高考数学大一轮复习 第六章数列(理)分层演练(含解析共4课时)
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1、 1 第第 1 1 讲讲 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 1已知数列 1,2, 7, 10, 13,则 2 19在这个数列中的项数是( ) A16 B24 C26 D28 解析: 选 C.因为a11 1,a22 4,a3 7,a4 10,a5 13, , 所以an 3n2. 令an 3n22 19 76,解得n26. 2在数列an中,a11,anan1an1(1) n(n2,nN N*),则a3 a5的值是( ) A.15 16 B.15 8 C.3 4 D.3 8 解析: 选 C.由已知得a21(1) 22, 所以 2a 32(1) 3, a31 2, 所以 1 2a 41 2
2、(1) 4, a43,所以 3a53(1) 5,所以 a52 3,所以 a3 a5 1 2 3 2 3 4. 3(2019长沙市统一模拟考试)九章算术是我国古代第一部数学专著,全书收集了 246 个问题及其解法, 其中一个问题为“现有一根九节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面四节容积之和为 3 升,下面三节的容积之和为 4 升,求中间两节的容积各为多少?”该 问题中的第 2 节,第 3 节,第 8 节竹子的容积之和为( ) A.17 6 升 B.7 2升 C.113 66 升 D.109 33 升 解析: 选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1,a2, ,a9, 依题意有 a
3、1a2a3a43 a7a8a94 , 因为a2a3a1a4,a7a92a8,故a2a3a83 2 4 3 17 6 .选 A. 4数列an中,如果存在ak,使得akak1且akak1成立(其中k2,kN N *),则称 ak为 数列an的峰值若an3n 215n18,则a n的峰值为( ) A0 B4 C.13 3 D.16 3 解析:选 A.因为an3 n5 2 2 3 4,且 nN N *,所以当 n2 或n3 时,an取最大值,最大 2 值为a2a30.故选 A. 5(2019广东省五校协作体第一次诊断考试)数列an满足a11,且an1a1an n(nN N *),则1 a1 1 a2
4、1 a2 016等于( ) A.4 032 2 017 B.4 028 2 015 C.2 015 2 016 D.2 014 2 015 解析:选 A.由a11,an1a1ann可得an1ann1,利用累加法可得ana1 (n1)(n2) 2 ,所以ann 2n 2 ,所以 1 an 2 n 2n2 1 n 1 n1 ,故 1 a1 1 a2 1 a2 016 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 016 1 2 017 2 1 1 2 017 4 032 2 017,选 A. 6已知数列an为1 2, 1 4, 5 8, 13 16, 29 32, 61 64,则数列a n的一个通项
5、公式是_ 解析:各项的分母分别为 2 1,22,23,24,易看出从第 2 项起,每一项的分子都比分母 少 3,且第 1 项可变为23 2 ,故原数列可变为2 13 2 1,2 23 2 2,2 33 2 3,2 43 2 4,故其 通项公式可以为an(1) n2 n3 2 n. 答案:an(1) n2 n3 2 n 7若数列an满足a1a2a3ann 23n2,则数列a n的通项公式为_ 解析:a1a2a3an(n1)(n2), 当n1 时,a16; 当n2 时, a1a2a3an1an(n1)(n2), a1a2a3an1n(n1), 故当n2 时,ann2 n , 所以an 6,n1,
6、n2 n ,n2,nN N *. 答案:an 6,n1, n2 n ,n2,nN N * 8已知数列an满足a11,an1a 2 n2an1(nN N *),则 a2 018_ 3 解析:因为a11, 所以a2(a11) 20, a3(a21) 21, a4(a31) 20, 可知数列an是以 2 为周期的周期数列, 所以a2 018a20. 答案:0 9已知数列an的前n项和Sn2 n12. (1)求数列an的通项公式; (2)设bnanan1,求数列bn的通项公式 解:(1)当n1 时,a1S12 222; 当n2 时,anSnSn12 n12(2n2)2n12n2n. 因为a1也适合此等
7、式, 所以an2 n(nN N*) (2)因为bnanan1,且an2 n,a n12 n1, 所以bn2 n2n132n. 10已知数列an满足前n项和Snn 21,数列b n满足bn 2 an1且前 n项和为Tn,设cn T2n1Tn. (1)求数列bn的通项公式; (2)判断数列cn的增减性 解:(1)a12,anSnSn12n1(n2) 所以bn 2 3(n1), 1 n(n2). (2)因为cnbn1bn2b2n1 1 n1 1 n2 1 2n1, 所以cn1cn 1 2n2 1 2n3 1 n1 1 2n3 1 2n2 1 (2n3)(2n2)0,所以 cn1 cn, 所以数列cn
8、为递减数列 1(2019湖南岳阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且a11,Sn(n1)a n 2 ,则a2 017 4 ( ) A2 016 B2 017 C4 032 D4 034 解析: 选 B.由题意知n2 时,anSnSn1(n1)a n 2 na n1 2 , 化为a n n an1 n1, 所以 an n an1 n1 a 1 11,所以 ann.则a2 0172 017.故选 B. 2(2019湖北六校模拟)已知数列an满足:a11,an1 an an2(nN N *)若 bn1(n 2) 1 an1 (nN N *),b 13 2,且数列b n是单调递增数列,则实数的取值范
9、围是 ( ) A4 5 B1 C3 2 D0, 1 an1 2 an1,则 1 an112 1 an1 , 所以数列 1 an1 是等比数列,且首项为 1 a112,公比为 2, 所以1 an12 n. 所以bn1(n2) 1 an1 (n2)2 n(nN N*), 所以bn(n12)2 n1(n2), 因为数列bn是单调递增数列, 所以bn1bn, 所以(n2)2 n(n12)2n1(n2), 可得n1 2 (n2),所以b1, 所以(12)23 2,解得 4 5, 综上,的取值范围是4 5,故选 A. 3下列关于星星的图案构成一个数列,则该数列的一个通项公式是_ 5 解析:从题图中可观察星
10、星的构成规律,n1 时,有 1 个,n2 时,有 3 个;n3 时,有 6 个;n4 时,有 10 个;,所以an1234nn(n1) 2 . 答案:ann(n1) 2 4(2019成都市第二次诊断性检测)在数列an中,a11,an n 2 n 21an1(n2,nN N *), 则数列 an n 2的前n项和Tn_ 解析:由题意知 an an1 n 2 n 21 n 2 (n1)(n1),所以 ana1a 2 a1 a3 a2 an an11 2 2 2 21 3 2 3 21 n 2 n 21 2 23242n2 (21)(21)(31)(31)(41)(41)(n1)(n1) 2 232
11、42n2 132435(n1)(n1) 2n n1,所以 an n 2 2 n(n1)2 1 n 1 n1 , 所以数列 an n 2的前n项和Tn2(1 1 1 2 1 2 1 3 1 n1 1 n 1 n 1 n1)2 1 1 n1 2n n1. 答案: 2n n1 5已知数列an满足a11,a213,an22an1an2n6. (1)设bnan1an,求数列bn的通项公式; (2)求n为何值时,an最小 解:(1)由 an22an1an2n6, bnan1an, 得bn1bn2n6,b1a2a114. 当n2 时,bnb1(b2b1)(b3b2)(b4b3)(bnbn1) 14(216)
12、(226)(236)2(n1)6 142n(n1) 2 6(n1) n 27n8, 当n1 时,上式也成立 所以数列bn的通项公式为bnn 27n8. (2)由(1)可知 6 an1ann 27n8(n1)(n8), 当n8 时,an1a2a3a8, 当n8 时,a9a8, 当n8 时,an1an,即a9a10a11 所以当n8 或n9 时,an的值最小 6设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3),an1Sn3 n,nN N*. (1)设bnSn3 n,求数列b n的通项公式; (2)若an1an,nN N *,求 a的取值范围 解:(1)依题意得Sn1Snan1Sn3 n, 即Sn12
13、Sn3 n, 由此得Sn13 n12(S n3 n),即 bn12bn, 又b1S13a3, 因此,所求通项公式为bn(a3)2 n1,nN N*. (2)由(1)可知Sn3 n(a3)2n1,nN N*, 于是,当n2 时,anSnSn13 n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2, an1an43 n1(a3)2n2 2 n2 12 3 2 n2 a3, 所以,当n2 时, an1an12 3 2 n2 a30a9, 又a2a13a1,a3. 所以,所求的a的取值范围是9,3)(3,) 第第 2 2 讲讲 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和 1在等差数列an中
14、,a1a58,a47,则a5( ) A11 B10 C7 D3 解析:选 B.设数列an的公差为d,则有 2a14d8, a13d7, 解得 a12, d3, 所以a5243 7 10. 2(2019兰州市诊断考试)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a12,a8a1028,则 S9( ) A36 B72 C144 D288 解析:选 B.法一:因为a8a102a116d28,a12,所以d3 2,所以 S99298 2 3 272. 法二:因为a8a102a928,所以a914,所以S99(a 1a9) 2 72. 3已知数列an满足a115,且 3an13an2,若akak10,则正整数k
15、( ) A21 B22 C23 D24 解析:选 C.3an13an2an1an2 3a n是等差数列,则an47 3 2 3n.因为 akak10, 所以 47 3 2 3k 45 3 2 3k 0,所以45 2 k47 2 ,所以k23. 4(2019湖南衡阳八中、长郡中学等十三校模拟)等差数列an的公差d0,且a3,a5, a15成等比数列,若a55,Sn为数列an的前n项和,则数列 Sn n 的前n项和取最小值时的n 为( ) A3 B3 或 4 C4 或 5 D5 解析:选 B.由题意知 (a12d)(a114d)25, a14d5, 由d0,解得a13,d2, 所以S n n na
16、1n(n1) 2 d n 3n1n4, 由n40,得n4, 所以数列 Sn n 的前n项和取最小值时的n为 3 或 4.故选 B. 5(2019衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马 初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽 马,问:几何日相逢?( ) A12 日 B16 日 8 C8 日 D9 日 解析:选 D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列,其通项公式为an10313(n1) 13n90,驽马每日所行里数也构成一等差数列,其通项公式为bn971 2(n1) 1 2n 195 2 , 二马相逢时所走路程之和为 2
17、1 1252 250, 所以n(a 1an) 2 n(b 1bn) 2 2 250, 即n(10313n90) 2 n 971 2n 195 2 2 2 250,化简得n 231n3600,解得 n9 或n 40(舍去),故选 D. 6已知等差数列an的公差d0,且a3a9a10a8.若an0,则n_ 解析:因为a3a9a10a8, 所以a12da18da19d(a17d), 解得a14d, 所以an4d(n1)d(n5)d, 令(n5)d0(d0),可解得n5. 答案:5 7(2019重庆适应性测试(二)设Sn是等差数列an的前n项和,S1016,S100S9024, 则S100_ 解析:依
18、题意,S10,S20S10,S30S20,S100S90依次成等差数列,设该等差数列的公差 为d.又S1016,S100S9024,因此S100S902416(101)d169d,解得d8 9,因 此S10010S10109 2 d1016109 2 8 9200. 答案:200 8在等差数列an中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n8 时Sn取得最大值, 则d的取值范围为_ 解析:由题意,当且仅当n8 时,Sn取得最大值,说明 a80, a90. 所以 77d0, 78d0. 所以1d7 8. 答案: 1,7 8 9已知数列an满足:a313,anan14(n1,nN N *) (
19、1)求a1,a2及通项公式an; (2)设Sn为数列an的前n项和,则数列S1,S2,S3,中哪一项最小? 9 解:(1)因为数列an满足a313,anan14, 所以anan14, 即数列an为等差数列且公差为d4, 所以a2a3d13417, a1a2d17421, 所以通项公式ana1(n1)d214(n1)4n25. (2)令an4n250 可解得n25 4 , 所以数列an的前 6 项为负值,从第 7 项开始为正数, 所以数列S1,S2,S3,中S6最小 10在公差为d的等差数列an中,已知a110,且a1,2a22,5a3成等比数列 (1)求d,an; (2)若d0,求|a1|a2
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