3.2.1双曲线及其标准方程 学案(含答案)
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1、3.2 双曲线双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 课标要求 素养要求 1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程. 2.理解双曲线标准方程的推导过程,并能运 用标准方程解决相关问题. 通过推导双曲线方程的过程,提升 逻辑推理素养;通过求解双曲线的 方程,提升数学运算素养. 自主梳理 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫做双曲线的焦 距. (1)若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 M 的轨迹为双曲线的一支, 具体是哪一支,取决于|MF
2、1|与|MF2|的大小. (2)双曲线定义中的常数必须要大于 0 且小于|F1F2|. 若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以 F1和 F2为端点的两条方向 相反的射线(包括端点). 若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. 若定义中的常数为 0,此时动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0) y2 a2 x2 b21(a0,b0) 焦点 F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|2c a,b,c 的关系 c2a2b2 (1)
3、双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指 双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴. (2)两种双曲线x 2 a2 y2 b21, y2 a2 x2 b21(a0,b0)的相同点是:它们的形状、大小都 相同,都有 a0,b0,a2b2c2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的 焦点坐标也不同. 自主检验 1.思考辨析,判断正误 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲 线.() 提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线. (2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.() 提示 平面内到点
4、F1(0,4),F2(0,4)的距离之差等于 6 的点的轨迹为双曲线的 一支. (3)平面内到点 F1(0,4),F2(0,4)的距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双 曲线.() 提示 因为|PF1|PF2|8|F1F2|,故对应的轨迹为两条射线. (4)若焦点在 x 轴上的双曲线方程为x 2 a2 y2 b21,则 a 2b2.() 提示 焦点跟着正项走,若焦点在 x 轴上,只要 x2的系数为正即可. 2.已知 F1(3,3),F2(3,3),动点 P 满足|PF1|PF2|4,则 P 点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 答案 B 解析 因为|PF1
5、|PF2|4,且 4|F1F2|, 由双曲线定义知,P 点的轨迹是双曲线的一支. 3.已知双曲线的焦点为 F1(4,0),F2(4,0),双曲线上一点 P 满足|PF1|PF2| 2,则双曲线的标准方程是( ) A. x2 15y 21 B.x2 y2 151 C.x2y 2 161 D. x2 16y 21 答案 B 解析 由题知 c4,a1,故 b215,所以双曲线的标准方程为 x2 y2 151. 4.已知双曲线x2y2m与椭圆2x23y272有相同的焦点, 则m的值为_. 答案 6 解析 椭圆方程为 x2 36 y2 241,c 2a2b2362412, 焦点 F1(2 3,0),F2
6、(2 3,0). 双曲线x 2 m y2 m1 与椭圆有相同焦点, 2m12,m6. 题型一 双曲线定义的应用 【例 1】 (1)若双曲线 E:x 2 9 y2 161 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲 线 E 上,且|PF1|3,则|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 (2)设 F1, F2分别是双曲线 x2 y2 241 的左、 右焦点, P 是双曲线上的一点, 且 3|PF1| 4|PF2|,则PF1F2的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48 答案 (1)B (2)C 解析 (1)由双曲线的定义,得|PF1|PF2|2a6, 即|3|
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