2021年四川省凉山州西昌市中考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2021 年四川省凉山州西昌市中考数学模拟试卷年四川省凉山州西昌市中考数学模拟试卷 一、选择题（下列各小题的选项中只有一项是正确的。本题有一、选择题（下列各小题的选项中只有一项是正确的。本题有 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 12 的相反数为（ ） A0 B1 C2 D2 2下列图形表示数轴正确的是（ ） A B C D 3如图，是 5 个完全相同的小正方体组成的一个几何体，它的主视图是（ ） A B C D 4经过全党全国各族人民 8 年的共同努力，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全部脱贫，这个数用科学记数法表示为（ ） A9

2、.899103 B0.9899104 C9.899108 D9.899107 5若代数式+有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 Dx0 且 x1 6已知 a，b 满足方程组，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 7如图，O 的周长等于 4cm，则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是（ ） A B C D 8若一组数据 2，3，4，5，x 的平均数与中位数相同，则实数 x 的值不可能的是（ ） A6 B3.5 C2.5 D1 9若一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数 yax2ax（ ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D

3、有最小值 10下列命题是假命题的是（ ） A实数与数轴上的点一一对应 B菱形的对角线互相垂直平分 C角平分线上的点到角两边的距离相等 D相等的圆心角所对的弧相等 11如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（4，0），（0，2），直线 l：ykx+4 与 y 轴交于点 P，当直线 l 平分矩形 OABC 的面积时，k（ ） A1 B3.5 C2.5 D1.5 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b24ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0；m（am+b）a+b（m 取任意实数）其中，正确的结论个数是（ ） A1 个 B2

4、 个 C3 个 D4 个 二、填空题：（有二、填空题：（有 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13分解因式：a41 14如图，把矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置若AED50，则EFC等于 15关于 x 的方程 ax2x+10 有实根，则实数 a 的范围为 16用半径为 6，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 17如图，反比例函数 y（k0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，过点 B 作BDx 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若

5、OCCD，四边形 BDCE 的面积为 3，则 k的值为 三、解答题：（有三、解答题：（有 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18计算： 19化简：，并求值，其中 x 是不等式组的整数解 20如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BEDF，且分别交对角线 AC 于点 E、F，连接 ED，BF求证：12 21某校在全校学生中开展以“守护绿水青山，我们在行动”为主题的森林草原防灭火的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖，小刚同学根据获奖结果，绘制成两幅不完整的统计表和统计图请你根据图表提供的信息，解答下列问题： 等级 频数 频率 一等奖 a 0.1 二等奖 8 0.2 三等奖 b 0.3 优秀

6、奖 16 c （1）a ，b ，c ，n （2）学校决定在获得一等奖的同学中，随机推荐两名同学代表学校参加市级比赛，其中甲、乙两位同学都获得一等奖，请用列举法或树状图求恰好选中这二人的概率 22如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AD 平分CAE 交O 于点 D，且 AECD，垂足为点 E （1）求证：直线 CE 是O 的切线 （2）若 BC2，CD2，求弦 AD 的长 四、填空题（本题有四、填空题（本题有 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23抛物线 yx2+（2m+1）x+m21 与 x 轴交于（x1，0）和（x2，0），若 x12+x22

7、+x1x217，要使该抛物线经过原点，应将它向下平移 个单位长度 24如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，4），B（3，0），以 A 为圆心，2 为半径作A，点 P 为A上一动点，M 为 OP 的中点，则 BM 的最大值为 五、解答题（本题有五、解答题（本题有 4 小题，共小题，共 40 分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 25如图，一次函数 yax+b 的图象与 y 轴交于点 B（0，2），与 x 轴交于点 E（，0），与反比例函数 y（x0）的图象交于点 D以 BD 为对角线作矩形 ABCD，使顶点 A、C 落在 x 轴上（点 A 在

8、点C 的右边） （1）求一次函数的解析式； （2）求点 C 和点 D 的坐标以及反比例函数的解析式 26阅读材料： 关于三角函数有如下的公式： sin（+）sincos+cossin， sin（）sincoscossin， tan（+）， tan（）， 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 例：tan15tan（4530） 请根据上述材料，结合你所学的知识选择适当的公式解答下面问题： （1）计算：sin15；sin75； （2）为了纪念红军长征胜利五十周年，1986 年 1 月 1 日彝海结盟纪念碑在西昌市中心顺利落成，成为西昌市标志性建筑物之一（图 1），某

9、校课外兴趣活动小组学生用所学知识来测量该建筑物的高度，如图 2，某同学站在离纪念碑底 A 距离 3 米的 C 处，测得纪念碑顶点 B 的仰角为 75，该同学的眼睛 D点离地面的距离 DC 为 1.6 米， 请帮助他求出纪念碑的高度 （精确到 0.1 米， 参考数据1.41） 27如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，E 为 CD 延长线上一点，过 E 点作O 的切线，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 F 点 （1）求证：EFEG； （2）若 FG2FDFE，试判断 AC 与 GE 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 sinE，AH3，求O 半径的长 28如图（图

10、 1），已知抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴相交于 A（1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于 C（0，3）点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线的对称轴上的一个动点，则是否存在一点 P，使PAC 的周长最小若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，试说明理由； （3）如图（图 2），若 M 是抛物线第一象限部分上的一个动点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC于点 N，作 MDBC 于点 D，设DMN 的周长为 L，点 M 的横坐标为 m，求 L 与 m 的函数关系式，并求出 L 的最大值 参考答案参考答案 一、选择题（下列各小题的选项中只有一项是正确

11、的。本题有一、选择题（下列各小题的选项中只有一项是正确的。本题有 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 12 的相反数为（ ） A0 B1 C2 D2 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案 解：2 的相反数为 2 故选：D 2下列图形表示数轴正确的是（ ） A B C D 【分析】根据数轴三要素原点、单位长度，正方向，进行判定，即可得出答案 解：A，从左向右点所表示的数依次增大，故 A 错误； B，符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故 B 正确； C，单位长度不一致，故 C 错误； D，画成射线了，故 D 错误 故选：B

12、3如图，是 5 个完全相同的小正方体组成的一个几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 解：从正面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形， 故选：A 4经过全党全国各族人民 8 年的共同努力，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全部脱贫，这个数用科学记数法表示为（ ） A9.899103 B0.9899104 C9.899108 D9.899107 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 解：9899 万9899

13、00009.899107 故选：D 5若代数式+有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 Dx0 且 x1 【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的取值范围即可 解：代数式+有意义， ， 解得 x0 且 x1 故选：D 6已知 a，b 满足方程组，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】求出方程组的解得到 a 与 b 的值，即可确定出 a+b 的值 解：法 1：， +5 得：16a32，即 a2， 把 a2 代入得：b2， 则 a+b4， 法 2：+得：4a+4b16， 则 a+b4， 故选：B 7如图，O 的周长等

14、于 4cm，则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是（ ） A B C D 【分析】根据O 的周长等于 4cm，可得O 的半径为 2，可以求出三角形 AOB 的面积，进而根据圆内接正六边形 ABCDEF 的面积等于 6 倍三角形 AOB 的面积即可解答 解：如图，连接 OA、OB，作 OGAB 于点 G， O 的周长等于 4cm， O 的半径为：2， ABCDEF 是O 的内接正六边形， OAOBAB2， OGAB， AGBGAB1， OG， SAOBABOG 2 它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是 6SAOB6（cm2） 故选：C 8若一组数据 2，3，4，5，x 的平均数与中位数相

15、同，则实数 x 的值不可能的是（ ） A6 B3.5 C2.5 D1 【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中 x 的大小位置未定，故应该分类讨论 x 所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置 解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为 2，3，4，5，x， 处于中间位置的数是 4， 中位数是 4， 平均数为（2+3+4+5+x）5， 4（2+3+4+5+x）5， 解得 x6；符合排列顺序； （2）将这组数据从小到大的顺序排列后 2，3，4，x，5， 中位数是 4， 此时平均数是（2+3+4+5+x）54， 解得 x6，不符合排列顺序； （3）将这组数据从

16、小到大的顺序排列后 2，3，x，4，5， 中位数是 x， 平均数（2+3+4+5+x）5x， 解得 x3.5，符合排列顺序； （4）将这组数据从小到大的顺序排列后 2，x，3，4，5， 中位数是 3， 平均数（2+3+4+5+x）53， 解得 x1，不符合排列顺序； （5）将这组数据从小到大的顺序排列后 x，2，3，4，5， 中位数是 3， 平均数（2+3+4+5+x）53， 解得 x1，符合排列顺序； x 的值为 6、3.5 或 1 故选：C 9若一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数 yax2ax（ ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 【分析】一

17、次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，得到1a0，于是得到结论 解：一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限， a+10 且 a0， 1a0， 二次函数 yax2ax 有最大值， 故选：B 10下列命题是假命题的是（ ） A实数与数轴上的点一一对应 B菱形的对角线互相垂直平分 C角平分线上的点到角两边的距离相等 D相等的圆心角所对的弧相等 【分析】根据实数与数轴的关系，菱形的性质，角平分线的性质以圆的应该知识对各选项分析判断即可得解 解：A、实数与数轴上的点一一对应，是真命题； B、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题； C、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命

18、题； D、在等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原命题是假命题； 故选：D 11如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（4，0），（0，2），直线 l：ykx+4 与 y 轴交于点 P，当直线 l 平分矩形 OABC 的面积时，k（ ） A1 B3.5 C2.5 D1.5 【分析】连接 OB，根据直线 l 平分矩形 OABC 的面积，可得直线 l 必经过 BO 的中点，再代入直线 l 的解析式可得 k 的值 解：连接 OB， A、C 的坐标分别为（4，0），（0，2）， B（4，2）， BO 的中点坐标为（2，1）， 直线 l 平分矩形 OABC 的面积，

19、直线 l 必经过 BO 的中点， 12k+4， 解得：k1.5， 故选：D 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b24ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0；m（am+b）a+b（m 取任意实数）其中，正确的结论个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线与 x 轴的交点个数可判断；由开口方向、与 y 轴的交点位置及对称轴可判断；由x2 时的函数值及 b2a 可判断；根据对称轴知 x1 和 x3 时函数值相等，且 x1 时 y0，可判断；根据二次函数的最小值可判断 解：抛物线与 x 轴的交点有 2 个， b24ac0，此结论

20、正确； 抛物线的开口向上，且抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴， a0，c0， 对称轴 x1， b2a0， 则 abc0，此结论错误； 当 x2 时，y4a2b+c0，且 b2a， 4a+4a+c8a+c0，此结论正确； 抛物线的对称轴为 x1， 当 x1 和 x3 时函数值相等，即 9a+3b+c0，此选项正确； 由图象可知当 x1 时，函数取得最小值， 当 xm 时，am2+bm+ca+b+c，即 m（am+b）a+b，此选项正确； 综上，正确的结论有， 故选：D 二、填空题：（有二、填空题：（有 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13分解因式：a4

21、1 （a2+1）（a+1）（a1） 【分析】运用平方差公式进行两次分解即可 解：a41， （a2+1）（a21）， （a2+1）（a+1）（a1） 故答案为：（a2+1）（a+1）（a1） 14如图，把矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置若AED50，则EFC等于 115 【分析】根据平角的定义计算出DED130，再根据折叠的性质得DEFDEF，所以DEFDED65，根据平行线的性质即可求解 解：AED50， DED180AED18050130， 矩形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D、C的位置， DEFDEF， DEFDED13065 DECF

22、， EFC180DEF115 故答案为：115 15关于 x 的方程 ax2x+10 有实根，则实数 a 的范围为 a 【分析】由于关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根，所以分两种情况：（1）当 a0 时，方程为一元二次方程，那么它的判别式的值是一个非负数，由此即可求出 a 的取值范围；（2）当 a0 时，方程为x+10，此时一定有解 解：（1）当 a0 时，方程为x+10，此时一定有解； （2）当 a0 时，方程 ax2x+10 为一元二次方程， b24ac14a0， a 所以根据两种情况得 a 的取值范围是 a 故答案为：a 16用半径为 6，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的

23、侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 2 【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案 解：扇形的弧长4， 圆锥的底面圆的周长4， 圆锥的底面圆半径2， 故答案为：2 17如图，反比例函数 y（k0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，过点 B 作BDx 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若 OCCD，四边形 BDCE 的面积为 3，则 k的值为 8 【分析】先证明OCEODB，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和 OCCD，可知OBD的面积为 4，由于反比例函数图象特征可知 k 的值 解：如图所示， ACx 轴，BDx

24、轴， BDAC， OCEODB， （）2， OCCD， ， 四边形 BDCE 的面积为 3， ODB 的面积为 4， 点 B 在反比例函数 y的图象上， k8 故答案为：8 三、解答题：（有三、解答题：（有 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18计算： 【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案 解：原式1+422 1+42 1 19化简：，并求值，其中 x 是不等式组的整数解 【分析】根据原式的混合运算法则把原式化简，解一元一次不等式组，根据题意求出 x，根据分式有意义的条件确定

25、 x 的值，解答即可 解：原式（4x） ， 解不等式组，得 3x， x 为整数， x3 或 4， x0 和4， x3， 则原式1 20如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BEDF，且分别交对角线 AC 于点 E、F，连接 ED，BF求证：12 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，得 ABCD，ABCD，再根据平行线的性质，得BAEDCF，AEBCFD，由 AAS 证明ABECDF，根据全等三角形的对应边相等，得 BEDF，从而得出四边形 BFDE 是平行四边形，根据两直线平行内错角相等证得12 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD BAEDCF 又BEDF，

26、 BEFEFD， BEF+AEB180， EFD+DFC180， AEBCFD ABECDF（AAS） BEDF 四边形 BFDE 是平行四边形 DEBF 12 21某校在全校学生中开展以“守护绿水青山，我们在行动”为主题的森林草原防灭火的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖，小刚同学根据获奖结果，绘制成两幅不完整的统计表和统计图请你根据图表提供的信息，解答下列问题： 等级 频数 频率 一等奖 a 0.1 二等奖 8 0.2 三等奖 b 0.3 优秀奖 16 c （1）a 4 ，b 12 ，c 0.4 ，n 108 （2）学校决定在获得一等奖的同学中，随机推荐两名同学代表学校参加市级比赛，其

27、中甲、乙两位同学都获得一等奖，请用列举法或树状图求恰好选中这二人的概率 【分析】（1）根据二等奖的频数和频率求得参赛总人数，然后乘以一等奖的频率即可求得 a 值，乘以三等奖的频率即可求得b值， 用优秀奖的人数除以总人数求出c， 用三等奖的频率乘以360即可求得n值； （2）列表后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率 解：（1）观察统计表知，二等奖的有 8 人，频率为 0.2， 故参加征文比赛的总人数为 80.240（人）， a400.14， b400.312， c0.4， n0.3360108， 故答案为：4，12，0.4，108； （2）获得一等奖的 4 名同学分别用甲、

28、乙、丙、丁来表示， 画树状图如下： 共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙这二人的有 2 种情况， 恰好选中这二人的概率是 22如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AD 平分CAE 交O 于点 D，且 AECD，垂足为点 E （1）求证：直线 CE 是O 的切线 （2）若 BC2，CD2，求弦 AD 的长 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出 ODAE，再根据 AECD，得出 ODCD，进而得出结论； （2）利用勾股定理求出半径 OD，进而得出C30，COD60，再根据等腰三角形的性质得出OADODA6030C，进而得出 ADCD2 【解答】（1）证

29、明：连接 OD， OAOD， OADODA， AD 平分CAE， EADOAD， EADODA， ODAE， 又AECD， ODCD， OD 是半径， CD 是O 的切线； （2）设 ODxOB，在 RtCOD 中， 由勾股定理得， OD2+CD2OC2， 即 x2+（2）2（x+2）2， 解得 x2， 即 OD2，OC4， C30，COD60， OADODA6030C， ADCD2 四、填空题（本题有四、填空题（本题有 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23抛物线 yx2+（2m+1）x+m21 与 x 轴交于（x1，0）和（x2，0），若 x12+x22+x1

30、x217，要使该抛物线经过原点，应将它向下平移 个单位长度 【分析】 根据抛物线 yx2+ （2m+1） x+m21 与 x 轴交于 （x1， 0） 和 （x2， 0） ， 可以得到 x1+x2 （2m+1） ，x1x2m21，再根据 x12+x22+x1x217，可以得到 m 的值，然后即可写出相应的函数解析式，从而可以写出要使该抛物线经过原点，应将它向下平移几个单位长度 解：yx2+（2m+1）x+m21 与 x 轴交于（x1，0）和（x2，0）， x1+x2（2m+1），x1x2m21， x12+x22+x1x217， （x1+x2）2x1x217， （2m+1）2（m21）17， 解得

31、 m1，m23， 当 m时，该函数为 yx2+x+，要使该抛物线经过原点，应将它向下平移个单位长度， 当 m3 时，该函数 yx25x+8，此时（5）241870，该函数与 x 轴无交点，与原题不一致，故此种情况不存在，应舍去； 故答案为： 24如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，4），B（3，0），以 A 为圆心，2 为半径作A，点 P 为A上一动点，M 为 OP 的中点，则 BM 的最大值为 3.5 【分析】在 x 轴上取一点 E（6，0），连接 PE由 OMPM，OBBE，推出 BMPE，因为点 P 在A 上运动， 所以 P 在 EA 的延长线上时， 可以取得最大值， 最大值EP5+2

32、7， 由此即可解决问题 解：在 x 轴上取一点 E（6，0），连接 PE B（3，0），A（3，4）， OBBE3，AE5， OMPM，OBBE， BMPE， 点 P 在A 上运动， P 在 EA 的延长线上时，可以取得最大值，最大值EP5+27， BM 的最大值为 3.5 故答案为 3.5 五、解答题（本题有五、解答题（本题有 4 小题，共小题，共 40 分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 25如图，一次函数 yax+b 的图象与 y 轴交于点 B（0，2），与 x 轴交于点 E（，0），与反比例函数 y（x0）的图象交于点 D以 BD

33、为对角线作矩形 ABCD，使顶点 A、C 落在 x 轴上（点 A 在点C 的右边） （1）求一次函数的解析式； （2）求点 C 和点 D 的坐标以及反比例函数的解析式 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）证明DEFBEO（AAS），则 OFOE+EF3，故 D（3，2），然后利用相似得 C（4，0），进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式 解：（1）一次函数 yax+b 的图象与 y 轴交于点 B（0，2），与 x 轴交于点 E（，0）， ， 解得， 一次函数的解析式为 yx+2； （2）作 DFx 轴于 F， B（0，2），E 点坐标（，0）， OB2，OE， 四边形 ABC

34、D 是矩形， BEED， DFx 轴，BOx 轴， DFEBOE90， DEFBEO， DEFBEO（AAS）， OBDF2，EFOE， OFOE+EF3， D（3，2）， 点 D 在反比例函数 y的图象上， k6， 反比例函数的解析式 y， 设 OCAFx， 四边形 ABCD 是矩形， ADC90， 又DFAC， DCFADF， ，即 DF2CFAF， 22（x3）x， 解得 x4 或1（舍去）， OC4， C（4，0） 26阅读材料： 关于三角函数有如下的公式： sin（+）sincos+cossin， sin（）sincoscossin， tan（+）， tan（）， 利用这些公式可以将

35、一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 例：tan15tan（4530） 请根据上述材料，结合你所学的知识选择适当的公式解答下面问题： （1）计算：sin15；sin75； （2）为了纪念红军长征胜利五十周年，1986 年 1 月 1 日彝海结盟纪念碑在西昌市中心顺利落成，成为西昌市标志性建筑物之一（图 1），某校课外兴趣活动小组学生用所学知识来测量该建筑物的高度，如图 2，某同学站在离纪念碑底 A 距离 3 米的 C 处，测得纪念碑顶点 B 的仰角为 75，该同学的眼睛 D点离地面的距离 DC 为 1.6 米， 请帮助他求出纪念碑的高度 （精确到 0.1 米， 参考数据1.41

36、） 【分析】（1）根据题意代入公式计算，即可求出结果； （2）解直角三角形求出 BE 的长，即可求解 解：（1）sin15sin（4530） sin45cos30cos45sin30 ； sin75sin（45+30） sin45cos30+cos45sin30 + ； （2）由题意得：AECD1.6 米，DEAC3 米， 在 RtBDE 中，BED90，BDE75， DBE907515， tanDBE， BE3（2+）（6+3）米， ABAE+BE（1.6+6+3）米12.8 米， 答：纪念碑的高度约为 12.8 米 27如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，E 为 CD 延长线上

37、一点，过 E 点作O 的切线，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 F 点 （1）求证：EFEG； （2）若 FG2FDFE，试判断 AC 与 GE 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 sinE，AH3，求O 半径的长 【分析】（1）连接 OG，根据切线性质以及 CDAB，可以推出FGEAFHGFE，根据等角对等边得到 EFEG； （2）ACEF，理由为：连接 GD，根据FGEGFE 和 FG2FDFE，可以推出GFDEGF，又利用同弧所对的圆周角相等得到CAGD，可以推知EC，从而得到 ACEF； （3）连接 OC，根据勾股定理和垂径定理可以求解圆的半径 【解答】（1）证明

38、：如图，连接 OG， EG 为切线， FGE+OGA90， CDAB， AFH+OAG90， OAOG， OGAOAG， FGEAFHGFE， EFEG； （2）ACGE，理由为： 如图，连接 GD， FG2FDFE，即， ， FGEGFE， GFDEGF， EAGD，CAGD， EC， ACGE； （3）如图，连接 OC， ACGE， sinEsinACH， AH3，则 AC5，CH4， 设O 半径为 r， 在 RtOCH 中，OCr，OHr3，CH4， 由勾股定理可得：OH2+CH2OC2，解得 r， O 半径的长为 28如图（图 1），已知抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象与 x

39、轴相交于 A（1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于 C（0，3）点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线的对称轴上的一个动点，则是否存在一点 P，使PAC 的周长最小若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，试说明理由； （3）如图（图 2），若 M 是抛物线第一象限部分上的一个动点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC于点 N，作 MDBC 于点 D，设DMN 的周长为 L，点 M 的横坐标为 m，求 L 与 m 的函数关系式，并求出 L 的最大值 【分析】（1）将 A（1，0），B（4，0），C（0，3）代入 yax2+bx+c，即可求解； （2）连结 BC 交对称轴

40、于点 P，当 B、P、C 三点共线时，AP+CP 最小，此时PAC 的周长最小，求出直线 BC 的解析式为 yx+3，即可求 P 点坐标； （3）M（m，m2+m+3），N（m，m+3），则 MNm2+3m，又由DMNOBC，sinOBC，cosOBC，可求 DN（m2+3m），DM（m2+3m），所以 L（m2）2+，即可求解 解：（1）将 A（1，0），B（4，0），C（0，3）代入 yax2+bx+c， 得， 解得， yx2+x+3； （2）存在，理由如下： 函数的对称轴为直线 x， 连结 BC 交对称轴于点 P， A 点、B 点关于直线 x对称， APBP， AP+CPBP+CPBC，

41、 当 B、P、C 三点共线时，AP+CP 最小，此时PAC 的周长最小， A（1，0），B（4，0），C（0，3）， AC，BC5， PAC 的周长最小值为 5+， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， ， yx+3， P（，）； （3）M 是抛物线第一象限部分上的一个动点，点 M 的横坐标为 m， M（m，m2+m+3）， MNy 轴， N（m，m+3）， MNm2+m+3+m3m2+3m， MDBC， DMNOBC， sinOBC，cosOBC， DNMNsinOBC（m2+3m）， DMMNcosOBC（m2+3m）， L（m2+3m）（1+）（m2+3m）（m2）2+， 当 m2 时，L 有最大值