2021年河南省三门峡市中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2021 年河南省三门峡市中考数学一模试卷年河南省三门峡市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 22021 年春节档电影你好，李焕英，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情收获好评的同时也成为了 票房黑马截止 3 月 6 日 13：43：32，你好，李焕英票房成功突破 50 亿，成为中国影史上第三部 突破 50 亿票房大关的电影其中 50 亿用科学记数法表示为（ ） A50108 B5109 C51010 D0.510

2、10 3如图是由 5 个相同的正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A B C D 4下列运算正确的是（ ） A2a+3b5ab B（3ab）29ab2 C（a1）2a21 D2ab2b2ab 5如图，点 F 在直线 CD 上，FG 平分EFD，ABCD，156，2 的度数为（ ） A34 B56 C62 D68 6某校九年级学生组织了两次体育测试某男生小宇 6 次立定跳远的成绩分别为：204cm，212cm，212cm， 220cm，215cm，221cm，则小宇 6 次成绩的众数和平均数分别是（ ） A212cm，211cm B221cm，212cm C221cm，214cm D212

3、cm，214cm 7九章算术中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16 两），雀重燕轻，互换其 中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重 x 两，燕重 y 两，根据题意列出 方程组正确的是（ ） A B C D 8若关于 x 的一元二次方程 mx23x+20 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm且 m0 Dm且 m0 9如图，在平面直角坐标系中，ABC 为等腰直角三角形，A（2，0），B（0，2），按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N；再分别以点 M，N 为圆心，大于

4、MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 G，作射线 AG，交 BC 于点 E则点 E 的坐标为（ ） A（1，1） B（1，4） C（2，4） D（2，2） 10如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AB4，BC6，BAD30动点 P 沿路径 A BCD 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动过点 P 作 PHAD，垂足为 H设点 P 运动的时间为 x（单位：s），APH 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算：（3）0 12为“弘扬五四精神凝聚青春力量”

5、，某校举行歌咏比赛比赛前，九（1）、九（2）班的班长从备选 歌曲光荣啊，中国共青团我和我的祖国我们是共产主义接班人和歌唱祖国中抽取自己 班级的参赛歌曲，四首歌的歌名分别写在四张不透明的卡片正面上（卡片除文字外完全相同），在进行 歌曲抽选前，老师先将卡片背面朝上，洗匀后开始抽取九（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回 后洗匀， 再由九 （2） 班班长从中随机抽取一张卡片， 两班抽中相同歌曲的概率是 13如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别 为 3，1，反比例函数 y的图象经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 14已

6、知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边的延长线上一点，CE4，连接 AE，与 CD 交于点 F，连接 BF 并延长与线段 DE 交于点 G，则 BG 的长为 15如图，在扇形 OAB 中，AOB110，半径 QA6，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落 在 AB 上的点 D 处，折痕交 OM 于点 C，则阴影部分的周长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16先化简，再求值：（1），其中 m2 17为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校开展了党史知识的宣传教育活动为了解此次活动的效果，从 全校 1800 名学

7、生中随机抽取了一部分进行知识测试 （测试满分 100 分， 得分 x 均为不小于 60 的整数） ， 并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60 x70），合格（70 x80），良好（80 x90），优秀 （90 x100），抽样和分析过程如下： 【收集数据】从三个年级中各随机抽取 20 名学生，测试成绩（单位：分）如下： 七年级 80，75，65，92，84，78，60，86，78，74，81，79，76，74，72，84，88，95，82，73 八年级 83，76，98，69，95，87，75，66，88，77，76，79，94，80，73，82，82，96，81，71 九年级 70，85，

8、75，87，93，98，80，88，87，65，91，87，92，84，76，89，100，95，82，100 【整理数据】整理以上数据，绘制了频数分布表： 分数 频数 年级 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 七年级 2 9 7 2 八年级 2 7 7 4 九年级 1 3 a b 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 年级 平均数 中位数 优秀率 七年级 78.8 78.5 10% 八年级 81.4 80.5 20% 九年级 86.2 c d 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 a ，b ，c ，d （2）根据统计数据，你认为哪个年级的成绩最好，

9、并说明理由 （3）若该校学生全部参加测试，请估计成绩达到良好及以上等级的学生人数 18如图 1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图 2 是它的俯视图汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行 且距离为 0.8 米， 已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米 （参考数据： sin400.6428， cos400.7660， sin41 0.6561，cos410.7547，sin420.6691，cos420.7431） （1）当车门打开角度AOB 为 40时，车门是否会碰到墙？请说明理由 （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 19河南灵宝苹果为中华苹果之翘楚，被誉为“中

10、华名果”，某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新 红星”两个品种的苹果已知 2 箱红富士苹果的进价与 3 箱新红星苹果的进价的和为 282 元，且每箱红 富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵 6 元 （1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）若超市准备购买红富士和新红星两种苹果共 50 箱，且红富士的数量不少于新红星的，请设计出 最省钱的购买方案，并说明理由 20阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负 数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面

11、作出 了巨大贡献他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”该定 理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 ACBD，垂足为 M，直线 MEBC，垂足为 E，并且交直线 AD 于点 F，则 AFFD 证明：ACBD，MEBC， CME+MCE90，CBD+MCE90 CBDCME _，CMEAMF CADAMF AFMF 任务： （1）材料中划横线部分短缺的条件为： ； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 ACBD，垂足为 M，

12、F 为 AD 上一点，直线 FM 交 BC 于点 E， 求证： 证明： 21已知抛物线 yax22ax3+2a2（a0） （1）若 a2，求抛物线解析式，并判断图象与 x 轴的交点的个数； （2）在 a0 的条件下，点 A（m，y1），B（3，y2）在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 22如图 1，在ABC 中，AE 平分BAC 交 BC 于 E，D 是 AB 边上一动点，连接 CD 画交 AE 于点 P，连 接 BP已知 AB6cm，设 B，D 两点间的距离为 xcm，B，D 两点间的距离为 y1cm，A，P 两点间的距离 为 xcm小华根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随

13、自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小华的探究过程，请补充完整 （1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00 y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 0.00 并在平面直角坐标系 xOy 中画出了 y1的图象，如图 2 所示： 请在同一平面直角坐标系中画出函数 y2的图象 表格中空缺的数据约为 （2）继续在同一坐标系中，画出所需要的函数图象，并结合函数图象直接写出：当 AP2BD 时

14、，AP 长 度的近似值约为 cm（结果保留两位小数） （3）小华继续探究，得到：当 BP 平分ABC 时，BD 的长度是一个确定的值，请直接写出此时 BD 的 长度 23（1）【问题发现】 如图 1， 在 RtABC 中， ABAC2， BAC90， 点 D 为 BC 的中点， 以 CD 为一边作正方形 CDEF， 点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 （2）【拓展研究】 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无 变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3）【问题发现】 当正方形 CDEF

15、旋转到 B，E，F 三点共线的时候，直接写出线段 AF 的长 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出 解：|3|（3）3 故选：A 22021 年春节档电影你好，李焕英，温馨、有趣，体现了深厚的母女之情收获好评的同时也成为了 票房黑马截止 3 月 6 日 13：43：32，你好，李焕英票房成功突破 50 亿，成为中国影史上第三部 突破 50 亿票房大关的电影其中 50

16、 亿用科学记数法表示为（ ） A50108 B5109 C51010 D0.51010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 解：50 亿50000000005109 故选：B 3如图是由 5 个相同的正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】俯视图是从上面看所得到的图形 解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形 故选：A 4下列运算正确的是（ ）

17、A2a+3b5ab B（3ab）29ab2 C（a1）2a21 D2ab2b2ab 【分析】根据合并同类项的方法可以判断 A，根据积的乘方可以判断 B，根据完全平方公式可以判断 C， 根据单项式除以单项式的法则可以判断 D 解：2a+3b 不能合并，故选项 A 不符合题意； （3ab）29a2b2，故选项 B 不符合题意； （a1）2a22a+1，故选项 C 不符合题意； 2ab2b2ab，故选项 D 符合题意； 故选：D 5如图，点 F 在直线 CD 上，FG 平分EFD，ABCD，156，2 的度数为（ ） A34 B56 C62 D68 【分析】由平行线的性质可求得EFD1801124，

18、2DFG，再由角平分线的定义可得 DFG62，即可求得2 的度数 解：ABCD，156， EFD1801124，2DFG， FG 平分EFD， DFG62， 262 故选：C 6某校九年级学生组织了两次体育测试某男生小宇 6 次立定跳远的成绩分别为：204cm，212cm，212cm， 220cm，215cm，221cm，则小宇 6 次成绩的众数和平均数分别是（ ） A212cm，211cm B221cm，212cm C221cm，214cm D212cm，214cm 【分析】根据众数和平均数的概念求解 解：这组数据出现次数最多的是 212cm， 则众数为 212cm， 平均数为：（204+2

19、12+212+220+215+221）214（cm） 故选：D 7九章算术中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16 两），雀重燕轻，互换其 中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重 x 两，燕重 y 两，根据题意列出 方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】设雀重 x 两，燕重 y 两，根据五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16 两），雀重燕轻，互换其中 一只，恰好一样重，列方程组即可 解：设雀重 x 两，燕重 y 两， 由题意得， 故选：D 8若关于 x 的一元二次方程 mx23x+20 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）

20、 Am Bm Cm且 m0 Dm且 m0 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 m0 且（3）24m20，然后解 不等式组即可 解：根据题意得 m0 且（3）24m20， 解得 m且 m0 故选：D 9如图，在平面直角坐标系中，ABC 为等腰直角三角形，A（2，0），B（0，2），按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N；再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 G，作射线 AG，交 BC 于点 E则点 E 的坐标为（ ） A（1，1） B（1，4） C（2，4） D（2，2） 【分析】过点 E 作 EH

21、AC 于点 H，由题目作图知，AD 是CAB 的平分线，则 EHEB，ABAH，证 明CEH 是等腰直角三角形，进而求解 解：过点 E 作 EHAC 于点 H， 由题目作图知，AE 是CAB 的平分线， 则 EHEB， ABAH， ABC 为等腰直角三角形，故ACB45， 则EHC 为等腰直角三角形，故 EHHC， A（2，0），B（0，2）， OAOBOC2， AB2， AH2， OHOCCH2CH， AHOA+OH4CH， 4CH2， CH42， OH2CH2（42）22 点 E 的坐标为（2，4） 故选：C 10如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AB4，BC6，BAD30动

22、点 P 沿路径 A BCD 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动过点 P 作 PHAD，垂足为 H设点 P 运动的时间为 x（单位：s），APH 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】分别求出点 P 在 AB 上运动、点 P 在 BC 上运动、点 P 在 CD 上运动时的函数表达式，进而求 解 解：当点 P 在 AB 上运动时， yAHPH APsinAAPcosAx2x2，图象为二次函数； 当点 P 在 BC 上运动时，如下图， 由知，BHABsinA42，同理 AH2， 则 yAHPH（2+x4）224+x，为一次函数； 当点

23、 P 在 CD 上运动时， 同理可得：y（2+6）（4+6+2x）（3）（12x），为一次函数； 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算：（3）0 2 【分析】先化简零指数幂，立方根，然后再计算 解：原式132， 故答案为：2 12为“弘扬五四精神凝聚青春力量”，某校举行歌咏比赛比赛前，九（1）、九（2）班的班长从备选 歌曲光荣啊，中国共青团我和我的祖国我们是共产主义接班人和歌唱祖国中抽取自己 班级的参赛歌曲，四首歌的歌名分别写在四张不透明的卡片正面上（卡片除文字外完全相同），在进行 歌曲抽选前，老师先将卡片背面朝上，洗匀后开始抽取九（1）班

24、班长先从中随机抽取一张卡片，放回 后洗匀，再由九（2）班班长从中随机抽取一张卡片，两班抽中相同歌曲的概率是 【分析】 画树状图， 共有 16 种等可能的结果， 两班抽中相同歌曲的结果有 4 种， 再由概率公式求解即可 解：把光荣啊，中国共青团我和我的祖国我们是共产主义接班人和歌唱祖国四首歌的 卡片分别记为 A、B、C、D， 画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，两班抽中相同歌曲的结果有 4 种， 两班抽中相同歌曲的概率为， 故答案为： 13如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别 为 3，1，反比例函数 y的图象经过 A，

25、B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 4 【分析】过点 A 作 x 轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E，根据 A，B 两点的纵坐标分别为 3，1，可得 出横坐标，即可求得 AE，BE，再根据勾股定理得出 AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案 解：过点 A 作 x 轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E， A，B 两点在反比例函数 y的图象上且纵坐标分别为 3，1， A，B 横坐标分别为 1，3， AE2，BE2， AB2， S菱形ABCD底高224， 故答案为 4 14已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边的延长线上一点，CE4，连接 AE，与 CD 交于点 F，连接

26、 BF 并延长与线段 DE 交于点 G，则 BG 的长为 【分析】 如图， 连接 BD， 过点 C 作 CHBG， 交 DE 于点 H， 由勾股定理可求 BDDE4， 由 “AAS” 可证ADFECF，可得 DFCF，由平行线分线段成比例可求 DGGHHE，由勾股定理可求解 解：如图，连接 BD，过点 C 作 CHBG，交 DE 于点 H， 正方形 ABCD 的边长为 4， ADBCCD4，BDC45，ADBC， BD4， 在ADF 和ECF 中， ， ADFECF（AAS）， DFCF， DCCE4，DCE90， DE4，CDE45， BDG90， CHBG， 1，1， DGGHHE， DG

27、DE， BG， 故答案为： 15如图，在扇形 OAB 中，AOB110，半径 QA6，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落 在 AB 上的点 D 处，折痕交 OM 于点 C，则阴影部分的周长为 2+6 【分析】连接 OD，先根据折叠的性质得到 BC 垂直平分 OD，则 BDBO，易得OBD 为等边三角形， 所以DOB60，则AODAOBDOB50，然后根据弧长公式求解 解：连接 OD，如图， 扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C BC 垂直平分 OD， BDBO， OBOD， OBD 为等边三角形， DOB60，BDOB

28、6 的长2， 阴影部分的周长为 2+6， 故答案为：2+6 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16先化简，再求值：（1），其中 m2 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可 解：原式 ， 当 m2时，原式 17为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校开展了党史知识的宣传教育活动为了解此次活动的效果，从 全校 1800 名学生中随机抽取了一部分进行知识测试 （测试满分 100 分， 得分 x 均为不小于 60 的整数） ， 并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60 x70），合格（70 x80），良好（80 x

29、90），优秀 （90 x100），抽样和分析过程如下： 【收集数据】从三个年级中各随机抽取 20 名学生，测试成绩（单位：分）如下： 七年级 80，75，65，92，84，78，60，86，78，74，81，79，76，74，72，84，88，95，82，73 八年级 83，76，98，69，95，87，75，66，88，77，76，79，94，80，73，82，82，96，81，71 九年级 70，85，75，87，93，98，80，88，87，65，91，87，92，84，76，89，100，95，82，100 【整理数据】整理以上数据，绘制了频数分布表： 分数 60 x70 70 x80

30、 80 x90 90 x100 频数 年级 七年级 2 9 7 2 八年级 2 7 7 4 九年级 1 3 a b 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 统计量 年级 平均数 中位数 优秀率 七年级 78.8 78.5 10% 八年级 81.4 80.5 20% 九年级 86.2 c d 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 a 9 ，b 7 ，c 87 ，d 35% （2）根据统计数据，你认为哪个年级的成绩最好，并说明理由 （3）若该校学生全部参加测试，请估计成绩达到良好及以上等级的学生人数 【分析】（1）根据收集的数据可得 a、b 的值，根据中位数的定义得 c 的值，由九年级

31、优秀人数和九年 级抽取人数即可得 d 的值； （2）根据平均数、中位数、优秀率分析即可； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可 解：（1）由收集的数据可得 a9，b7， 九年级随机抽取 20 名学生，测试成绩（单位：分）从小到大排列如下： 65，70，75，76，80，82，84，85，87，87，87，88，89，91，92，93，95，98，100，100， 九年级的中位数 c87， 九年级的优秀率 d%35%； 故答案为：9，7，87，35%； （2）九年级的成绩最好， 理由：九年级的平均数、中位数、优秀率都高于七，八年级， 九年级的成绩最好； （3）18001080（人）， 答：估

32、计成绩达到良好及以上等级的学生人数约有 1080 人 18如图 1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图 2 是它的俯视图汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行 且距离为 0.8 米， 已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米 （参考数据： sin400.6428， cos400.7660， sin41 0.6561，cos410.7547，sin420.6691，cos420.7431） （1）当车门打开角度AOB 为 40时，车门是否会碰到墙？请说明理由 （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 【分析】（1）过点 A 作 ACOB，垂足为点 C，解三角形求出 AC

33、的长度，进而作出比较即可； （2）当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时，AC0.8 米，根据正弦定义可得答案 解：（1）过点 A 作 ACOB，垂足为点 C， 在 RtACO 中， AOC40，AO1.2 米， ACsinAOCAO0.64281.20.77 米， 汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米， 车门不会碰到墙 （2）当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时，AC0.8 米， sinAOC0.67， AOC42 答：靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为 42 19河南灵宝苹果为中华苹果之翘楚，被誉为“中华名果”，某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新 红星”两个品种的苹果已

34、知 2 箱红富士苹果的进价与 3 箱新红星苹果的进价的和为 282 元，且每箱红 富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵 6 元 （1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）若超市准备购买红富士和新红星两种苹果共 50 箱，且红富士的数量不少于新红星的，请设计出 最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】（1）设每箱红富士苹果的进价是 x 元，每箱新红星苹果的进价是 y 元，根据“2 箱红富士苹果 的进价与 3 箱新红星苹果的进价的和为 282 元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵 6 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出每箱红富士苹

35、果与每箱新红星苹果的进价； （2） 设购进红富士苹果 m 箱， 则购进新红星苹果 （50m） 箱， 由购进红富士的数量不少于新红星的， 即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，设超市购进两种苹果共花费 w 元， 利用总价单价数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的 购买方案 解：（1）设每箱红富士苹果的进价是 x 元，每箱新红星苹果的进价是 y 元， 依题意得：， 解得： 答：每箱红富士苹果的进价是 60 元，每箱新红星苹果的进价是 54 元 （2）最省钱的购买方案为：购进红富士苹果 13 箱，新红星苹果 37 箱，理由如下：

36、 设购进红富士苹果 m 箱，则购进新红星苹果（50m）箱， 依题意得：m（50m）， 解得：m 设超市购进两种苹果共花费 w 元，则 w60m+54（50m）6m+2700 60， w 随 m 的增大而增大， 又m，且 m 为正整数， 当 m13 时，w 取得最大值，此时 50m501337， 最省钱的购买方案为：购进红富士苹果 13 箱，新红星苹果 37 箱 20阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负 数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出 了巨大贡献他曾经提出了“婆

37、罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”该定 理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 ACBD，垂足为 M，直线 MEBC，垂足为 E，并且交直线 AD 于点 F，则 AFFD 证明：ACBD，MEBC， CME+MCE90，CBD+MCE90 CBDCME _，CMEAMF CADAMF AFMF 任务： （1）材料中划横线部分短缺的条件为： CBDCAD ； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 ACBD，垂足为 M，F 为 AD 上一

38、点，直线 FM 交 BC 于点 E， FAFD 求证： FEBC 证明： 【分析】（1）根据圆周角定理可得结论 （2）把题设与结论交换可得逆命题，利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可 解：（1）由题意：CBDCAD 故答案为：CBDCAD （2）FAFD，FEBC AFFD，ACBD， AMD90， AFMFFD， FMDADM， DAM+ADM90， FMD+DAM90， FMDBME，DAMDBC， DBC+BME90， MEB90， FEBC 故答案为 FAFD，FEBC 21已知抛物线 yax22ax3+2a2（a0） （1）若 a2，求抛物线解析式，并判断图象与 x 轴的交点的个

39、数； （2）在 a0 的条件下，点 A（m，y1），B（3，y2）在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 【分析】（1）把 a2 代入可得到抛物线解析式为 y2x24x+5，然后根据判别式的意义判断图象与 x 轴的交点的个数； （2）先确定抛物线的对称轴为 x1，再根据二次函数的性质得到 B 点到直线 x1 的距离比 A 点到直线 x1 的距离大，则|m1|2，然后解不等式即可 解：（1）当 a2 时，抛物线解析式为 y2x24x+5， （4）2425240， 抛物线与 x 轴的交点个数为 0； （2）抛物线的对称轴为直线 x1， a0， 抛物线开口向上， 而 y1y2， |m1|31|

40、， 即|m1|2， 2m12， 1m3 22如图 1，在ABC 中，AE 平分BAC 交 BC 于 E，D 是 AB 边上一动点，连接 CD 画交 AE 于点 P，连 接 BP已知 AB6cm，设 B，D 两点间的距离为 xcm，B，D 两点间的距离为 y1cm，A，P 两点间的距离 为 xcm小华根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小华的探究过程，请补充完整 （1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 2.49 2.64 2.

41、88 3.25 3.80 4.65 6.00 y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 0.00 并在平面直角坐标系 xOy 中画出了 y1的图象，如图 2 所示： 请在同一平面直角坐标系中画出函数 y2的图象 表格中空缺的数据约为 1.35 （2）继续在同一坐标系中，画出所需要的函数图象，并结合函数图象直接写出：当 AP2BD 时，AP 长 度的近似值约为 3.88（答案不唯一） cm（结果保留两位小数） （3）小华继续探究，得到：当 BP 平分ABC 时，BD 的长度是一个确定的值，请直接写出此时 BD 的 长度 【分析】（1）用光滑的曲线连接 y2图象现有的点，在图象

42、上，测量出 x5 时，y 的值即可； （2）描点连线即可绘出函数图象； （3）当 AP2BD 时，即 y22x，在图象上画出直线 y2x，该图象与 y2的交点即为所求； 从表格数据看，当 x3 时，y1y23.25，故当 BP 平分ABC 时，此时点 P 是ABC 的内心，故点 D 在 AB 的中点，即可求解 解：（1）用光滑的曲线连接 y2图象现有的点，在图象上，测量出 x5 时，y1.35（答案不唯一）； 故答案为：1.35， 注：y1.35 是估计的数值，故答案不唯一； （2）绘制后 y1、y2图象如下： （3）当 AP2BD 时，即 y22x， 在图象上画出直线 y2x，该图象与 y2

43、的交点即为所求，即图中空心点所示， 空心点的纵坐标为 3.88， 故答案为 3.88（答案不唯一）； 从表格数据看，当 x3 时，y1y23.25， 即点 D 在 AB 中点时，y1y2，即此时点 P 在 AB 的中垂线上，则点 C 在 AB 的中垂线上，则ABC 为等 腰三角形， 故当 BP 平分ABC 时，此时点 P 是ABC 的内心，故点 D 在 AB 的中点， BDAB3 23（1）【问题发现】 如图 1， 在 RtABC 中， ABAC2， BAC90， 点 D 为 BC 的中点， 以 CD 为一边作正方形 CDEF， 点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为

44、 BEAF （2）【拓展研究】 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无 变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3）【问题发现】 当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线的时候，直接写出线段 AF 的长 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得出 AD，再得出 BEAB2，即可得出结论； （2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出 结论； （3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EFCFAD，BF ，即可得出 BE，借助（2）得出的结

45、论，当点 E 在线段 BF 的延长线上，同前一种情况 一样即可得出结论 解：（1）在 RtABC 中，ABAC2， 根据勾股定理得，BCAB2， 点 D 为 BC 的中点， ADBC， 四边形 CDEF 是正方形， AFEFAD， BEAB2， BEAF， 故答案为 BEAF； （2）无变化； 如图 2，在 RtABC 中，ABAC2， ABCACB45， sinABC， 在正方形 CDEF 中，FECFED45， 在 RtCEF 中，sinFEC， ， FCEACB45， FCEACEACBACE， FCAECB， ACFBCE， ， BEAF， 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化； （3）当点 E 在线段 BF 上时，如图 2， 由（1）知，CFEFCD， 在 RtBCF 中，CF，BC2， 根据勾股定理得，BF， BEBFEF， 由（2）知，BEAF， AF1， 当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3， 由（1）知，CFEFCD， 在 RtBCF 中，CF，BC2， 根据勾股定理得，BF， BEBF+EF+， 由（2）知，BEAF， AF+1 即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为1 或+1