高考数学大一轮复习 第十章计数原理概率随机变量及其分布(理)分层演练(含解析共8课时)
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1、 1 第第 1 1 讲讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数abi,其 中虚数的个数是( ) A30 B42 C36 D35 解析:选 C.因为abi 为虚数,所以b0,即b有 6 种取法,a有 6 种取法,由分步 乘法计数原理知可以组成 6636 个虚数 2用 10 元、5 元和 1 元来支付 20 元钱的书款,不同的支付方法有( ) A3 种 B5 种 C9 种 D12 种 解析:选 C.只用一种币值有 2 张 10 元,4 张 5 元,20 张 1 元,共 3 种;用两种币值的 有
2、1 张 10 元,2 张 5 元;1 张 10 元,10 张 1 元;3 张 5 元,5 张 1 元;2 张 5 元,10 张 1 元;1 张 5 元,15 张 1 元,共 5 种;用三种币值的有 1 张 10 元,1 张 5 元,5 张 1 元,共 1 种由分类加法计数原理得,共有 3519(种) 3某电话局的电话号码为 139,若前六位固定,最后五位数字是由 6 或 8 组成的,则这样的电话号码的个数为( ) A20 B25 C32 D60 解析:选 C.依据题意知,最后五位数字由 6 或 8 组成,可分 5 步完成,每一步有 2 种 方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为
3、 2 532. 4用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数的个数为( ) A24 B48 C60 D72 解析:选 B.先排个位,再排十位,百位,千位,万位,依次有 2,4,3,2,1 种排法, 由分步乘法计数原理知偶数的个数为 2432148. 5已知两条异面直线a,b上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平 面个数为( ) A40 B16 C13 D10 解析:选 C.分两类情况讨论:第 1 类,直线a分别与直线b上的 8 个点可以确定 8 个 不同的平面;第 2 类,直线b分别与直线a上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面根据分类 2 加法
4、计数原理知,共可以确定 8513 个不同的平面 6已知集合M1,2,3,N4,5,6,7,从两个集合中各选一个数作为 点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( ) A18 个 B10 个 C16 个 D14 个 解析:选 B.第三、四象限内点的纵坐标为负值,分 2 种情况讨论 取M中的点作横坐标,取N中的点作纵坐标,有 326 种情况; 取N中的点作横坐标,取M中的点作纵坐标,有 414 种情况 综上共有 6410 种情况 7某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D 中选择,其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重
5、复),有车主第一个号码 (从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择,其他号码只想在 1,3,6,9 中选择,则他 的车牌号码可选的所有可能情况有( ) A180 种 B360 种 C720 种 D960 种 解析:选 D.按照车主的要求,从左到右第一个号码有 5 种选法,第二个号码有 3 种选 法,其余三个号码各有 4 种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有 53444 960(种) 8直线l:x a y b1 中,a1,3,5,7,b2,4,6,8若 l与坐标轴围成的三 角形的面积不小于 10,则这样的直线的条数为( ) A6 B7 C8 D16 解析:选 B.l与坐标轴围成的三角形
6、的面积为 S1 2ab10,即 ab20. 当a1 时,不满足;当a3 时,b8,即 1 条 当a5,7时,b4,6,8,此时a的取法有 2 种,b的取法有 3 种,则直线l的 条数为 236.故满足条件的直线的条数为 167.故选 B. 9 一个旅游景区的游览线路如图所示, 某人从P点处进,Q点处出, 沿图中线路游览A, B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( ) 3 A6 种 B8 种 C12 种 D48 种 解析:选 D.从P点处进入结点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有 2 个入口(或 2 个出口),若先游览完A景点,再进入另外两个景点,最后从Q点处出
7、有(44)216 种不同的方法;同理,若先游览B景点,有 16 种不同的方法;若先游览C景点,有 16 种不 同的方法,因而所求的不同游览线路有 31648(种) 10如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在 一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数 是( ) A48 B18 C24 D36 解析: 选 D.分类讨论: 第 1 类, 对于每一条棱, 都可以与两个侧面构成 “正交线面对” , 这样的“正交线面对”有 21224 个;第 2 类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角 面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有
8、 12 个所以正方体中“正交线面对”共 有 241236(个) 11设集合A1,0,1,集合B0,1,2,3,定义A*B(x,y)|xAB,y AB,则A*B中元素的个数是( ) A7 B10 C2 5 D5 2 解析:选 B.因为集合A1,0,1,集合B0,1,2,3,所以AB0,1,A B1,0,1,2,3,所以x有 2 种取法,y有 5 种取法,所以根据分步乘法计数原理 得 2510. 12 在如图所示的五个区域中, 现有四种颜色可供选择, 要求每一个区域只涂一种颜色, 相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( ) A24 种 B48 种 C72 种 D96 种 解析:选 C.分两
9、种情况: 4 (1)A,C不同色, 先涂A有 4 种,C有 3 种,E有 2 种,B,D有 1 种, 有 43224(种) (2)A,C同色,先涂A有 4 种,E有 3 种,C有 1 种,B,D各有 2 种,有 4322 48(种) 综上两种情况,不同的涂色方法共有 482472(种) 13从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其 中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_种(用数字作答) 解析:第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的 3 人中选 1 人当 文娱委员,有 3 种选法 第二步,从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员,
10、又可分两步进行:先选学习委员有 4 种选法,再选体育委员有 3 种选法由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有 343 36(种) 答案:36 14乘积(abc)(defh)(ijklm)展开后共有_项 解析: 由(abc)(defh)(ijklm)展开式各项都是从每个因式中选一个 字母的乘积,由分步乘法计数原理可得其展开式共有 34560(项) 答案:60 15在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足ab,且a,b都是集合1,2,3,4, 5,6中的元素又点P到原点的距离|OP|5,则这样的点P的个数为_ 解析:依题意可知: 当a1 时,b5,6,两种情况; 当a2 时,b5,6,两种情况
11、; 当a3 时,b4,5,6,三种情况; 当a4 时,b3,5,6,三种情况; 当a5 或 6 时,b各有五种情况 所以共有 22335520 种情况 答案:20 16已知集合A最大边长为 7,且三边长均为正整数的三角形,则集合A的真子集 共有_个 解析:另外两个边长用x,y(x,yN N *)表示,且不妨设 1xy7,要构成三角形, 必须xy8. 当y取 7 时,x可取 1,2,3,7,有 7 个三角形; 当y取 6 时,x可取 2,3,6,有 5 个三角形; 当y取 5 时,x可取 3,4,5,有 3 个三角形 当y取 4 时,x只能取 4,只有 1 个三角形 5 所以所求三角形的个数为
12、753116.其真子集共有(2 161)个 答案:2 161 1在某校举行的羽毛球两人决赛中,采用 5 局 3 胜制的比赛规则,先赢 3 局者获胜, 直到决出胜负为止若甲、乙两名同学参加比赛,则所有可能出现的情形(个人输赢局次的 不同视为不同情形)共有( ) A6 种 B12 种 C18 种 D20 种 解析:选 D.分三种情况:恰好打 3 局(一人赢 3 局),有 2 种情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局,输 1 局,第 4 局赢),共有 236 种情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中赢 2 局,输 2 局,第 5 局赢),共有 243 2 12 种情形所有可能出现的情形共有
13、 2612 20 种故选 D. 2定义“规范 01 数列”an如下:an共有 2m项,其中m项为 0,m项为 1,且对任 意k2m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数若m4,则不同的“规范 01 数列” 共有( ) A18 个 B16 个 C14 个 D12 个 解析:选 C.设a1,a2,a3,ak中 0 的个数为t,则 1 的个数为kt, 由 2m8 知,k8 且tkt0,则 tk2t k8 t4 k,tN N * . 法一:当t1 时,k1,2;当t2 时,k2,3,4; 当t3 时,k3,4,5,6;当t4 时,k4,5,6,7,8, 所以“规范 01 数列”共有 234
14、514(个) 法二:问题即是 tk2t k8 t4 k,tN N * 表示的区域的整点(格点)的个数, 如图整点(格点)为 234514 个,即“规范 01 数列”共有 14 个 6 3从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样 的等比数列的个数为_ 解析:当公比为 2 时,等比数列可为 1,2,4 或 2,4,8;当公比为 3 时,等比数列可 为 1,3,9;当公比为3 2时,等比数列可为 4,6,9.易知公比为 1 2, 1 3, 2 3时,共有 211 4 个故共有 21148(个) 答案:8 4xyz10 的正整数解的组数为_ 解析:可按x的值分类: 当x
15、1 时,yz9,共有 8 组; 当x2 时,yz8,共有 7 组; 当x3 时,yz7,共有 6 组; 当x4 时,yz6,共有 5 组; 当x5 时,yz5,共有 4 组; 当x6 时,yx4,共有 3 组; 当x7 时,yz3,共有 2 组; 当x8 时,yz2,共有 1 组 由分类加法计数原理可知:共有 8765432189 2 36(组) 答案:36 5由数字 1,2,3,4, (1)可组成多少个三位数? (2)可组成多少个没有重复数字的三位数? (3)可组成多少个没有重复数字,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字的 三位数? 解:(1)百位数共有 4 种排法;十位数共有 4
16、种排法;个位数共有 4 种排法,根据分步 乘法计数原理知共可组成 4 364 个三位数 (2)百位上共有 4 种排法;十位上共有 3 种排法;个位上共有 2 种排法,由分步乘法计 7 数原理知共可排成没有重复数字的三位数 43224(个) (3)排出的三位数分别是 432、431、421、321,共 4 个 6已知集合M3,2,1,0,1,2,若a,b,cM,则: (1)yax 2bxc 可以表示多少个不同的二次函数? (2)yax 2bxc 可以表示多少个图象开口向上的二次函数? 解:(1)yax 2bxc 表示二次函数时,a的取值有 5 种情况,b的取值有 6 种情况,c 的取值有 6 种
17、情况,因此yax 2bxc 可以表示 566180 个不同的二次函数 (2)当yax 2bxc 的图象开口向上时,a的取值有 2 种情况,b,c的取值均有 6 种 情况,因此yax 2bxc 可以表示 26672 个图象开口向上的二次函数 第第 2 2 讲讲 排列与组合排列与组合 1不等式 A x 86A x2 8的解集为( ) A2,8 B2,6 C(7,12) D8 解析:选 D.由题意得 8! (8x)!6 8! (10 x)!,所以 x 219x840,解得 7x 12.又x8,x20,所以 7x8,xN N *,即 x8. 2 某市委从组织机关 10 名科员中选 3 人担任驻村第一书
18、记, 则甲、 乙至少有 1 人入选, 而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A85 B56 C49 D28 解析:选 C.由于丙不入选,相当于从 9 人中选派 3 人甲、乙两人均入选,有 C 2 2C 1 7种选 法,甲、乙两人只有 1 人入选,有 C 1 2C 2 7种选法所以由分类加法计数原理,共有 C 2 2C 1 7C 1 2C 2 7 49 种不同选法 3从 1,3,5 中取两个数,从 2,4 中取一个数,可以组成没有重复数字的三位数,则 在这些三位数中,奇数的个数为( ) A12 B18 C24 D36 解析:选 C.从 1,3,5 中取两个数有 C 2 3种方法,从 2,4 中取
19、一个数有 C 1 2种方法,而奇 数只能从 1,3,5 取出的两个数之一作为个位数,故奇数的个数为 C 2 3C 1 2A 1 2A 2 232221 8 24. 4某县委将 7 位大学生志愿者(4 男 3 女)分成两组,分配到两所小学支教,若要求女 生不能单独成组,且每组最多 5 人,则不同的分配方案共有( ) A36 种 B68 种 C104 种 D110 种 解析:选 C.分组的方案有 3、4 和 2、5 两类,第一类有(C 3 71)A 2 268 种;第二类有 (C 2 7C 2 3)A 2 236 种,所以共有N6836104(种) 5. 如图,MON的边OM上有四点A1,A2,A
20、3,A4,ON上有三点B1,B2, B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( ) A30 B42 C54 D56 解析:选 B.间接法:先从这 8 个点中任取 3 个点,有 C 3 8种取法,再减去三点共线的情 形即可,即 C 3 8C 3 5C 3 442. 6六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法 共有( ) A192 种 B216 种 C240 种 D288 种 解析:选 B.第一类:甲在最左端,有 A 5 554321120 种方法;第二类:乙在 最左端,有 4A 4 44432196 种方法所以共有 120
21、96216 种方法 7某班组织文艺晚会,准备从A,B等 8 个节目中选出 4 个节目演出,要求A,B两个 节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序 的种数为( ) A1 860 B1 320 C1 140 D1 020 解析:选 C.当A,B节目中只选其中一个时,共有 C 1 2C 3 6A 4 4960 种演出顺序;当A,B节 目都被选中时,由插空法得共有 C 2 6A 2 2A 2 3180 种演出顺序,所以一共有 1 140 种演出顺序 8(2019河南天一大联考) 如图,图案共分 9 个区域,有 6 种不同颜色 的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种
22、颜色的涂料,其中 2 和 9 同色、3 和 6 同色、 4和 7 同色、 5 和 8同色, 且相邻区域的颜色不相同, 则涂色方法共有( ) A360 种 B720 种 C780 种 D840 种 解析:选 B.由题意知 2,3,4,5 的颜色都不相同,先涂 1:有 6 种方法,再涂 2,3, 4,5,有 A 4 5种方法,故一共有 6A 4 5720(种) 9(2019福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件:个位数字与 9 十位数字之和为奇数,所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( ) A540 B480 C360 D200 解析:选 D.由个位数字与十位数字之和为奇
23、数知个位数字、十位数字 1 奇 1 偶,有 C 1 5C 1 5 A 2 250 种排法;所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有 C 1 44 种满足题意的选 法,故满足题意的三位数共有 504200(个) 10(2019温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成高矮相间 的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( ) A12 B14 C16 D18 解析:选 B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 5 人的身高可记为 1,2,3,4,5.要求 1, 4 不相邻分四类:先排 4,5 时,则 1 只有 1 种排法,2,3 在剩余的两个位上,这样有 A 2 2A 2 24 种
24、排法;先排 3,5 时,则 4 只有 1 种排法,2,1 在剩余的两个位上,这样有 A 2 2A 2 2 4 种排法;先排 1,2 时,则 4 只有 1 种排法,3,5 在剩余的两个位上,这样有 A 2 2A 2 24 种排法;先排 1,3 时,则这样的数只有两个,即 21534,43512,只有两种排法综上共 有 444214 种排法,故选 B. 11将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙 在同一路口的分配方案共有( ) A18 种 B24 种 C36 种 D72 种 解析:选 C.不同的分配方案可分为以下两种情况:甲、乙两人在一个路口,其余三 人分配在
25、另外的两个路口,其不同的分配方案有 C 2 3A 3 318(种); 甲、乙所在路口分配三人,另外两个路口各分配一个人,其不同的分配方案有 C 1 3A 3 3 18(种) 由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有 181836(种) 12(2019黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有 16 人,其 中一班、 二班、 三班、 四班各 4 人, 现从中任选 3 人, 要求这三人不能全是同一个班的学生, 且在三班至多选 1 人,则不同选法的种数为( ) A484 B472 C252 D232 解析:选 B.若三班有 1 人入选,则另两人从三班以外的 12 人中选取,共有 C 1
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