北京市西城区三校联考2020-2021学年九年级上期中数学试卷（含答案）

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1、北京市西城区三校联考北京市西城区三校联考 2020-2021 学年九年级上期中数学试卷学年九年级上期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分，共分，共 16 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1 （2 分）函数 y（x+1）22 的最小值是（ ） A1 B1 C2 D2 2 （2 分）如图，O 是ABC 的外接圆，OCB40，则A 的大小为（ ） A40 B50 C80 D100 3（2 分） 若将抛物线 y5x2先向右平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay5（x2）2

2、+1 By5（x+2）2+1 Cy5（x2）21 Dy5（x+2）21 4 （2 分）如图，AB 为O 的弦，点 C 为 AB 的中点，AB8，OC3，则O 的半径长为（ ） A4 B5 C6 D7 5 （2 分）已知 A（，y1） ，B（1，y2） ，C（4，y3）三点都在二次函数 y（x2）2的图象上，则 y1， y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy3y2y1 6 （2 分）如图，O 中直径 ABDG 于点 C，点 D 是弧 EB 的中点，CD 与 BE 交于点 F下列结论： AE，ADB90，FBFD 中正确的个数为（ ） A0 B1 C2

3、D3 7 （2 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 2 1 0 1 2 3 y 4 0 2 2 0 4 下列结论： 抛物线开口向下； 当1x2 时，y0； 抛物线的对称轴是直线； 函数 yax2+bx+c（a0）的最大值为 2 其中所有正确的结论为（ ） A B C D 8 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以（3，0）为圆心作P，P 与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 点 C（0，2） ，Q 为P 上不同于 A、B 的任意一点，连接 QA、QB，过 P 点分别作 PEQA 于 E，PF QB 于 F设点 Q 的横

4、坐标为 x，PE2+PF2y当 Q 点在P 上顺时针从点 A 运动到点 B 的过程中，下 列图象中能表示 y 与 x 的函数关系的部分图象是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）抛物线 yx2+6x+m 与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值为 10 （2 分）如图，A，B，C 是O 上的三个点，如果AOB140，那么ACB 的度数为 11 （2 分）若点（1，5） ， （5，5）是抛物线 yx2+bx+c（a0）上的两个点，则 b 12 （2 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧

5、，如图 1，点 P 表 示筒车的一个盛水桶如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5m 为半径的圆， 且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦 AB 长为 8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m 13 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 都在格点上，过 A，B，C 三点作一圆弧，则圆心的 坐标是 14（2分） 已知关于x的二次函数yax2+bx+4的图象如图所示， 则关于x的方程ax2+bx0的根为 15 （2 分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，A 经过坐标原点 O，并与两坐标轴分别交于 B、C 两点

6、，点 B 的坐 标为（2，0） ，点 D 在A 上，且ODB30，求A 的半径 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程 解：如图 2，连接 BC BOC90， BC 是A 的直径（依据是 ） ODB30， OCBODB30（依据是 ） OB2， BC4即A 的半径为 2 16 （2 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，且对称轴为直线 x1，其部分图象如图所示对于此抛 物线有如下四个结论： abc0； 2a+b0； 4a2b+c0； 若 mn0，则 xm1 时的函数值小于 xn1 时的函数值 其中正确结论的序号是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17 题每

7、小题题每小题 10 分共分共 10 分，第分，第 18、19、21、22、24 题每题题每题 6 分，第分，第 20、23、 25、26 题每题题每题 7 分）分） 17 （10 分）解关于 x 的方程 （1）x2+3x+20； （2）2x22x10 18 （6 分）已知抛物线的顶点为（2，2） ，且过坐标原点，求抛物线的解析式 19 （6 分）如图，AB 是O 的一条弦，ODAB 于点 C，交O 于点 D，连接 OA若 AB4，CD1，求 O 半径的长 20 （7 分）已知抛物线 yx2+2x+3，回答下列问题： （1）画出该函数图象（要求列表、2B 铅笔画图） ； x y （2）当3x3

8、时，y 的取值范围是 21 （6 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，过 D 作 AC 的垂线，垂足 为 E 证明： （1）BDDC； （2）DE 是O 切线 22 （6 分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） （1）如果有 4 支球队参加比赛，那么共进行 场比赛； （2）如果全校一共进行 36 场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 23 （7 分）在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法某班“数学兴趣小组”根据学到的 函数知识探究函数 yx22|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题探究过程如下，请补充完整 （

9、1）函数 yx22|x|的自变量 x 的取值范围是 （2）化简：当 x0 时函数 y ，当 x0 时函数 y （3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性 质： （4）若直线 yk 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx2+2mx3m+2 （1）求抛物线的对称轴； （2）过点 P（0，2）作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N求点 M，N 的坐标； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点如果抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有 3 个整点，求 m 的取值范围

10、 25 （7 分） （1）已知等边三角形 ABC，请作出ABC 的外接圆O在O 上任取一点 P（异于 A、B、C 三点） ，连接 PA、PB、PC 依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明 （2） 已知O，请作出O 的内接等腰直角三角形 ABC， C90在O 上任取一点 P （异于 A、 B、 C 三点） ，连接 PA、PB、PC 依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明 26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于ABC，点 P 在 BC 边的垂直平分线上，若以点 P

11、 为圆心，PB 为半径的P 与ABC 三条边的公共点个数之和不小于 3， 则称点 P 为ABC 关于边 BC 的 “Math 点” 如 图所示，点 P 即为ABC 关于边 BC 的“Math 点” 已知点 P（0，4） ，Q（a，0） （1）如图 1，a4，在点 A（1，0） 、B（2，2） 、C（，） 、D（5，5）中，POQ 关于边 PQ 的“Math 点”为 （2）如图 2， 已知 D（0，8） ，点 E 为POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，请直接写出线段 DE 的长度的取值范围； 将POQ 绕原点 O 旋转一周，直线交 x 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在POQ

12、关 于边 PQ 的“Math 点” ，求 b 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分，共分，共 16 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1 （2 分）函数 y（x+1）22 的最小值是（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】抛物线 y（x+1）22 开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2） ，顶点的纵坐标2 即为 函数的最小值 【解答】解：根据二次函数的性质，当 x1 时，二次函数 y（x1）22 的最小值是2 故选：D 【点评】本题考查对二次函数最值求二次函数的最大（小）值

13、有三种方法，第一种可由图象直接得出， 第二种是配方法，第三种是公式法 2 （2 分）如图，O 是ABC 的外接圆，OCB40，则A 的大小为（ ） A40 B50 C80 D100 【分析】根据圆周角定理即可求出答案 【解答】解：OBOC BOC1802OCB100， 由圆周角定理可知：ABOC50 故选：B 【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型 3（2 分） 若将抛物线 y5x2先向右平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay5（x2）2+1 By5（x+2）2+1 Cy5（x2）21 Dy5（x+2）21 【分析】根据平

14、移规律，可得答案 【解答】解：y5x2先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 y5（x2）2+1， 故选：A 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律 求函数解析式 4 （2 分）如图，AB 为O 的弦，点 C 为 AB 的中点，AB8，OC3，则O 的半径长为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】已知 AB 和 OC 的长，根据垂径定理可得，ACCB4，在 RtAOC 中，根据勾股定理可以求 出 OA 【解答】解：OCAB 于 C， ACCB， AB8， ACCB4， 在 RtAOC 中，OC3， 根据勾股

15、定理， OA5 故选：B 【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和 弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r，弦长为 a，这条弦的弦心距为 d，则有等式 r2d2+ （）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个 5 （2 分）已知 A（，y1） ，B（1，y2） ，C（4，y3）三点都在二次函数 y（x2）2的图象上，则 y1， y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy3y2y1 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出 y1、y2、y3的大小关系 【解答】解：二次函数 y（x2

16、）2的图象开口向下，对称轴为 x2， C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3） ， 012， y1y3y2， 故选：B 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数 的增减性、对称性是解此题的关键 6 （2 分）如图，O 中直径 ABDG 于点 C，点 D 是弧 EB 的中点，CD 与 BE 交于点 F下列结论： AE，ADB90，FBFD 中正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据圆周角定理对进行判断；根据垂径定理，由 ABDG 得到，而，所以 ，根据圆周角定理得到DBEBDG，从而可对进行判断 【解答】解：A 与E 都对，

17、 AE，所以正确； AB 为直径， ADB90，所以正确； ABDG， ， 点 D 是弧 EB 的中点， 即， ， DBEBDG， FBFD，所以正确 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角也考查了垂径定理 7 （2 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 2 1 0 1 2 3 y 4 0 2 2 0 4 下列结论： 抛物线开口向下； 当1x2 时，y0； 抛物线的对称轴是直线； 函数 yax2+bx+c（a0）的最大值为

18、 2 其中所有正确的结论为（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决 【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线 x，故正确， 由抛物线的对称轴可知，当 x时，y 随 x 的增大而减小，当 x时，y 随 x 的增大而增大，故抛物线 yax2+bx+c 的开口向下，故正确， 由表格数据可知，当1x2 时，y0，故正确； 根据表格数据可知当 x时，y2，故抛物线的最大值大于 2，故错误， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解答本题的关键 是明确题意，利用二次函数的性质解答

19、8 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以（3，0）为圆心作P，P 与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 点 C（0，2） ，Q 为P 上不同于 A、B 的任意一点，连接 QA、QB，过 P 点分别作 PEQA 于 E，PF QB 于 F设点 Q 的横坐标为 x，PE2+PF2y当 Q 点在P 上顺时针从点 A 运动到点 B 的过程中，下 列图象中能表示 y 与 x 的函数关系的部分图象是（ ） A B C D 【分析】连接 PC根据勾股定理求得 PC213，即圆的半径的平方13；根据三个角是直角的四边形是 矩形，得矩形 PEQF，则 PEQF，根据垂径定理，得 QFBF，则 PE

20、2+PF2BF2+PF2PC2y，从而 判断函数的图象 【解答】解：连接 PC P（3，0） ，C（0，2） ， PC213 AC 是直径， Q90 又 PEQA 于 E，PFQB 于 F， 四边形 PEQF 是矩形 PEQF PFQB 于 F， QFBF PEBF yPE2+PF2BF2+PF2PC213 故选：A 【点评】 此题综合运用矩形的判定和性质、 垂径定理求得 y 的值， 常数函数是平行于坐标轴的一条直线 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）抛物线 yx2+6x+m 与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值为 9 【分析】利用

21、b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数得到624m0，然后解关于 m 的一次方程 即可 【解答】解：根据题意得624m0，解得 m9 故答案为 9 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题可转化为解关于 x 的一元二次方程 对于二次函数 yax2+bx+c （a， b， c 是常数， a0） ， b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 10 （2 分）如图，A，B，C 是O 上的三个点，如果AOB140，那么ACB 的度数为 110 【分析】在优弧 AB 上取点 D，连接 AD、BD，根据圆周角定理

22、求出ADB 的度数，再根据圆内接四边 形的性质求出ACB 的度数即可 【解答】解：如图，在优弧 AB 上取点 D，连接 AD、BD， 由圆周角定理得：ADBAOB70， ACB+ADB180， ACB180ADB110， 故答案为：110 【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆 心角的一半是解题的关键 11 （2 分）若点（1，5） ， （5，5）是抛物线 yx2+bx+c（a0）上的两个点，则 b 6 【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求得 b 的值 【解答】解：点（1，5） ， （5，5）是抛物线 yax2

23、+bx+c 上的两个点，它们的纵坐标相等 抛物线对称轴是直线 x3， 3， b6， 故答案为：6 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的对称性求得对称轴是解题的关键 12 （2 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点 P 表 示筒车的一个盛水桶如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5m 为半径的圆， 且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦 AB 长为 8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m 【分析】 过 O 点作半径 ODAB 于 E， 如图， 由垂径定理得到 AEBE4， 再利用勾股定理计

24、算出 OE， 然后即可计算出 DE 的长 【解答】解：过 O 点作半径 ODAB 于 E，如图， AEBEAB84， 在 RtAEO 中，OE3， EDODOE532（m） ， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2m 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂 径定理是解决问题的关键 13 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 都在格点上，过 A，B，C 三点作一圆弧，则圆心的 坐标是 （2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为 圆心 【解答】解：根据

25、垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（2，1） 故答案为： （2，1） 【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦” 14 （2 分）已知关于 x 的二次函数 yax2+bx+4 的图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx0 的根为 0 或 3 【分析】由图可知 yax2+bx 可以看作是函数 yax2+bx+4 的图象向下平移 4 个单位而得到，再根据函 数图象与 x 轴的交点个数进行解答 【解答】解：抛物线与 x 轴的交点为（4，0） ， （1，0） ， 关于 x

26、 的方程 ax2+bx+40 的根是 x14，x21，对称轴是直线 x 又将抛物线 yax2+bx+4 的图象向下平移 4 个单位而得到抛物线 yax2+bx， 抛物线 yax2+bx 与 x 轴的交点坐标是（0，0） 、 （3，0） 关于 x 的方程 ax2+bx0 的根为 0 或3 故答案是：0 或3 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对 称性质得到答案的 15 （2 分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，A 经过坐标原点 O，并与两坐标轴分别交于 B、C 两点，点 B 的坐 标为（2，0

27、） ，点 D 在A 上，且ODB30，求A 的半径 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程 解：如图 2，连接 BC BOC90， BC 是A 的直径（依据是 90的圆周角所对的弦是直径 ） ODB30， OCBODB30（依据是 同弧所对的圆周角相等 ） OB2， BC4即A 的半径为 2 【分析】先利用圆周角定理判断 BC 是A 的直径，OCBODB30，然后根据含 30 度的直角三 角形三边的关系求出 BC 即可 【解答】解：如图 2，连接 BC， BOC90， BC 是A 的直径 （90的圆周角所对的弦是直径） ， ODB30， OCBODB30（同弧或等弧所对的圆周角相等） ， OBB

28、C OB2， BC4即A 的半径为 2 故答案为 90的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 16 （2 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，且对称轴为直线 x1，其部分图象如图所示对于此抛 物线有如下四个结论： abc0； 2a+b0； 4a2b+c0； 若 mn0，则 xm1 时的函数值小于 xn1 时的函数值 其中正确结论的序号是 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与 y 轴的交点即可判

29、断； 根据抛物线的对称轴方程即可判断； 根据抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，且对称轴为直线 x1 可得抛物线与 x 轴的另一个交点坐 标为（3，0） ，即可判断； 根据 mn0，得出 m1 和 n1 的大小及其与1 的关系，利用二次函数的性质即可判断 【解答】解：观察图象可知：a0，b0，c0， abc0， 所以错误； 对称轴为直线 x1， 即1，解得 b2a，即 2ab0， 所以错误； 抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，且对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 当 x2 时，y0，即 4a2b+c0， 所以正确； mn0， m1n11

30、， 由 x1 时，y 随 x 的增大而减小知 xm1 时的函数值小于 xn1 时的函数值，故正确； 故答案为 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的 坐标特征 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17 题每小题题每小题 10 分共分共 10 分，第分，第 18、19、21、22、24 题每题题每题 6 分，第分，第 20、23、 25、26 题每题题每题 7 分）分） 17 （10 分）解关于 x 的方程 （1）x2+3x+20； （2）2x22x10 【分析】 （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）利用公式法求解即

31、可 【解答】解： （1）x2+3x+20， （x+1） （x+2）0， 则 x+10 或 x+20， 解得 x11，x22； （2）a2，b2，c1， （2）242（1）120， 则 x， 即 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 18 （6 分）已知抛物线的顶点为（2，2） ，且过坐标原点，求抛物线的解析式 【分析】设顶点式 ya（x+2）2+2，然后把（0，0）代入求出 a 即可 【解答】解：设抛物线的解析式为 ya（x+2）2+2， 把（0，0）代入得 a

32、（0+2）2+20，解得 a， 所以抛物线的解析式为 y（x+2）2+2 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据 题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时， 常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析 式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 19 （6 分）如图，AB 是O 的一条弦，ODAB 于点 C，交O 于点 D，连接 OA若 AB4，CD1，求 O 半径的长 【分析】设O 的半径为 r，在 RtA

33、CO 中，根据勾股定理列式可求出 r 的值 【解答】解：设O 的半径为 r，则 OAr，OCr1， ODAB，AB4， ACAB2， 在 RtACO 中，OA2AC2+OC2， r222+（r1）2， r， 答：O 半径的长为 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平 分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题 20 （7 分）已知抛物线 yx2+2x+3，回答下列问题： （1）画出该函数图象（要求列表、2B 铅笔画图） ； x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （2）当3x3 时，y 的取值范围是 12y4 【分

34、析】 （1）采用列表、描点法画出图象即可； （2）求得 x3 时所对应的函数值，根据图象即可求得 【解答】 （1）yx2+2x+3（x1）2+4 列表： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点、连线作图如下： （2）把 x3 代入 yx2+2x+3 得 y12， 由图象可知当3x3 时，y 的取值范围是12y4， 故答案为12y4 【点评】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出函数图象是解题的 关键 21 （6 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，过 D 作 AC 的垂线，垂足 为 E 证明： （1）BDDC；

35、（2）DE 是O 切线 【分析】 （1）连接 AD，由于 AB 是直径，那么ADB90，而 ABAC，根据等腰三角形三线合一定 理可知 BDCD； （2）连接 OD，由于BAC2BAD，BOD2BAD，那么BACBOD，可得 ODAC，而 DE AC，易证ODB90，从而可证 DE 是O 切线 【解答】证明：如右图所示， （1）连接 AD， AB 是直径， ADB90， 又ABAC， BDCD； （2）连接 OD， BAC2BAD，BOD2BAD， BACBOD， ODAC， 又DEAC， AED90， ODBAED90， DE 是O 的切线 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的

36、判定和性质、圆周角定理、切线的判定解题 的关键是连接 OD、AD，并证明 ODAC 22 （6 分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） （1）如果有 4 支球队参加比赛，那么共进行 6 场比赛； （2）如果全校一共进行 36 场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【分析】 （1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论； （2）设有 x 支球队参加比赛，根据全校一共进行 36 场比赛，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取 其正值即可得出结论 【解答】解： （1）436（场） 故答案为：6 （2）设有 x 支球队参加比赛， 依题意，得：x（x1）36， 解得：

37、x19，x28（不合题意，舍去） 答：如果全校一共进行 36 场比赛，那么有 9 支球队参加比赛 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 23 （7 分）在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法某班“数学兴趣小组”根据学到的 函数知识探究函数 yx22|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题探究过程如下，请补充完整 （1）函数 yx22|x|的自变量 x 的取值范围是 全体实数 （2）化简：当 x0 时函数 y yx22x ，当 x0 时函数 y yx2+2x （3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该

38、函数的一条性质： 函数的最小值为1 （4）若直线 yk 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为 k1 或 k0 【分析】 （1）根据函数解析式可知自变量 x 的取值范围是全体实数； （2）根据绝对值的意义化简即可； （3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为1；x1 时， y 随 x 的增大而增大，答案不唯一； （4）根据图象即可求解 【解答】解： （1）函数 yx22|x|的自变量 x 的取值范围是全体实数， 故答案为全体实数； （2）当 x0 时函数 yx22x，当 x0 时函数 yx2+2x， 故答案为 yx22x，yx2+2x； （3

39、）列表： x 3 2.5 2 1 0 1 2 2.5 3 y 3 1.25 0 1 0 1 0 1.25 3 描点画出如下函数图象： 由图象可知：函数的最小值为1， 故答案为函数的最小值为1； （4）直线 yk 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为 k1 或 k0 故答案为：k1 或 k0 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函 数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx2+2mx3m+2 （1）求抛物线的对称轴； （2）过点 P（0，

40、2）作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N求点 M，N 的坐标； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点如果抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有 3 个整点，求 m 的取值范围 【分析】 （1）利用对称轴方程求得即可； （2）根据题意 M、N 的纵坐标相同都是 2，把 y2 代入解析式，解方程即可求得； 分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得 m 的值，从而求得 m 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 ymx2+2mx3m+2 对称轴为直线 x1； （2）把 y2 代入 ymx2+2mx3m+2 得 mx2+2mx3m+22， 解得 x1 或3， M（3，2） ；N（1，2

41、） ； 当抛物线开口向上时，如图 1， 抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有 3 个整点， 则封闭区域内（不包括边界）的 3 个点为（2，1） ， （1，1） ， （0，1） ， 将（2，1）代入 ymx2+2mx3m+2，得到 m， 将（1，0）代入 ymx2+2mx3m+2，得到 m， 结合图象可得m 当抛物线开口向下时，如图 2， 则封闭区域内（不包括边界）的 3 个点为（2，3） ， （1，3） ， （0，3） ， 将（0，3）代入 ymx2+2mx3m+2，得到 m， 将（1，4）代入 ymx2+2mx3m+2，得到 m， 结合图象可得m 综上，m 的取值范围为 【

42、点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质 和数形结合的思想解答 25 （7 分） （1）已知等边三角形 ABC，请作出ABC 的外接圆O在O 上任取一点 P（异于 A、B、C 三点） ，连接 PA、PB、PC 依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明 （2） 已知O，请作出O 的内接等腰直角三角形 ABC， C90在O 上任取一点 P （异于 A、 B、 C 三点） ，连接 PA、PB、PC 依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出

43、证明 【分析】 （1）根据题意可得点 P 分别在优弧和劣弧上时的图形； 在 PB 上截取 PEPA，由APBACB60，可得等边三角形APE，可证明APCAEB，则 BEPC，从而得出 PBPA+PC 或 APBP+PC； （2）根据题意可得点 P 分别在优弧和劣弧上时的图形； 在 PA 上截取 AKPB，由APCABC45，可证明AKCBPC，则 CKCP，可得等腰直 角三角形CPK，从而得出 APBPPC由图 4，同理可得 AP+BPPC 【解答】解： （1）如下图 1、图 2 如图 1，在 PB 上截取 PEPA， APBACB60， APE 是等边三角形， BAECAP，ABAC， A

44、PCAEB（SAS） ， BEPC， BPAP+PC 由图 2，同理可得 APBP+PC （2）如下图 3、图 4； 如图 3，在 PA 上截取 AKPB， CAPCBP，ABAC， CAKCBP（SAS） ， CKCP， APCABC45， CPK 是等腰直角三角形， PKPC， PKAPAKAPBPPC 由图 4，同理可得 AP+BPPC 【点评】本题考查了作图复杂作图、等边三角形、等腰直角三角形、三角形外接圆与外心，解决本题 的关键是综合运用以上知识 26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于ABC，点 P 在 BC 边的垂直平分线上，若以点 P 为圆心，PB 为半径的P 与AB

45、C 三条边的公共点个数之和不小于 3， 则称点 P 为ABC 关于边 BC 的 “Math 点” 如 图所示，点 P 即为ABC 关于边 BC 的“Math 点” 已知点 P（0，4） ，Q（a，0） （1）如图 1，a4，在点 A（1，0） 、B（2，2） 、C（，） 、D（5，5）中，POQ 关于边 PQ 的“Math 点”为 B，C （2）如图 2， 已知 D（0，8） ，点 E 为POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，请直接写出线段 DE 的长度的取值范围； 将POQ 绕原点 O 旋转一周，直线交 x 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在POQ 关 于边 PQ 的“Mat

46、h 点” ，求 b 的取值范围 【分析】 （1）根据“Math 点”的定义，结合图象判断即可 （2） 首先证明PQO30， 当点 E 与 PQ 的中点 K 重合时， 点 E 是POQ 关于边 PQ 的 “Math 点” ， 此时 E（2，2） ，当E与 x 轴相切于点 Q 时，E（4，8） ，推出 DE4，观察图象可知， 当点 E 在线段 KE上时，点 E 为POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，求出点 D 到直线 EK 的最小值， 即可解决问题 如图 3 中， 分别以 O 为圆心， 4 和 4为半径画圆， 当线段 MN 与图中圆环 （包括小圆， 不包据大圆） 有交点时，线段 MN 上存

47、在POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，求出直线 MN 与大圆相切或小圆交于（0， 4）或（0，4）时 b 的值，即可判断 【解答】解： （1）根据“Math 点”的定义，观察图象可知，POQ 关于边 PQ 的“Math 点”为 B、C 故答案为：B，C （2）如图 2 中，P（0，4） ，Q（4，0） ， OP4，OQ4， tanPQO， PQO30， 当点 E 与 PQ 的中点 K 重合时，点 E 是POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ，此时 E（2，2） ， D（0，8） ， DE4， 当E与 x 轴相切于点 Q 时，E（4，8） ， DE4， 观察图象可知，当点 E 在线段

48、 KE上时，点 E 为POQ 关于边 PQ 的“Math 点” ， EQOQ， EQO90， EQK60， EKQ90， EEQ30， DEOQ， DEK60， DEDK， DEK 是等边三角形， 点 D 到 EK 的距离的最小值为 4sin606， 如图 3 中，分别以 O 为圆心，4 和 4为半径画圆， 当线段 MN 与图中圆环 （包括小圆， 不包据大圆） 有交点时， 线段 MN 上存在POQ 关于边 PQ 的 “Math 点” ， 当直线 MN 与小圆交于（0，4）或（0，4）时，b4， 当直线 MN 与大圆相切时，b8， 观察图象可知，满足条件的 b 的值为：4b8或8b4 【点评】 本题属于圆综合题， 考查了直线与圆的位置关系， 三角形的外接圆， 线段的垂直平分线等知识， 解题的关键是理解题意，学会利用图象，寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题