点P处，折 痕为AE，连接CP并延长交CD于点F，连接BP，12BC （1）证明：BPC为直角三角形； （2）证明：BEDF； （3）连接DP，当APFV为等腰三角形时，求DP的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）6或2 21 【解析】 【分析】（1） 根据E是BC的中点， 得到BECE，=PBEBPE由BEPE， 得到BCPCPE， 再根据三角形内角和定理求解即可； （2）只需要证明ABECDFV即可得到答案； （3）分当FAFP时，FAPFPA 和当PAPF时，PAFPFA两种情况讨论求解即可 【详解】

37、解： （1）由折叠的性质可知：BEPE E是BC的中点， BE CEPE， =PBEBPE，BCPCPE， =180PBCPCBBPCPBCPCBBPECPE o ， =90BPECPEBPC o ， BPC是直角三角形； （2）由折叠的性质可知：AEBP， 90BPC o ，AEBP， /AE CF， AEBCFD 四边形 ABCD是长方形， ADBC，CD=AB， 90FDCABE o FCBCFD， FCBAEB ABECDFV（AAS） ， BE=DF； （3）四边形 ABCD是矩形， BAD=90 ，ADBC，AD=BC， 当FAFP时，FAPFPA ， /AE CF， PAEFAP

38、FPA ，四边形 AECF是平行四边形， CE=AF， 11 22 AFCEBCAD， AFDFPF 又BAE PAE ，BAD=90 =30BAEPAEPAFFPA o， =60DFPFAPFPA o ， FPD是等边三角形， 1 6 2 PDDFAD 当PAPF时，PAFPFA，过P作PMAD交AD于M， 由折叠的性质可得PAEBAE ， 又/AE CF，EAF+BAE=90 则 11 =30 22 EAFPFAPAFPAEBAE o ， 1 2 APABAE， 222 ABBEAE ， 222 64ABAB ， 2 3APAB ， 1 3 2 PMAP， 22 3AMAPPM ， DM=9， 22 2 21DPPMDM ， 综上所述6DP 或 2 21DP 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定， 含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解