4.2.2(第1课时)等差数列前n项和公式的推导及简单应用ppt课件
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1、4.2.2 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系. 数学抽象、数学运算 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 数学建模、数学运算 知识点 等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项,末项与项数 首项,公差与项数 选用公式 Sn_ Sn_ na1an2 na1nn12d 【新知初探】 名师点津 1等差数列an的前 n 项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法主要适用于具有 a1ana2an1a3an2特征的数列求和 2若已知等差数
2、列an的首项 a1、末项 an及项数 n,则用公式Snna1an2来求和这里a1an2是 a1与 an的等差中项,应用时要注意结合等差数列的性质 3公式 Snna1an2中涉及四个量:Sn,n,a1,an;公式 Snna1nn12d 中也涉及四个量:Sn,n,a1,d.结合等差数列an的通项公式 ana1(n1)d,对于等差数列中的五个量:Sn,n,a1,an,d,已知其中的三个量就可以求出另外的两个量 4等差数列an的求和公式 Snna1an2与梯形面积公式 S梯形上底下底高2类似,可对比记忆为上底是“a1”,下底是“an”,高是“n” 题型一 等差数列的前 n 项和的有关计算 例 1 已知
3、等差数列an (1)a156,a1532,Sn5,求 d 和 n; (2)a14,S8172,求 a8和 d. 【题型探究】 解 (1)a1556(151)d32,d16. 又 Snna1nn12d5, 解得 n15 或 n4(舍) (2)由已知,得 S88a1a8284a82172, 解得 a839,又a84(81)d39,d5. 规律方法 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1,d,n,an和 Sn,这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组, 解出a1和d, 便可解决问题 解题时注意整体代换的思想 (2)结合
4、等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若 mnpq(m, n, p, qN*), 则 amanapaq, 常与求和公式 Snna1an2结合使用 跟踪训练 设 Sn是等差数列an的前 n 项和,已知 a23,a811, 则 S9等于( ) A13 B35 C49 D63 答案:D 解析:an为等差数列,a1a9a2a8, S99a2a82914263. 题型二 等差数列前 n 项和公式的简单应用 例 2 设 Sn为数列an的前 n 项和,Sn2n230n. (1)求 a1及 an; (2)判断这个数列是否是等差数列 解 (1)因为 Sn2n230n, 所以当 n1 时,a1S12123012
5、8, 当 n2 时,anSnSn1 2n230n2(n1)230(n1)4n32. 验证当 n1 时上式成立,所以 an4n32. (2)由 an4n32,得 an14(n1)32(n2), 所以 anan14n324(n1)324(常数), 所以数列an是等差数列 母题探究 (变条件)将本例中“Sn2n230n”改为“Sn2n2n2”,如何求解下列问题? (1)求an的通项公式; (2)判断an是否为等差数列? 解:(1)Sn2n2n2,当 n2 时, Sn12(n1)2(n1)22n25n1, anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3. 又a1S11,不满足 an4n3, 数列a
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