2021年甘肃省陇南市武都区中考二模数学试卷（含答案解析）

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1、2021 年甘肃省陇南市武都区中考数学二模试卷年甘肃省陇南市武都区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1下列四个实数中，是无理数的是（ ） A0 B3 C D 2如图，直线 ab，直线 ABAC，若150，则2（ ） A50 B45 C40 D30 3如图，在正六边形 ABCDEF 中，AC2，则它的边长是（ ） A1 B C D2 4如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ） A B C D 5下列运算正确的是（ ） A（ab）2a2b2 Ba2+a2a

2、4 C（a2）3a5 Da2 a 3a6 6如图所示，若点 C 是 AB 的黄金分割点，AB2，则 AC 的值为（ ） A B C D 7已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B1 C1 D1 8如图，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 70到OCD 的位置，若AOB40，则AOD（ ） A45 B40 C35 D30 9如图，在O 中，弦 AC，BD 交于点 E，连接 AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若 AE，AC5， BE3，则 BD 的长为（ ） A B C5 D 10如图，边长都为 4 的正方形 ABCD 和正三角形 EFG

3、 如图放置，AB 与 EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合现将EFG 沿 AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止在这个运动过 程中，正方形 ABCD 和EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11如果收入 100 元记作+100 元，那么支出 80 元记作 元 12分解因式：4a24ax+a 13小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元；若买 3 支玫瑰和 5 支百

4、合，则她所带的钱还缺 4 元若只买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下 元 14化简+结果是 15一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相 同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 16如图，点 P（8，6）在ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将ABC 缩小到原来 的，得到ABC，则点 P 在 AC上的对应点 P的坐标为 17如图所示，在扇形 AOB 中，AC 为弦，AOB140，CAO60，OA6，则的长 为 18如图，动点 P 从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第 1 秒运动到点（1，

5、0），第 2 秒运动到点（1，1），第 3 秒运动到点（0，1），第 4 秒运动到点（0，2） 则第 2068 秒点 P 所在位置的坐标是 三、解管题（一）（本大题共三、解管题（一）（本大题共 5 小题，共小题，共 38 分。解答时，应写出必要的文学说明、证明过程或演算步骤）分。解答时，应写出必要的文学说明、证明过程或演算步骤） 19计算： 20解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集 21如图，点 O 在ABC 的边 BC 上，以 OB 为半径作O，ABC 的平分线 BM 交O 于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断O

6、与 DE 交点的个数，并说明理由 22如图，一楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i1：，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC25 米，与亭子距离 CE20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高（注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 23现有 A、B、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各 1 个，B 盒中装有红球、黄球各 1 个，C 盒中装有红球、蓝球各 1 个，这些球除颜色外都相同现分别从 A、B、C 三个盒子中任意摸出一 个球 （1）从 A 盒中摸出红球的概率为 ； （2）用画树状图或列表的方法，求摸出的

7、三个球中至少有一个红球的概率 四、解答题（二）（本大题共四、解答题（二）（本大题共 5 小题，共小题，共 50 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 24为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改 善， 现收集了该市连续 30 天的空气质量情况作为样本， 整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计 图： 空气污染指数（） 30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2 说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：50 时，空气质量

8、为优；51100 时，空气质量为良； 101150 时，空气质量为轻度污染；151200 时，空气质量为中度污染， 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 ，中位数 ； （2）请补全空气质量天数条形统计图； （3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图； （4）健康专家温馨提示：空气污染指数在 100 以下适合做户外运动请根据以上信息，估计该市居民一 年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？ 25已知一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（3，2）、B（1，n）两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （

9、3）点 P 在 x 轴上，当PAO 为等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标 26如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 AC3AE，写出求 tanC 的思路 27 点 P 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 所在直线上的一个动点 （点 P 不与点 A、 C 重合） ， 分别过点 A、 C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E、F，点 O 为 AC 的中点 （1）如图 1 所示，当点 P 与点 O 重合时，线段 OE 和 OF 的关系是 ； （2）

10、当点 P 运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成 立？ 28如图，关于 x 的二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3）， 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，使PBC 为等腰三角形？若存在请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M

11、、N 同时停止 运动，问点 M、N 运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1下列四个实数中，是无理数的是（ ） A0 B3 C D 【分析】根据无理数的三种形式求解 解：2，为无理数 故选：D 2如图，直线 ab，直线 ABAC，若150，则2（ ） A50 B45 C40 D30 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得31，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到2 解：直线 ab，150， 1350， 直线 A

12、BAC， 2+390 240 故选：C 3如图，在正六边形 ABCDEF 中，AC2，则它的边长是（ ） A1 B C D2 【分析】过点 B 作 BGAC 于点 G，正六边形 ABCDEF 中，每个内角为（62）1806120， 即ABC120，BACBCA30，于是 AGAC，AB2， 解：如图，过点 B 作 BGAC 于点 G 正六边形 ABCDEF 中，每个内角为（62）1806120， ABC120，BACBCA30， AGAC， GB1，AB2， 即边长为 2 故选：D 4如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ） A B C D 【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的

13、看到的棱都应表现在主视图中 解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：B 5下列运算正确的是（ ） A（ab）2a2b2 Ba2+a2a4 C（a2）3a5 Da2 a 3a6 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对 各选项分析判断后利用排除法求解 解： A 选项，积的乘方：（ab）2a2b2，正确 B 选项，合并同类项：a2+a22a2，错误 C 选项，幂的乘方：（a2）3a6，错误 D 选项，同底数幂相乘：a2 a 3a5，错误 故选：A 6如图所示，若点 C

14、是 AB 的黄金分割点，AB2，则 AC 的值为（ ） A B C D 【分析】根据黄金分割的定义求解 解：点 C 是 AB 的黄金分割点， ACAB 故选：C 7已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】直接把 x0 代入进而方程，再结合 a10，进而得出答案 解：关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0， a210，且 a10， 则 a 的值为：a1 故选：D 8如图，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 70到OCD 的位置，若AOB40，则AOD（ ） A45 B40 C35 D

15、30 【分析】 首先根据旋转角定义可以知道BOD70， 而AOB40， 然后根据图形即可求出AOD 解：OAB 绕点 O 逆时针旋转 70到OCD 的位置， BOD70， 而AOB40， AOD704030 故选：D 9如图，在O 中，弦 AC，BD 交于点 E，连接 AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若 AE，AC5， BE3，则 BD 的长为（ ） A B C5 D 【分析】根据题意求出 EC，根据相交弦定理计算即可 解：ECACAE， 由相交弦定理得，AEECDEBE， 则 DE， BDDE+BE， 故选：B 10如图，边长都为 4 的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，AB

16、 与 EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合现将EFG 沿 AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止在这个运动过 程中，正方形 ABCD 和EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题 意，本题得以解决 解：当 0t2 时，S，即 S 与 t 是二次函数关系，有最小值（0，0），开 口向上， 当 2t4 时，S，即 S 与 t 是二次函数关系，开口向下， 由上可得，选项 C 符合题意， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本

17、大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11如果收入 100 元记作+100 元，那么支出 80 元记作 80 元 【分析】根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可 解：如果收入 100 元记作+100 元，那么支出 80 元记作80 元， 故答案为：80 12分解因式：4a24ax+a a（4a4x+1） 【分析】原式提取 a 分解即可 解：原式a（4a4x+1） 故答案为：a（4a4x+1） 13小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元；若买 3 支玫瑰和 5 支百 合，则她所带的钱还缺 4 元若只买 8

18、 支玫瑰，则她所带的钱还剩下 31 元 【分析】设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元，利用总价单价数量，结合小慧带的钱数不变，即可得出 关于 x，y 的二元一次方程，化简后可得出 yx+7，再将其代入（5x+3y+10）8x 中即可求出剩下的钱 数 解：设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元， 依题意得：5x+3y+103x+5y4， yx+7， （5x+3y+10）8x5x+3（x+7）+108x8x+318x31 故答案为：31 14化简+结果是 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 解：原式+ 故答案为： 15一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、

19、质地完全相 同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论 解：由图可知，黑色方砖 6 块，共有 16 块方砖， 黑色方砖在整个地板中所占的比值， 小球最终停留在黑色区域的概率是； 故答案为： 16如图，点 P（8，6）在ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将ABC 缩小到原来 的，得到ABC，则点 P 在 AC上的对应点 P的坐标为 （4，3） 【分析】根据以原点 O 为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案 解：以原点 O 为位似中心，在第一象限内将ABC 缩小到原来的，得到ABC，点 P（8，6）， 点

20、 P 在 AC上的对应点 P的坐标为（8，6），即（4，3）， 故答案为：（4，3） 17 如图所示， 在扇形 AOB 中， AC 为弦， AOB140， CAO60， OA6， 则的长为 【分析】连接 OC，证明AOC 是等边三角形，求出BOC80，再利用弧长公式求解 解：连接 OC OAOC，OAC60， OAC 是等边三角形， AOC60， BOCAOBAOC1406080， 的长， 故答案为： 18如图，动点 P 从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第 1 秒运动到点（1，0），第 2 秒运动到点（1，1），第 3 秒运动到点（0，1），第 4 秒

21、运动到点（0，2） 则第 2068 秒点 P 所在位置的坐标是 （45，43） 【分析】分析点 P 的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解 解：由题意分析可得， 动点 P 第 824 秒运动到（2，0）， 动点 P 第 2446 秒运动到（4，0）， 动点 P 第 4868 秒运动到（6，0）， 以此类推，动点 P 第 2n（2n+2）秒运动到（2n，0）， 动点 P 第 20244446 秒运动到（44，0）， 2068202444， 按照运动路线，点 P 到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上 43 个单位， 第 2068 秒点 P 所在位置的坐标是（45，43）， 故答案为：（45

22、，43） 三、解管题（一）（本大题共三、解管题（一）（本大题共 5 小题，共小题，共 38 分。解答时，应写出必要的文学说明、证明过程或演算步骤）分。解答时，应写出必要的文学说明、证明过程或演算步骤） 19计算： 【分析】先根据负整数指数幂和绝对值的意义以及二次根式的除法法则计算，然后化简后合并即可 解：原式4+2+ 4+2+ 6 20解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集 【分析】分别解两个不等式得到 x3 和 x2，再利用数轴表示，从而得到不等式组的解集 解： 解得 x3， 解得 x2， 用数轴表示为： 所以不等式组的解集为2x3 21如图，点 O 在ABC 的边 BC 上，以 OB

23、为半径作O，ABC 的平分线 BM 交O 于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断O 与 DE 交点的个数，并说明理由 【分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可 （2）证明直线 DE 是O 的切线即可解决问题 解：（1）如图，O，射线 BM，直线 DE 即为所求 （2）直线 DE 与O 相切，交点只有一个 理由：OBOD， ODBOBD， BD 平分ABC， ABMCBM， ODBABD， ODAB， DEAB， DEOD， 直线 DE 是O 的切线， O 与直线 DE 只有一个交点 22如图，一楼房 AB 后有一假山，其

24、坡度为 i1：，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC25 米，与亭子距离 CE20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高（注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 【分析】过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EHAB 于点 H，根据 CE20 米，坡度为 i1：，分别 求出 EF、CF 的长度，在 RtAEH 中求出 AH，继而可得楼房 AB 的高 解：过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EHAB 于点 H， 在 RtCEF 中， itanECF， ECF30， EFCE10 米，CF10米， BHEF10 米，HEB

25、FBC+CF（25+10）米， 在 RtAHE 中，HAE45， AHHE（25+10）米， ABAH+HB（35+10）米 答：楼房 AB 的高为（35+10）米 23现有 A、B、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各 1 个，B 盒中装有红球、黄球各 1 个，C 盒中装有红球、蓝球各 1 个，这些球除颜色外都相同现分别从 A、B、C 三个盒子中任意摸出一 个球 （1）从 A 盒中摸出红球的概率为 ； （2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率 【分析】（1）从 A 盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果； （2）画树状图展示所有 12 种等

26、可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种，由概率 公式即可得出结果 解：（1）从 A 盒中摸出红球的概率为； 故答案为：； （2）画树状图如图所示： 共有 12 种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种， 摸出的三个球中至少有一个红球的概率为 四、解答题（二）（本大题共四、解答题（二）（本大题共 5 小题，共小题，共 50 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 24为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改 善， 现收集了该市连续 30

27、 天的空气质量情况作为样本， 整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计 图： 空气污染指数（） 30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2 说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：50 时，空气质量为优；51100 时，空气质量为良； 101150 时，空气质量为轻度污染；151200 时，空气质量为中度污染， 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 90 ，中位数 90 ； （2）请补全空气质量天数条形统计图； （3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图； （4）健康专家温馨提示：空气污染指数在

28、 100 以下适合做户外运动请根据以上信息，估计该市居民一 年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？ 【分析】（1）根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为 90，由 30 各数据中排在第 15 和第 16 两个 数的平均数就可以得出中位数为 90； （2）根据统计表的数据分别计算出，优、良及轻度污染的时间即可； （3）由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可； （4）先求出 30 天中空气污染指数在 100 以下的比值，再由这个比值乘以 365 天就可以求出结论 解：（1）在这组数据中 90 出现的次数最多 7 次，故这组数据的众数为 90；在这组数据中排在最

29、中间的 两个数是 90，90，这两个数的平均数是 90，所以这组数据的中位数是 90； 故答案为：90，90 （2）由题意，得 轻度污染的天数为：3031512 天 （3）由题意，得 优所占的圆心角的度数为：33036036， 良所占的圆心角的度数为：1530360180， 轻度污染所占的圆心角的度数为：1230360144 （4）该市居民一年（以 365 天计）中有适合做户外运动的天数估计为：1830365219 天 25已知一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（3，2）、B（1，n）两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）点 P 在 x

30、 轴上，当PAO 为等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法求解即可 （2）如图设直线 AB 交 y 轴于 C，则 C（0，4），根据 SAOBSOCA+SOCB求解即可 （3）分三种情形：AOAP，OAOP，PAPO 分别求解即可 解：（1）反比例函数 y经过点 A（3，2）， m6， 点 B（1，n）在反比例函数图象上， n6 B（1，6）， 把 A，B 的坐标代入 ykx+b， 则有， 解得， 一次函数的解析式为 y2x4，反比例函数的解析式为 y （2）如图设直线 AB 交 y 轴于 C，则 C（0，4）， SAOBSOCA+SOCB 43+418 （3）由题

31、意 OA， 当 AOAP 时，可得 P1（6，0）， 当 OAOP 时，可得 P2（，0），P4（，0）， 当 PAPO 时，过点 A 作 AJx 轴于 J设 OP3P3Ax， 在 RtAJP3中，则有 x222+（3x）2， 解得 x， P3（ ，0）， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（6，0）或（，0）或（，0）或（，0） 26如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 AC3AE，写出求 tanC 的思路 【分析】（1）连接 OD，求出 ODA

32、C，求出 DFOD，根据切线的判定得出即可； （2）由 AC3AE 可设 AC3x，AEx，则 ABAC3x，EC4x；连接 BE，由 AB 是直径可知AEB 90，根据勾股定理求出 BE，解直角三角形求出即可 【解答】（1）证明：连接 OD， AB 为直径OBOD， BODB， ABAC， CB， CODB， ODAC， DFAC， DFOD， OD 为半径， DF 是O 的切线； （2）解：思路是： 连接 BE， AC3AE，ABAC， 设 AEx，ACAB3x， AB 是直径， E90， 在 RtBEA 中，由勾股定理得：BE2x， 在 RtECB 中，tanC 27 点 P 是平行四边

33、形 ABCD 的对角线 AC 所在直线上的一个动点 （点 P 不与点 A、 C 重合） ， 分别过点 A、 C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E、F，点 O 为 AC 的中点 （1）如图 1 所示，当点 P 与点 O 重合时，线段 OE 和 OF 的关系是 OEOF ； （2）当点 P 运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成 立？ 【分析】（1）点 P 与点 O 重合时，则 OAOC，可以通过证明三角形全等解决问题； （2）作 OGBP 于点 G，则 AEOGCF，先证明 OG 垂直平分 EF，即可证明 OEOF 解：（1）如图 1，O 是

34、AC 的中点， 当点 P 与点 O 重合时，则 OAOC， AEBP，CFBP， AEOCFO90， AOECOF， AOECOF（AAS）， OEOF， 故答案为：OEOF. （2）成立 补全图形如图 2， 证明：作 OGBP 于点 G， AEBP，CFBP， AEOGCF， 1， GEGF， OEOF （1）中的结论即 OEOF 仍然成立 28如图，关于 x 的二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3）， 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，使PBC 为等腰三角形？

35、若存在请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止 运动，问点 M、N 运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积 【分析】（1）代入 A（1，0）和 C（0，3），解方程组即可； （2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到 BC，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP CB；BPBC；PBPC； （3）设 AMt 则 DN2t，由 AB2，得 BM2t，SMNB（2t）2

36、tt2+2t，运用二次 函数的顶点坐标解决问题； 此时点 M 在 D 点， 点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处 解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 yx2+bx+c， 解得：b4，c3， 二次函数的表达式为：yx24x+3； （2）令 y0，则 x24x+30， 解得：x1 或 x3， B（3，0）， BC3， 点 P 在 y 轴上，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1， 当 CPCB 时，PC3，OPOC+PC3+3或 OPPCOC3 3 P1（0，3+3 ），P2（0，33 ）； 当 BPBC 时，OPOC3， P3（0，3）； 当 PBPC 时， OCOB3 此时 P 与 O 重合， P4（0，0）； 综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）； （3）如图 2，设 A 运动时间为 t，由 AB2，得 BM2t，则 DN2t， SMNB（2t）2tt2+2t（t1）2+1， 即当 M（2，0）、N（2，2）或（2，2）时MNB 面积最大，最大面积是 1