3.1.2第一课时椭圆的简单几何性质 学案(含答案)
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1、3.1.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第一课时第一课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 课标要求 素养要求 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.能根据几何条件求出椭圆方程,利用 椭圆的方程研究它的性质并画出图形. 通过研究椭圆的几何性质,提升数学抽 象与数学运算素养. 自主梳理 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围 axa,byb bxb,aya 顶点 A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a), B1
2、(b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长2b,长轴长2a 焦点 ( a2b2,0) (0, a2b2) 焦距 |F1F2|2a2b2 对称性 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 离心率 ec a(0,1) (1)椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在 性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等. (2)利用方程研究曲线对称性的方法如下: 若把曲线方程中的 x 换成x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称; 若把曲线方程中的 y 换成y,方程不变,则曲线关于 x 轴对称; 若同时把曲线方程中的 x 换成x,y 换成y,方程不变,则曲线关于
3、原点对 称. 2.离心率的作用 因为 ac0,所以 0eb0)的长轴长是 a.() 提示 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长是 2a. (2)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.() 提示 椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越扁. (3)若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长分别为 10, 8, 则椭圆的方程为 x2 25 y2 161.() 提示 因椭圆的焦点位置不确定,因而椭圆的方程不唯一. (4)设 F 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点,M 为其上任一点,则|MF|的最大值 为 ac(c 为椭圆的半焦距).() 2.椭圆 25x29y2225 的长轴长、短
4、轴长、离心率依次是( ) A.5,3,4 5 B.10,6,4 5 C.5,3,3 5 D.10,6,3 5 答案 B 解析 将椭圆方程化为标准方程为x 2 9 y2 251,焦点在 y 轴上,a5,b3,c a2b24,长轴长 10,短轴长 6,e4 5. 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1, 0), 离心率等于1 2, 则C的方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 4y 21 答案 C 解析 依题意知,所求椭圆的焦点位于 x 轴上, 且 c1,ec a 1 2,即 a2,b 2a2c23, 因此椭圆的方程是x 2
5、 4 y2 31. 4.已知椭圆的长轴长为 8,离心率为1 4,则椭圆的标准方程为_. 答案 x2 16 y2 151 或 y2 16 x2 151 解析 由题意知,2a8,ec a 1 4,a4,c1,从而 b 2a2c215. 椭圆的标准方程为 x2 16 y2 151 或 y2 16 x2 151. 题型一 椭圆的简单几何性质 【例 1】 求椭圆 25x2y225 的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 解 把已知方程化成标准方程为 y2 25x 21, 则 a5,b1.所以 c 2512 6, 因此,椭圆的长轴长 2a10,短轴长 2b2, 两个焦点分别是 F1(0,2 6),F2(0,2
6、 6), 椭圆的四个顶点分别是 A1(0,5),A2(0,5),B1(1,0),B2(1,0). 思维升华 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程,然后根据方程判 断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系和定义,就可以得 到椭圆相应的几何性质. 【训练 1】 已知椭圆 C1: x2 100 y2 641,设椭圆 C2 与椭圆 C1的长轴长、短轴长 分别相等,且椭圆 C2的焦点在 y 轴上. (1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆 C2的方程,并研究其性质. 解 (1)由椭圆 C1: x2 100 y2 641,可知 a10,b8,c
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