§4.1(第2课时)数列的递推公式ppt课件
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1、4.1 第2课时 数列的递推公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解递推公式的含义(重点). 2.掌握递推公式的应用(难点). 3.会用 an与 Sn的关系求通项公式. 1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项,培养学生的逻辑推理素养. 2.借助利用 an与 Sn的关系确定 an的求法,培养学生的逻辑推理及数学运算素养. 1数列的递推公式 (1)两个条件: 已知数列的第 1 项(或前几项); 从第 2 项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示 (2)结论:具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_公式 递推 【新知初探】 思考:所有数列都
2、有递推公式吗? 提示 不一定例如 2精确到 1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,没有递推公式 2数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示 an与它的前一项_(或前几项)之间的关系 表示 an与_之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an1 n 思考:仅由数列an的关系式 anan12(n2,nN*)就能确定这个数列吗? 提示 不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的 3数列an的前 n 项和
3、 (1)数列an从第_项起到第_项止的各项之和称为数列an的前n 项和,记作 Sn,即 Sn_. (2)如果数列an的前n项和Sn与它的_之间的对应关系可以用一个式子来表示, 那么这个式子叫做这个数列的前 n项和公式 (3)数列an的通项 an与前 n 项和 Sn之间的关系为 an 1 n a1a2an 序号n S1,n1,SnSn1,n2. 1判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项( ) (2)有些数列可能不存在最大项( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法( ) (4)所有的数列都有递推公式( ) 【初试身手】 提示 并不是所有的数列都有递推公式
4、, 如 3的精确值就没有递推公式 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知数列an中的首项 a11,且满足 an112an12n,此数列的第 3 项是( ) A1 B12 C34 D58 C an112an12n,a11,a212a11211, a312a21221211434.故选 C. 3数列an满足 an111an,且 a12,则 a2 020的值为( ) A12 B1 C2 D1 C 由 an111an及 a12,得 a212,a31,a42,至此可 发现数列an是周期为 3 的周期数列:2,12,1,2,12,1,. 而 2 02067331,故 a2 020a12. 4已知数列
5、an的前 n 项和公式 Snn22n1,则其通项公式 an_. 0,n12n3,n2 当 n2 时,anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n3,而当 n1 时,a1122110213,所以通式公式 an 0,n1,2n3,n2. 类型一 由递推公式求数列中的项 【例 1】 已知数列an中,a11,a22,以后各项由 anan1an2 (n3)给出 (1)写出此数列的前 5 项; (2)通过公式 bnanan1构造一个新的数列bn,写出数列bn的前 4 项 【合作探究】 解 (1)anan1an2(n3),且 a11,a22, a3a2a13,a4a3a2325,a5a4a3538.
6、故数列an的前 5 项依次为 a11,a22,a33,a45,a58. (2)bnanan1,且 a11,a22,a33,a45,a58, b1a1a212,b2a2a323,b3a3a435,b4a4a558. 故bn的前 4 项依次为 b112,b223,b335,b458. 【规律方法】 由递推公式写出数列的项的方法 1根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可. 2若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如 an2an11. 3若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如 an1an12. 跟进训练
7、1已知数列an的第 1 项 a11,以后的各项由公式 an12anan2给出,试写出这个数列的前 5 项 解 a11,an12anan2, a22a1a1223,a32a2a2222323212, a42a3a3221212225,a52a4a4222525213. 故该数列的前 5 项为 1,23,12,25,13. 类型二 数列的单调性 【例 2】 已知数列an的通项公式是 an(n2)78n (nN*),试问数列an是否有最大项?若有,求出最大项;若没有,说明理由 解 法一:作差比较 an1与 an的大小,判断an的单调性 an1an(n3)78n1(n2)78n78n5n8. 当 n5
8、 时,an1an0,即 an1an; 当 n5 时,an1an0,即 an1an; 当 n5 时,an1an0,即 an1an. 故 a1a2a3a4a5a6a7a8, 所以数列an有最大项,且最大项为 a5或 a6,且 a5a67685. 法二:作商比较 an1与 an的大小,判断an的单调性 an1ann378n1n278n7n38n2. 又 an0,令an1an1,解得 n5;令an1an1,解得 n5; 令an1an1,解得 n5,故 a1a2a3a4a5a6a7, 所以数列an有最大项,且最大项为 a5或 a6,且 a5a67685. 法三:假设an中有最大项,且最大项为第 n 项,
9、则 anan1,anan1,即 n278nn178n1,n278nn378n1, 解得 n6,n5,即 5n6. 故数列an有最大项 a5或 a6,且 a5a67685. 【规律方法】 求数列an的最大小项的方法 一是利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项;如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项. 二是设 ak是最大项, 则有 akak1,akak1,对任意的 kN*且 k2都成立,解不等式组即可. 跟进训练 2已知数列an的通项公式为 ann27n8. (1)数列中有多少项为负数? (2)数列an是否有最小项?若有,求出其最小项 解 (1)令
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