3.2.2第二课时双曲线的方程及性质的应用 学案(含答案)
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1、第二课时第二课时 双曲线的方程及性质的应用双曲线的方程及性质的应用 课标要求 素养要求 1.理解直线与双曲线的位置关系. 2.会求解有关弦长问题. 通过运用双曲线的方程与性质解决问 题,提升逻辑推理及数学运算素养. 自主梳理 1.直线与双曲线位置关系的判断 设直线 l:ykxm(m0), 双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0), 将代入,得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20. a.当 b2a2k20,即 k b a时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于一点. b.当 b2a2k20,即 k b a时,(2a 2mk)24(b2a2k2)(a2
2、m2a2b2), 0直线与双曲线有两个公共点,此时直线与双曲线相交; 0直线与双曲线有一个公共点,此时直线与双曲线相切; 0, 1k20 得2 3 3 k2 3 3 且 k 1, 此时方程(*)有两个不同的实数解, 即直线 l 与双曲线有两个不同的公共点. (2)由 43k20, 1k20 得 k 2 3 3 , 此时方程(*)有两个相同的实数解, 即直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; 当 1k20,即 k 1 时, 直线 l 与双曲线的渐近线平行, 方程(*)化为 2x5, 故方程(*)只有一个实数解,即直线 l 与双曲线相交, 有且只有一个公共点. 故当 k 2 3 3 或 1 时,
3、直线 l 与双曲线有且只有一个公共点. (3)由 43k20, 1k20 得 k2 3 3 , 此时方程(*)无实数解, 即直线 l 与双曲线无公共点. 思维升华 (1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二 次项系数为 0 时,直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切 或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 【训练 1】 已知双曲线 x2y 2 41,过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共 点,求直线 l 的斜率 k. 解 ()当直线 l 的斜率不存在时, l:x1
4、 与双曲线相切,符合题意. ()当直线 l 的斜率存在时, 设 l 的方程为 yk(x1)1, 代入双曲线方程, 得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50. 当 4k20 时,k 2, l 与双曲线的渐近线平行,l 与双曲线只有一个公共点; 当 4k20 时,令 0,得 k5 2. 综上,k5 2或 k 2 或 k 不存在. 题型二 弦长公式及中点弦问题 【例 2】 过双曲线 x2y 2 31 的左焦点 F1 作倾斜角为 6的弦 AB,求|AB|的长. 解 易得双曲线的左焦点为 F1(2,0), 直线 AB 的方程为 y 3 3 (x2), 与双曲线方程联立,消 y 得 8x24x130.
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