2.5.1第一课时直线与圆的位置关系 学案(含答案)
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1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第一课时第一课时 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 课标要求 素养要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线 与圆的位置关系. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆 的三种位置关系. 通过直线与圆的位置关系的判断,进一 步提升数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 直线与圆的位置关系及判断(直线:AxByC0(A,B 不同时为 0),圆:(xa)2 (yb)2r2) 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 个 1 个 0 个 判定 方法 几何法: 设圆心到直线的距离 d|AaBb
2、C| A2B2 dr 代数法:由 AxByC0 (xa)2(yb)2r2 消元得到一元二次方程的判 别式 0 0 0)相切,则 a 等于 4.() 提示 若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,即 |a| 2 a,解之得 a 2. (4)直线 x2y10 与圆 2x22y24x2y10 的位置关系是相交.() 2.已知直线 xa(a0)和圆(x1)2y24 相切,那么 a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 C 解析 由题意知圆心(1,0)到直线 xa 的距离为 2,即|a1|2(a0),解之得 a 3. 3.直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是( ) A.相切 B
3、.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 答案 B 解析 圆心到直线的距离 d 1 11 2 2 1, 又直线 yx1 不过圆心(0,0),选 B. 4.圆 x2y24x0 在点 P(1, 3)处的切线方程为_. 答案 x 3y20 解析 由题意点 P 在圆上且 P 为切点. 点 P 与圆心(2,0)连线的斜率为 30 12 3, 切线的斜率为 3 3 , 切线方程为 y 3 3 3 (x1), 即 x 3y20. 题型一 直线与圆位置关系的判定 【例 1】 已知圆的方程是 x2y22,直线 yxb,当 b 为何值时,圆与直线 相交、相切、相离? 解 法一 直线与圆的位置关系问题可转化为
4、方程组 x 2y22, yxb, 有两组不同实数解;有一组实数解;无实数解的问题. 代入,整理得 2x22bxb220, 方程的根的判别式 (2b)242(b22)4(b2)(b2). 当2b0,方程组有两组不同实数解,因此直线与圆有两个公共点, 直线与圆相交; 当 b2 或 b2 时,0,方程组有一组实数解,因此直线与圆只有一个公共 点,直线与圆相切; 当 b2 时,0,方程组没有实数解,因此直线与圆没有公共点,直线 与圆相离. 综上,当2b2 或 b2 时,直线与圆相离. 法二 圆心(0,0)到直线 yxb 的距离为 d |b| 2,圆的半径 r 2. 当 dr,即 |b| 2 2时,直线
5、与圆相交,2br,即 |b| 2 2时,直线与圆相离,b2 或 b2. 综上当2b2 或 b1,故点 M 在圆外. 当切线斜率存在时,设切线方程是 y4k(x2),即 kxy42k0, 由于直线与圆相切,故 |k342k| k2(1)21,解得 k 24 7 . 所以切线方程为 24x7y200. 又当切线斜率不存在时,直线 x2 与圆相切. 综上所述,所求切线方程为 24x7y200 或 x2. 【迁移 1】 若将例 2 中的点 M 的坐标改为(1,2),其他条件不变,又如何求 其切线方程? 解 由于(11)2(23)21,故点 M 在圆上, 设圆的圆心为 C,则 C(1,3),显然 CM
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