第八章 立体几何初步 章末复习课学案(含答案)
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1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 章末复习课章末复习课 一、几何体的表面积与体积 1主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体积,球 的表面积和体积,不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解 2利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养 例1 如图所示(单位: cm), 求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积 解 由题意知,所求几何体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、侧面和一半球面, S半球8 cm2,S圆台侧35 cm2,S圆台底25 cm2, 故所求几何体的表面积为 68 cm2. 由 V圆台1 32 2 225252452(
2、cm3), V 半球4 32 31 2 16 3 (cm3), 所以所求几何体的体积为 V圆台V半球5216 3 140 3 (cm3) 反思感悟 关于空间几何体的体积、表面积 首先要准确确定几何体的基本量,如球的半径,几何体的高、棱长等,其次是准确代入相关 的公式计算 跟踪训练 1 如图所示,已知直三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1,则三棱锥 B1ABC1 的体积为( ) A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 答案 A 解析 11 BABC V 锥 三棱 1 1 1 ABCABC V 三棱柱 1 1 1 AABC V 锥 三棱 1 CABC V 锥 三棱 3
3、4 3 12 3 12 3 12. 二、空间中的平行关系 1空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行,主要考查在空间几何体中证明线面 平行、面面平行以及线线平行 2通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化,提升逻辑推理和直观想象素养 例 2 已知 M,N 分别是底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 的棱 AB,PC 的中点,平面 CMN 与平面 PAD 交于 PE,求证: (1)MN平面 PAD; (2)MNPE. 证明 (1)如图,取 DC 的中点 Q,连接 MQ,NQ. NQ 是PDC 的中位线, NQPD. NQ平面 PAD,PD平面 PAD, NQ平面 PAD. M 是 A
4、B 的中点,四边形 ABCD 是平行四边形, MQAD. MQ平面 PAD,AD平面 PAD, MQ平面 PAD. MQNQQ,平面 MNQ平面 PAD. MN平面 MNQ,MN平面 PAD. (2)平面 MNQ平面 PAD,平面 PEC平面 MNQMN,平面 PEC平面 PADPE, MNPE. 反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行相互间的关系 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的,可以进行任意转化,相互间的转 化关系如下: 跟踪训练 2 如图所示, 四边形 ABCD 是平行四边形, PB平面 ABCD, MAPB, PB2MA. 在线段 PB 上是否存在一点 F,使平面 A
5、FC平面 PMD?若存在,请确定点 F 的位置;若不 存在,请说明理由 解 当点 F 是 PB 的中点时,平面 AFC平面 PMD,证明如下:如图连接 BD 与 AC 交于点 O,连接 FO,则 PF1 2PB. 四边形 ABCD 是平行四边形, O 是 BD 的中点,OFPD. 又 OF平面 PMD,PD平面 PMD, OF平面 PMD. 又 MAPB 且 MA1 2PB, PFMA 且 PFMA, 四边形 AFPM 是平行四边形,AFPM. 又 AF平面 PMD,PM平面 PMD, AF平面 PMD. 又 AFOFF,AF平面 AFC,OF平面 AFC, 平面 AFC平面 PMD. 三、空
6、间中的垂直关系 1主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,以及线线垂直、线面垂直、 面面垂直三者之间的联系与转化 2通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化,提升直观想象和逻辑推理素养 例 3 如图, 在四棱锥 PABCD 中, ABCD, ABAD, CD2AB, 平面 PAD底面 ABCD, PAAD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA底面 ABCD; (2)BE平面 PAD; (3)平面 BEF平面 PCD. 证明 (1)因为平面PAD底面ABCD, 平面PAD底面ABCDAD, PA平面PAD, PAAD, 所以 PA底面 ABCD. (
7、2)因为 ABCD,CD2AB,E 为 CD 的中点, 所以 ABDE,且 ABDE. 所以四边形 ABED 为平行四边形,所以 BEAD. 又因为 BE平面 PAD,AD平面 PAD, 所以 BE平面 PAD. (3)因为 ABAD,且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BECD,ADCD. 由(1)知 PA底面 ABCD,所以 APCD. 又因为 APADA,AP,AD平面 PAD, 所以 CD平面 PAD,所以 CDPD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PDEF,所以 CDEF. 又因为 CDBE,EFBEE,EF,BE平面 BEF, 所以 CD平面 BE
8、F.又 CD平面 PCD, 所以平面 BEF平面 PCD. 反思感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 跟踪训练 3 如图所示,已知 AF平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角 梯形,DAB90 ,ABCD,ADAFCD2,AB4. (1)求证:AC平面 BCE; (2)求证:ADAE. 证明 (1)在直角梯形 ABCD 中,ADCD2,AB4, 所以 ACBC2 2, 所以 AC2BC2AB2,所以 ACBC. 因为 AF平面 ABCD,AFBE, 所以 BE平面 ABCD,AC平面 ABCD, 所以 BEAC. 又 BE平面 BCE,BC平面 BCE,B
9、EBCB, 所以 AC平面 BCE. (2)因为 AF平面 ABCD,AD平面 ABCD, 所以 AFAD. 又DAB90 ,所以 ABAD. 又 AF平面 ABEF,AB平面 ABEF,AFABA, 所以 AD平面 ABEF. 又 AE平面 ABEF,所以 ADAE. 四、空间角的求法 1空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时 要先找角,再证角,最后在三角形中求角 2通过找角,证角,求角,提升逻辑推理与数学运算素养 例 4 如图,正方体的棱长为 1,BCBCO,求: (1)AO 与 AC所成角的大小; (2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值; (
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