2021年河南省南阳市中原名校中考第二次大联考数学试卷（含答案解析）

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1、2021 年河南省南阳市中原名校中考数学第二次大联考试卷年河南省南阳市中原名校中考数学第二次大联考试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 12 的绝对值为（ ） A B C2 D2 22021 年 3 月 5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国内生产总值从不到 70 万亿元增加到超过 100 万亿元将 100 万亿用科学记数法表示正确（ ） A0.11015 B11015 C11014 D101014 3下列计算正确的是（ ） A B（a+b）2a2+b2 C（a2）3a6 Da2+a2a4 4在体育模拟测试中，某班 10 名学生的成绩分

2、别是 60，58，62，66，68，66，67，63，69，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A66，65 B66，65.5 C66，66 D66，67 5如图，ABCD，EG 平分BEF 交 CD 于点 G若EFC82，则EGF 的度数为（ ） A36 B41 C46 D51 6下列关于二次函数 yx2+4x+3 的说法正确的是（ ） A该函数图象的开口向上 B该函数图象的顶点坐标为（2，3） C当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 D该函数的最大值为 7 7某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行 120 场比赛， 小丽想通过列方程求出参

3、与比赛的班级数 设参与比赛的班级有 x 个， 则所列方程正确的是 （ ） Ax（x+1）120 B Cx（x1）120 D 8如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AD2，BC5，点 E，F 分别是对角线 AC，BD 的中点，则 EF 的长为（ ） A1 B1.5 C2.5 D3.5 9如图，点 A，B 都在反比例函数 y的图象上，AB 的延长线交 x 轴于点 C已知 ABBC，AOC 的面积为 6，则 k 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 10如图，等边三角形 ABC 中，AB3，点 D 在边 AB 上，且 AD1，点 E 是边 BC 上的一动点，作射线ED射线 ED 绕点 E 顺时针旋

4、转 60得到射线 EF，交 AC 于点 F，则点 E 从 BC 的运动过程中，CF的最大值是（ ） A B1 C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算：22+ 12不等式 3x5x1 的最小整数解是 13如图，ABC 的三个内角满足ABC分别以点 A，C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 D，连接 CD若 CD2，则 AC 14五张完全相同的卡片上分别写有数字 1，2，闭上眼睛洗匀后随机抽取三张，以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的概率为 15如图，在平面直角坐标系中，A（

5、0，1），B（5，0），以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，则点 C的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16先化简，再求值：（），其中 a2+ 17近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动某学校认真策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类型的活动课程为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果绘制出了两个尚不完整的统计图 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）

6、这次被调查的学生共有 人； （2）求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）若全校共有 5000 人，请你估计选择“体验”类课程的学生人数 18 位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔， 反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响 清明假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底 A 在同一水平面，如图，她先在 C 处测得塔顶B的仰角为57， 然后沿直线AC向远离塔的方向前进20米到达D处， 测得塔顶B的仰角为40 求嵩岳寺塔的高度（结果精确到 1m参考数据：sin400.64，cos400.7

7、7，tan400.84，sin570.84，cos570.54，tan571.54） 19如图，在 RtABC 中，ABC90，点 E 是 BC 的中点以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，连接DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若A60，AB4，求阴影部分的面积 20为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的 A，B 两个养殖场共出栏肥羊 2000 只，B 养殖场的肥羊数量是 A养殖场的 2 倍少 400 只这批肥羊将运往甲地 1300 只，乙地 700 只，运费如下表（单位：元/只） 养殖场 目的地 A B 甲 25 18 乙 20 24 （1）求 A，B 养殖场各出栏多少只肥羊？

8、（2）设这批肥羊从 A 养殖场运往甲地 x 只（100 x700），全部运往甲、乙两地的总费用为 y 元，求y 与 x 的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每只肥羊的运费下降 a 元（0a18 且 a 为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过 30000 元，求 a 的最小值 21如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），交 y 轴于点 C，连接 AC，BC，已知OA2OC，且ABC 的面积为 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PQy 轴，交直线 AC 于点 Q抛物线上是否存在点

9、P，使以 P，Q，O，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 22在 RtABC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，E 为直线 AC 上一动点，连接 DE过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，若 ACBC，当点 E 在边 AC 上，AE4，BF2 时，EF ； （2）如图 2，若 ACBC，当点 E 在 AC 的延长线上时，设 AEm，BFn，求 EF 的长（用含 m，n 的式子表示）； （3）如图 3，若 ACBC，当点 E 在 CA 的延长线上时，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明

10、23小亮在学习中遇到如下一个问题： 如图 1，点 C 是半圆 AmB 上一动点，线段 AB6，CD 平分ACB，过点 A 作 ADBC 交 CD 于点 D，连接 BD当BCD 为等腰三角形时，求线段 AC 的长度 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题将线段 AC 的长度作为自变量 x，BC，BD 和 CD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yBC，yBD和 yCD请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 C 在半圆 AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AC，BC，BD 的长度，得到下表的几组对应值： AC 0 1.0 2.0

11、3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6 BC 6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0 BD 6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5 上表中 a 的值是 ； 操作中发现，“无需测量线段 CD 的长度即可得到 yCD关于 x 的函数解析式”请直接写出 yCD关于 x的函数解析式 （2）小亮已在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yBD的图象，如图 2 所示 请在同一坐标系中画出函数 yBC和 yCD的图象； 结合图象直接写出当BCD 为等腰三角形时，线段 AC 长度的近似值（结果保留一位小数） （3）小亮观察发现，函数 yBD的图象有最低点请你直接

12、写出线段 BD 长度的最小值（写出精确值） 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）分下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 12 的绝对值为（ ） A B C2 D2 【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案 解：2 的绝对值为：2 故选：D 22021 年 3 月 5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国内生产总值从不到 70 万亿元增加到超过 100 万亿元将 100 万亿用科学记数法表示正确（ ） A0.11015 B11015 C11014 D101014 【分析】用科学记

13、数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 解：100 万亿10000000000000011014 故选：C 3下列计算正确的是（ ） A B（a+b）2a2+b2 C（a2）3a6 Da2+a2a4 【分析】利用合并同类二次根式，完全平方公式，积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可得出结果 解：A、2，计算正确，故 A 符合题意； B、（a+b）2a2+2ab+b2，计算不正确，故 B 不符合题意； C、（a2）3a6，计算不正确，故 C 不符合题意； D、a2+a22a2，计算不正确，故 D 不符合题

14、意 故选：A 4在体育模拟测试中，某班 10 名学生的成绩分别是 60，58，62，66，68，66，67，63，69，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A66，65 B66，65.5 C66，66 D66，67 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 解：数据 66 出现了 2 次，出现次数最多，故这组数据的众数是 55； 将这组数据从小到大的顺序排列 58，60，62，63，65，66，66，67，68，69， 所以中位数是（，65+66）265.5 故选：B 5如图，A

15、BCD，EG 平分BEF 交 CD 于点 G若EFC82，则EGF 的度数为（ ） A36 B41 C46 D51 【分析】根据平行线的性质得到BEF82，根据角平分线定义得到BEG41，再根据平行线的性质即可得解 解：ABCD，EFC82， BEFEFC82， EG 平分BEF， BEGFEGBEF8241， ABCD， EGFBEG41 故选：B 6下列关于二次函数 yx2+4x+3 的说法正确的是（ ） A该函数图象的开口向上 B该函数图象的顶点坐标为（2，3） C当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 D该函数的最大值为 7 【分析】根据二次函数的性质判断即可 解：二次函数 yx2+4

16、x+3 中，a10， 该函数图象的开口向下，故选项 A 错误，不符合题意； yx2+4x+3（x2）2+7， 该函数图象的顶点坐标为（2，7），故选项 B 错误，不符合题意； 抛物线 yx2+4x+3 开口向下，对称轴为直线 x2， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 C 错误，不符合题意； 抛物线 yx2+4x+3 开口向下，顶点坐标为（2，7）， 该函数的最大值为 7，故选项 D 正确，符合题意； 故选：D 7某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行 120 场比赛， 小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数 设参与比赛的班级有 x 个，

17、则所列方程正确的是 （ ） Ax（x+1）120 B Cx（x1）120 D 【分析】 赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场） ， x 个球队比赛总场数， 由此可得出方程 解：设邀请 x 个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，120， 故选：D 8如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AD2，BC5，点 E，F 分别是对角线 AC，BD 的中点，则 EF 的长为（ ） A1 B1.5 C2.5 D3.5 【分析】延长 FE 交 CD 于点 G，由点 E，F 分别是对角线 AC，BD 的中点，从而得 FG 是BCD 的中位线，则有 FG2.5，再由 ADBC，则有

18、FGAD，EG 是ACD 的中位线，则有 EG1，从而可求 EF的长 解：取 DC 中点 G，连结 FG、EG，如图所示： 点 E，F 分别是对角线 AC，BD 的中点， FGBC，EGAD， ADBC， EGBC，FGEG， E、F、G 三点共线， FG 是BCD 的中位线， FGBC2.5， ADBC， EGAD， EG 是ACD 的中位线， EGAD1， EFFGEG1.5 故选：B 9如图，点 A，B 都在反比例函数 y的图象上，AB 的延长线交 x 轴于点 C已知 ABBC，AOC 的面积为 6，则 k 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】 作 AMx 轴于 M， BNx

19、轴于 N， 连接 OB， 根据平行线分线段成比例定理得到，1，即可得到 AM2BN，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出 SAOMSBON|k|，即可得出 ON2OM，从而得出 OMMNNC，设 OM 的长度为 a，利用反比例函数解析式表示出 AM 的长度，再求出 OC 的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下 k，然后计算即可得解 解：作 AMx 轴于 M，BNx 轴于 N，连接 OB， AMBN， ABBC， ，1， AM2BN， 点 A，B 都在反比例函数 y的图象上， SAOMSBON|k|， OMAMONBN， OM2BNONBN， ON2OM， OMMNNC， 设 OM

20、a，则 AM， OC3a， SAOCOCAM3ak6， 解得 k4 故选：C 10如图，等边三角形 ABC 中，AB3，点 D 在边 AB 上，且 AD1，点 E 是边 BC 上的一动点，作射线ED射线 ED 绕点 E 顺时针旋转 60得到射线 EF，交 AC 于点 F，则点 E 从 BC 的运动过程中，CF的最大值是（ ） A B1 C D 【分析】由旋转的性质可得DEF60，通过证明CEFBDE，可得，由二次函数的性质可求解 解：等边三角形 ABC 中，AB3，AD1， BD2，ABC60ACB， 射线 ED 绕点 E 顺时针旋转 60得到射线 EF， DEF60， EDCABC+BDED

21、EF+CEF， BDECEF， CEFBDE， ， CF（BE）2+， CF 的最大值为， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算：22+ 7 【分析】先化简有理数的乘方，算术平方根，然后再计算 解：原式4+37， 故答案为：7 12不等式 3x5x1 的最小整数解是 3 【分析】不等式移项，合并，把 x 系数化为 1，求出解集，确定出最小整数解即可 解：不等式 3x5x1， 移项得：3xx1+5， 合并得：2x4， 解得：x2， 则不等式的最小整数解是 3 故答案为：3 13如图，ABC 的三个内角满足ABC分别以点 A，C 为圆心，大于A

22、C 的长为半径作弧，两弧交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 D，连接 CD若 CD2，则 AC 2 【分析】先利用三角形内角和求A30，B60，ACB90，再利用基本作图得到 DE 垂直平分 AC，则根据线段垂直平分线的性质得到 DCDA，所以DCAA30，再判断BCD 为等边三角形得到 BCCD2，然后利用含 30 度的直角三角形三边的关系求 AC 解：ABC，A+B+ACB180， A+2A+3A180，解得A30， B60，ACB90， 由作法得 EF 垂直平分 AC， DADC2， DCAA30， BCD60， BBCD60， BCD 为等边三角形， BCCD2， ACBC2

23、 故答案为 2 14五张完全相同的卡片上分别写有数字 1，2，闭上眼睛洗匀后随机抽取三张，以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的概率为 【分析】先列出从五张卡片中抽取 3 张的所有等可能结果，再找到能组成直角三角形的结果数，继而利用概率公式求解即可 解：从五张卡片中随机抽取 3 张，共有如下 10 种等可能结果， （1，）、（1，2）、（1，2）、 （，2）、（1，5）、（1，5）、 （，5）、（1，2，5）、（，2，5）、（，2，5）， 其中以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的有（1，）、 （1，2）、（，5）这 3 种情况， 所得三角形恰好是直

24、角三角形的概率为， 故答案为： 15如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（5，0），以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，则点 C的坐标为 （3，3）或（2，2） 【分析】分两情况画出图形，证明BCDACE（AAS），再利用全等三角形的性质求出距离，从而得出 C 点坐标 解：分两种情况： （1）如图 1 所示，过点 C 作 CDOB 于 D，CEOA，交 OA 的延长线于 E BCADCE90， BCDACE， 在BCD 与ACE 中， ， BCDACE（AAS）， AEBD，CECDOE， A（0，1），B（5，0）， OA1，OB5， 设 CEx， BD5x，AEx1， 5xx1

25、， x3， 则点 C 坐标为（3，3）； （2）如图 2 所示，过点 C 作 CDOB 于 D，CEOA，交 AO 的延长线于 E BCADCE90， BCDACE， 在BCD 与ACE 中， ， BCDACE（AAS）， AEBD，CECDOE， 设 CEx， AE1+x，BD5x， 1+x5x， x2， 则点 C 坐标为（2，2） 综上可知点 C 坐标为：（3，3）或（2，2） 故答案为：（3，3）或（2，2） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16

26、先化简，再求值：（），其中 a2+ 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值 解：原式 ， 当 a2+时，原式 17近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动某学校认真策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类型的活动课程为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果绘制出了两个尚不完整的统计图 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 100 人； （2）求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）若全校共有 5000 人，请你估计选择“体验

27、”类课程的学生人数 【分析】（1）根据科技的频数是 25，对应的百分比是 25%，据此求得调查的总人数； （2）由条形统计图的数据可得 m，再用 1 分别减去其他五种类型的活动课程所占比例，即可求得扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数；利用百分比的意义求得自然的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用总人数 5000 乘“体验”类课程对应的比例即可求解 解：（1）调查的总人数是 2525%100（人）， 故答案是：100； （2）由题意可得 m20， 扇形统计图中 “历史” 所对应的圆心角的度数为： 360 （115%20%12%25%18%） 36， 自然有：10015%15（人）； 补

28、全条形统计图如下： （3）500020%1000（人）， 答：选择“体验”类课程的学生人数约 1000 人 18 位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔， 反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响 清明假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底 A 在同一水平面，如图，她先在 C 处测得塔顶B的仰角为57， 然后沿直线AC向远离塔的方向前进20米到达D处， 测得塔顶B的仰角为40 求嵩岳寺塔的高度（结果精确到 1m参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin570.84，cos570.5

29、4，tan571.54） 【分析】根据题意可得BCA57，CD20 米，BDA40，在 RtABC 中，根据 ABACtanBCA，在 RtABD 中，根据 ABADtanD，利用其公共边 AB 构造等量关系即可进行计算 解：根据题意可知：BCA57，CD35 米，BDA40， BAAD， 在 RtABC 中， ABACtanBCA， AC， ADAC+CD（+20）米， 在 RtABD 中， ABADtanD， AB（+20）tan40， 解得，AB37（米） 答：大雁塔的高度约为 37 米 19如图，在 RtABC 中，ABC90，点 E 是 BC 的中点以 AB 为直径的O 交 AC 于

30、点 D，连接DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若A60，AB4，求阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OD，BD，根据圆的性质可知BDC90，又因为点 E 是 BC 的中点，DEBEBC，EBDEDB，因为 OBOD，OBDODB，根据角度等量代换可知ODE90，即可求解； （2）连接 OE，由图形可知：S阴影S四边形OBEDS扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形 OBED 和扇形 OBD 的面积，即可求解 【解答】（1）证明：如图，连接 OD，BD， AB 是O 的直径， ADB90， BDC90， 点 E 是 BC 的中点， DEBEBC， EBDEDB， OBOD，

31、OBDODB， EBD+OBDEDB+ODB， ABCEBD+OBD90， ODEEDB+ODBEBD+OBD90， ODDE，OD 是O 的半径， DE 是O 的切线； （2）解：如图，连接 OE， O 是 AB 的中点， OBAB2， 在 RtABC 中，BCABtanA4， E 是 BC 的中点， BEBC2，SOBEOBBE2， 由（1）知，ODEOBE90， OBOD，OEOE， RtOBERtODE（HL）， SODESOBE2， S四边形OBED4， A60， BOD120， S扇形OBD， S阴影S四边形OBEDS扇形OBD4 20为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的 A，B 两

32、个养殖场共出栏肥羊 2000 只，B 养殖场的肥羊数量是 A养殖场的 2 倍少 400 只这批肥羊将运往甲地 1300 只，乙地 700 只，运费如下表（单位：元/只） 养殖场 A B 目的地 甲 25 18 乙 20 24 （1）求 A，B 养殖场各出栏多少只肥羊？ （2）设这批肥羊从 A 养殖场运往甲地 x 只（100 x700），全部运往甲、乙两地的总费用为 y 元，求y 与 x 的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每只肥羊的运费下降 a 元（0a18 且 a 为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过 30000 元，求 a 的最小值 【分析】（1）设 A 养

33、殖场出栏 m 只肥羊，B 养殖场出栏 （2m400）只肥羊，根据 A，B 两个养殖场共出栏肥羊 2000 只，列出方程求解即可； （2）根据总费用等于 A、B 两个养殖场运往甲、乙两地的费用之和列出函数关系式，根据函数的性质求最值； （3）按（2）中方案总运费不超过 30000 元，以及 0a18 且 a 为整数，求出 a 的最小值 解：（1）设 A 养殖场出栏 m 只肥羊，B 养殖场出栏 （2m400）只肥羊，根据题意得： m+2m4002000， 解得：m800 答：A 养殖场出栏 800 只肥羊，B 养殖场出栏 1200 只肥羊； （2）设这批肥羊从 A 养殖场运往甲地 x 只，则从 A

34、 养殖场运往乙地（800 x）只， 从 B 养殖场运往甲地（1300 x）只，从 B 养殖场运往乙地 （x100）只， 根据题意得：y25x+20（800 x）+18（1300 x）+24（100）11x+37000， 110， y 随 x 的增大而增大， 100 x700， x100 时，y 最小， 答：这批肥羊从 A 养殖场运往甲地 100 只，则从 A 养殖场运往乙地 700 只，从 B 养殖场运往甲地 1200只，此时费用最少； （3）总运费 z100（25x）+700（20a）+1200（18a）2000a+38100， 由题意得：， 解得：4.05a18，且 a 为整数， a 的最

35、小值为 5 21如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），交 y 轴于点 C，连接 AC，BC，已知OA2OC，且ABC 的面积为 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PQy 轴，交直线 AC 于点 Q抛物线上是否存在点 P，使以 P，Q，O，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据图象与两轴交点的性质可得点 A 的坐标，再根据待定系数法可求得答案； （2）设 AC：ykx+b，将点 A、 C 的坐标代入 ykx+b 得， 利用待定系数法及两点间距离

36、公式可得答案 解：（1）抛物线交 y 轴于点 C， C（0，c）， OCc， OA2OC， OA2c， A（2c，0）， SABCOC（2c+1）cc2+， c（舍去）或 c3， C（0，3），A（6，0）， 将 c3，B（1，0）代入 yx2+bx+c 得， ， 抛物线的解析式为：yx2x+3 （2）设 AC：ykx+b， 将点 A、C 的坐标代入 ykx+b 得， yx+3， 设 P（m，m2m+3）， Q（m，m+3）， PQ（m2m+3）（m+3）m3m， 令 PQOC， m23m3， m13+，m3， P（3+，）或（3，） PQOC， 四边形 PQOC 是平行四边形 22在 RtA

37、BC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，E 为直线 AC 上一动点，连接 DE过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，若 ACBC，当点 E 在边 AC 上，AE4，BF2 时，EF 2 ； （2）如图 2，若 ACBC，当点 E 在 AC 的延长线上时，设 AEm，BFn，求 EF 的长（用含 m，n 的式子表示）； （3）如图 3，若 ACBC，当点 E 在 CA 的延长线上时，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明 【分析】（1）连接 CD，证明ADECDF，得出 CFAE，根据勾股定理计算即可； （2）连接 CD，证明ADECD

38、F，进而证明ADECDF，得出 CFAE，根据勾股定理计算即可； （3）过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF，证明ADEBDM，根据全等三角形的性质得到 AEBM，DEDM，根据勾股定理证明结论 解：（1）如图 1，连接 CD， ACBC，ACB90，点 D 是 AB 的中点， CDAB，CDAD，AB45，ACDBCD45， CDE+ADE90，ABCD， DFDE， CDE+CDF90， CDFADE， 在ADE 和CDF 中， ， ADECDF（ASA）， CFAE4， ACBC6， CE642， EF2， 故答案为：2； （2）如图 2，连接 CD， ADC

39、EDF90， ADC+CDEEDF+CDE，即ADECDF， 在ADE 和CDF 中， ， ADECDF（ASA）， CFAEm， ACBCCFBFmn， CEm（mn）n， EF； （3）EF2AE2+BF2， 理由如下：如图 3，过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF， 则AEDBMD，CBMACB90， D 点是 AB 的中点， ADBD， 在ADE 和BDM 中， ， ADEBDM（AAS）， AEBM，DEDM， DFDE， EFMF， BM2+BF2MF2， AE2+BF2EF2 23小亮在学习中遇到如下一个问题： 如图 1，点 C 是半圆 AmB 上一动

40、点，线段 AB6，CD 平分ACB，过点 A 作 ADBC 交 CD 于点 D，连接 BD当BCD 为等腰三角形时，求线段 AC 的长度 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题将线段 AC 的长度作为自变量 x，BC，BD 和 CD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yBC，yBD和 yCD请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 C 在半圆 AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AC，BC，BD 的长度，得到下表的几组对应值： AC 0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6 BC 6 5.9 5.7 5.2

41、 4.5 a 3.3 2.4 0 BD 6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5 上表中 a 的值是 4.0 ； 操作中发现，“无需测量线段 CD 的长度即可得到 yCD关于 x 的函数解析式”请直接写出 yCD关于 x的函数解析式 （2）小亮已在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yBD的图象，如图 2 所示 请在同一坐标系中画出函数 yBC和 yCD的图象； 结合图象直接写出当BCD 为等腰三角形时，线段 AC 长度的近似值（结果保留一位小数） （3）小亮观察发现，函数 yBD的图象有最低点请你直接写出线段 BD 长度的最小值（写出精确值） 【分析】（1）利用测量法

42、或勾股定理求出 BC 即可证明ACD 是等腰直角三角形，可得结论； （2）利用描点法画出函数图像即可三个函数图像的交点的横坐标即为 AC 的值； （3）将ABD 绕 A 逆时针旋转 90得到AEC，取 AB 中点 G，求得 CE 最小值即可 解：（1）AB 是直径， ACB90， BC4.0 故答案为：4.0 ACB90，CD 平分ACB， ACDDCB45， ADBC， ADCDCB45， ACDADC45， ACAD，CAD90， CDAC， yCDx （2）函数 yBC和 yCD的图象如图所示： 由图象可得：当 AC2.6 或 3.3 或 4.2 时，BCD 为等腰三角形 （3）如图，将ABD 绕 A 逆时针旋转 90得到AEC，取 AB 中点 G，连接 CG、EG， 由旋转性质得：ABAE6，CEBD，GAE90， G 为 AB 的中点， AG3， EG3， 两点之间线段最短， EC+CGEG， EC+33， BDCE33， BD 最小值为 33