2.2简谐运动的描述 学案-2021年粤教版(新教材)物理选择性必修第一册
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1、第二节第二节 简谐运动的描述简谐运动的描述 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.知道简谐运动的数学表达式,知道数 学表达式中各物理量的意义。 2.知道简谐运动的图像是正弦或余弦曲 线。 1.科学思维 根据图像或关系式分析简谐运动。 2.关键能力 应用数学方法分析运动规律的能力。 一、简谐运动的函数描述 1.振动曲线: 振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线,简称 xt 图线。 2.简谐运动位移一时间图像的函数表达式为 xAcos(t)。 (1)A 为简谐运动的振幅, 为简谐运动的角频率。 (2) 与周期 T 或者频率 f 的关系为 2 T 2f。 判一判 (1)按 x5sin (8t1 4
2、) cm 的规律振动的弹簧振子的振幅为 5 m。() (2)按 x5sin (8t1 4) cm 的规律振动的弹簧振子的振动周期为 0.25 s。() (3)按 x5sin (8t1 4) cm 的规律振动的弹簧振子的振动频率为 4 Hz。() 二、简谐运动的图像描述 1.xcos (t)中的 t 叫作相位,而对应 t0 时的相位 叫作初相位,简称初相。 2.对于频率相同、相位不同的振子,我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动先后关系。 3.相位差用 表示,则 (t1)(t2)12。 判一判 (1)相位是一个表示振子处在振动周期中的哪个位置的物理量。() (2)两个振动物体相位相同,则其振动
3、步调相反。() (3)两个振动物体频率相同,相位差为零,则它们振动的步调相同。() 探究 1 简谐运动的函数表达式 情境导入 甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 xt 图像:如图所示,取一张白纸,在正中间画一条直线 OO,将白纸平铺在桌面上,甲同学用手使铅笔尖从 O 点沿垂直于 OO方向振动画线,乙同学 沿 OO 方向水平向右匀速拖动白纸。 (1)白纸不动时,甲同学画出的轨迹是怎样的? (2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时,甲同学画出的轨迹又是怎样的? (3)沿 OO 方向与垂直 OO 方向分别建立坐标轴,说说两坐标轴可表示什么物理量?图线上点 的坐标表示什么?用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线?
4、 答案 (1)是一条垂直于 OO的直线。 (2)轨迹如图所示,类似于正弦曲线。 (3)垂直 OO 方向的轴为位置坐标轴 x(如果以 O为出发点, 也可以说是位移坐标轴), 沿 OO 方 向的轴为时间轴 t。图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以 O为出发点)或位置。一种方 法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验, 另一种是用图上多个点的坐标值输入计算 机作出这条曲线,看看这条曲线可以用什么函数表示。 归纳拓展 1.对表达式 xAcos(t)的理解 (1)式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移;t 表示振动的时间。 (2)由于 2 T 2f,所以表达式也可写成: xAcos 2 T
5、t 或 xAcos(2ft)。 (3)相位 表示 t0 时,简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相。 (t)代表了做简谐运动的质点在 t 时刻,处在一个运动周期中的哪个状态,所以代表简谐 运动的相位。相位每增加 2 就意味着完成了一个全振动。 (4)相位差 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差:21 若 0 时,表明两个物体运动步调相同,即同相。 若 ,表明两个物体运动步调相反,即反相。 若 210,则 2 的相位比 1 的相位超前 或 1 的相位比 2 的相位落后 。 若 210,则 2 的相位比 1 的相位落后|或 1 的相位比 2 的相位超前|。 【例 1】 (多选)(2021 江苏南
6、通中学高二下月考)如图所示,水平弹簧振子沿 x 轴在 M、N 间 做简谐运动,坐标原点 O 为振子的平衡位置,其振动方程为 x5cos () 10t cm。下列说法正 确的是( ) A.M、N 间距离为 5 cm B.振子的振动周期是 0.2 s C.t0 时,振子位于 N 点 D.t0.05 s,振子具有最大加速度 答案 BC 解析 M、N 间距离为 2A10 cm,选项 A 错误;因为 10 rad/s 可知振子的振动周期是 T 2 2 10 s0.2 s,选项 B 正确;由 x5cos ()10t cm 可知 t0 时 x5 cm,即振子位于 N 点,选项 C 正确;t0.05 s 时
7、x0,此时振子在 O 点,振子的加速度为零,选项 D 错误。 【训练 1】 (多选)(2021 广东佛山一中高三段考)物体 A 做简谐运动的振动方程是 xA3cos ()100t m,物体 B 做简谐运动的振动方程是 xB5cos 100t 6 m。比较 A、B 的运动( ) A.振幅是矢量,A 的振幅是 6 m,B 的振幅是 10 m B.周期是标量,A、B 周期相等,都为 100 s C.A 振动的频率 fA等于 B 振动的频率 fB D.B 的相位始终超前 A 的相位 6 答案 CD 解析 振幅是标量,A、B 的振动范围分别是 6 m、10 m,但振幅分别为 3 m、5 m,A 错误;
8、A、B 的周期均为 T2 2 100 s6.2810 2 s,B 错误;因为 T ATB,故 fAfB,C 正确; AB 6,为定值,D 正确。 探究 2 简谐运动的图像 1.对简谐运动图像(xt 图像)的认识 (1)形状:正(余)弦曲线 (2)物理意义:表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移,是位移随时间的变化规律。 (3)获取信息 任意时刻质点的位移的大小和方向。 如图甲所示, 质点在 t1、 t2时刻的位移分别为 x1和x2。 任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中 a 点,下一时刻离平衡位置更 远,故 a 此刻向上振动。 任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及
9、大小比较:看下一时刻质点的位置,判断 是远离还是靠近平衡位置,若远离平衡位置,则速度越来越小,加速度、位移越来越大,若靠 近平衡位置,则速度越来越大,加速度、位移越来越小,如图乙中 b,从正位移向着平衡位置 运动,则速度为负且增大,位移、加速度正在减小,c 从负位移远离平衡位置运动,则速度为 负且减小,位移、加速度正在增大。 2.简谐运动两种描述方法的比较 (1)简谐运动图像即 xt 图像是描述质点振动情况的一种手段,直观反映了质点的位移 x 随时 间 t 变化的规律。 (2)xAcos(t)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。 【例 2】 如图所示为某弹簧振子在 05 s 内的振动图像,
10、 由图可知, 下列说法中正确的是( ) A.振动周期为 5 s,振幅为 8 cm B.第 2 s 末振子的速度为零,加速度为正向的最大值 C.从第 1 s 末到第 2 s 末振子在做加速运动 D.第 3 s 末振子的速度为负向的最大值 答案 B 解析 振幅等于最大位移的大小,故振幅为 4 cm,而周期是完成一次全振动的时间,所以振 动周期为 4 s,A 错误;第 2 s 末振子的速度为零,加速度为正向的最大值,B 正确;从第 1 s 末到第 2 s 末振子向负的最大位移处运动,所以振子速度减小,做减速运动,C 错误;第 3 s 末振子的位移为零,振子正经过平衡位置向正方向运动,故速度最大且方向
11、为正,D 错误。 【训练 2】 (2021 任丘市一中高二月考)如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像, 下列判断正确的是( ) A.t210 3 s 时刻纸盆中心的速度最大 B.t310 3 s 时刻纸盆中心的加速度最大 C.在 0110 3 s 之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同 D.纸盆中心做简谐运动的方程为 x1.510 4cos (50t)m 答案 C 解析 t210 3 s 时刻在位移最大位置,则纸盆中心的速度为零,选项 A 错误;t3103 s 时刻纸盆中心在平衡位置,加速度为零,选项 B 错误;在 0110 3 s 之间纸盆中心的速度 方向与加速度方向均沿负方向, 方
12、向相同, 选项C正确; 因为2 T 2 410 3 rad/s500 rad/s, 则纸盆中心做简谐运动的方程为 x1.510 4cos (500t)m,选项 D 错误。 探究 3 简谐运动的周期性和多解性 1.周期性 简谐运动是一种周期性的运动,根据其周期性可作如下判断: (1)若 t2t1nT,则在 t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。 (2)若 t2t1nT1 2T,则在 t1、t2 两时刻,描述运动物体的物理量(x、F、a、v)均大小相等, 方向相反。 (3)若 t2t1nT1 4T 或 t2t1nT 3 4T,则当 t1 时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达 平衡
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