第四章数列 章末复习课 学案(含答案)2021年新教材人教A版数学选择性必修第二册
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1、第四章数列第四章数列 章末复习课章末复习课 网络构建 核心归纳 1.等差数列和等比数列的基本概念和公式 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一数, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q0) 递推关系 an1and an1anq 中项 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 A叫做 a 与 b 的等差中项, 且 Aab2 如果 a
2、与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G叫做 a 与 b 的等比中项,且 G ab 通项公式 ana1(n1)d ana1qn1 前 n 项和公式 Snn(a1an)2na1n(n1)2d 当 q1 时,Sna1(1qn)1qa1anq1q当 q1 时,Snna1 性质 am, an的关系 aman(mn)d amanqmn m,n,s,tN*,mnst amanasat amanasat kn是等差数列,且knN* akn是等差数列 akn是等比数列 n2k1,kN* S2k1(2k1) ak a1a2 a2k1a2k1k 判断方法 利用定义 an1an是同一常数 a
3、n1an是同一常数 利用中项 anan22an1 anan2a2n1 利用通项公式 anpnq,其中 p,q 为常数 anabn(a0,b0) 利用前 n 项和公式 Snan2bn(a,b 为常数) SnA(qn1),其中 A0,q0且 q1 或 Snnp(p为非零常数) 2.求数列的通项公式的方法 (1)归纳法;(2)累加、累乘法;(3)构造等差、等比数列法. 3.求数列的前 n 项和的基本方法 (1)公式法:利用等差数列或等比数列前 n 项和 Sn公式; (2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列; (3)裂项(相消)法: 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式, 相加过程消去
4、中间项, 只剩有限项再求和; (4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和; (5)倒序相加:例如等差数列前 n 项和公式的推导; (6)并项求和法:适用于正负相间的数列. 要点一 等差、等比数列的判定 1.判定等差数列的方法 (1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法. 2.判定等比数列的方法 (1)定义法;(2)等比中项法;(3)通项公式法. 注:以上的第三种方法只能作为判定方法,而不能作为证明方法. 【例 1】 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2SnSn10(n2),a112. (1)求证:1Sn是等差数列; (2)求数列an的通项公式.
5、 (1)证明 当 n2 时,由 an2SnSn10 得 SnSn12SnSn1, 所以1Sn1Sn12, 又1S11a12,所以1Sn是首项为 2,公差为 2 的等差数列. (2)解 由(1)可得1Sn2n,所以 Sn12n. 当 n2 时,anSnSn112n12(n1)12n(n1); 当 n1 时,a112,不符合 an12n(n1). 故 an12(n1),12n(n1)(n2且nN*). 【训练 1】 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn5an85,nN*. (1)证明:an1是等比数列; (2)求数列an的通项公式. (1)证明 Snn5an85, Sn1(n1)5an1
6、85, 两式相减得:an115an5an1, 整理得:an156an16, an1156(an1), 又a115a185,即 a114, a1114115, 数列an1是以15 为首项,56为公比的等比数列. (2)解 由(1)可知 an11556n1, an11556n1. 要点二 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的重要内容之一, 它把数列各项的性质集于一身.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前 n 项和作差法、辅助数列法. 【例 2】 已知数列an中,a12,且满足 an1an2nn,求数列an的通项公式. 解 由条件知 an1an2nn,则 a2a1211,a
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