4.3.1(第1课时)等比数列的概念及通项公式ppt课件
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1、4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等比数列的概念(重点). 2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用(重点、 难点). 3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点). 1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用,体现了数学运算素养. 2.借助等比数列的判定与证明,培养逻辑推理素养. 1等比数列的概念 文字语言 一般地,如果一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的比都等于_,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_,公比通常用字母 q 表示(q0) 符号语言 an1an_(q 为常数,q0,nN*) 2 同一个常数 公比 q
2、【新知初探】 2.等比中项 (1)前提:三个数 a,G,b 成等比数列 (2)结论:_叫做 a,b 的等比中项 (3)满足的关系式:G2_. G ab 思考:当 G2ab 时,G 一定是 a,b 的等比中项吗? 提示 不一定,如数列 0,0,5 就不是等比数列 3等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列an的第 n 项 an,有公式 an_.这就是等比数列an的通项公式,其中 a1为首项,q 为公比 4等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 ana1q qn,而 ya1q qx(q1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积, 从图象上看, 表示数列a1q qn中的各项的点是
3、函数 ya1q qx的图象上的_点 a1 qn1 孤立 1判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列( ) (2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零( ) (3)常数列一定为等比数列( ) (4)任何两个数都有等比中项( ) 【初试身手】 提示 (1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列;(2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零;(3)错误,当常数列不为零数列时,该数列才是等比数列;(4)错误,当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项 答案 (1) (2) (
4、3) (4) 2下列数列是等比数列的是( ) A3,9,15,21,27 B1,1.1,1.21,1.331,1.464 C13,16,19,112,115 D4,8,16,32,64 D A、B、C 均不满足定义中an1anq,只有 D 满足an1an2.故选 D. 32 3和 2 3的等比中项是( ) A1 B1 C 1 D2 C 设 2 3和 2 3的等比中项为 a, 则 a2(2 3)(2 3)1.即 a 1. 4已知等差数列an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a2( ) A4 B6 C8 D10 B a1,a3,a4成等比数列a1a4a23, 即 a1(a16)(a
5、14)2,解得 a18, a2a1d826.故选 B. 5已知数列an中,a12,an12an,则 a3_. 8 由 an12an知an为等比数列,q2. 又 a12,a32228. 类型一 等比数列通项公式的基本运算 【例 1】 在等比数列an中, (1)a42,a78,求 an; (2)a2a518,a3a69,an1,求 n. 【合作探究】 解 设首项为 a1,公比为 q. (1)法一:因为 a4a1q3,a7a1q6,所以 a1q32 ,a1q68 . 由得 q34,从而 q34,而 a1q32, 于是 a12q312,所以 ana1qn122n53. 法二:因为 a7a4q3,所以
6、q34,q34. 所以 ana4qn42 (34)n422n53. (2)法一:因为 a2a5a1qa1q418 a3a6a1q2a1q59 由得 q12,从而 a132, 又 an1,3212n11. 即 26n20,所以 n6. 法二:因为 a3a6q(a2a5),所以 q12. 由 a1qa1q418,知 a132. 由 ana1qn11,知 n6. 【规律方法】 1等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和 q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解 2关于 a1和 q 的求法通常有以下两种方法:
7、(1)根据已知条件,建立关于 a1,q 的方程组,求出 a1,q 后再求 an,这是常规方法 (2)充分利用各项之间的关系,直接求出 q 后,再求 a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算 跟进训练 1在等比数列an中, (1)已知 an128,a14,q2,求 n; (2)已知 an625,n4,q5,求 a1; (3)已知 a12,a38,求公比 q 和通项公式 解 (1)ana1 qn1128,a14,q2, 4 2n1128,2n132,n15,n6. (2)ana1 qn1625,n4,q5,a1anqn16255415. (3)a3a1 q2,即 82q2,q24,q
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