第五章一元函数的导数及其应用 章末复习课ppt课件
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1、章末复习课 【知识整合】 类型一 导数的几何意义 【例 1】 已知函数 f (x)x3x16. (1)求曲线 yf (x)在点(2,6)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 yf (x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线 yf (x)的某一切线与直线 y14x3 垂直,求切点坐标与切线的方程 【题型探究】 解 (1)f (x)(x3x16)3x21, f (x)在点(2,6)处的切线的斜率为 kf (2)13. 切线的方程为 y13(x2)(6),即 y13x32. (2)设切点为(x0,y0),则直线 l 的斜率为 f (x0)3x201, 直线 l 的方程
2、为 y(3x201)(xx0)x30 x016. 又直线 l 过点(0,0),0(3x201)(x0)x30 x016. 整理得,x308,x02. y0(2)3(2)1626,k3 (2)2113. 直线 l 的方程为 y13x,切点坐标为(2,26) (3)切线与直线 yx43 垂直,切线的斜率 k4. 设切点坐标为(x0,y0),则 f (x0)3x2014,x0 1. x01,y014或 x01,y018.即切点为(1,14)或(1,18) 切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18. 即 y4x18 或 y4x14. 【规律方法】 1导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可
3、以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy0f (x0)(xx0),明确“过点 P(x0,y0)的曲线 yf (x)的切线方程”与“在点 P(x0,y0)处的曲线 yf (x)的切线方程”的异同点 2 围绕着切点有三个等量关系: 切点(x0, y0), 则 kf (x0), y0f (x0),(x0,y0)满足切线方程,在求解参数问题中经常用到 跟进训练 1设函数 f (x)x2bxaln x,若曲线 yf (x)在点(1,f (1)处的切线在 x 轴上的截距为2,在 y 轴上的截距为 2,求 a 与 b 的值 解 f (x)2xbax,f (1)1b,f (1)2ba, 曲线 yf (x)在点(
4、1,f (1)处的切线方程为 y1b(2ba)(x1),即 y(2ba)xa1. 切线在 y 轴上的截距为 2,a12,a3. 又切线在 x 轴上的截距为2,1a2ba2,b2. 类型二 函数的单调性与导数 【例 2】 (1)若函数 f (x)x13sin 2xasin x 在(,)上单调递增,则 a 的取值范围是( ) A1,1 B1,13 C13,13 D1,13 (2)设函数 f (x)是奇函数 f (x)(xR)的导函数, f (1)0, 当 x0时, xf (x)f (x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A(,1)(0,1) B (1, 0)(1, ) C(,1)(1,0) D(
5、0,1)(1,) (1)C (2)A (1)f (x)123cos 2xacos x 123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x53, f (x)在 R 上单调递增,则 f (x)0 在 R 上恒成立, 令 cos xt,t1,1, 则43t2at530 在1,1上恒成立, 即 4t23at50 在1,1上恒成立, 令 g(t)4t23at5, 则 g143a50,g143a50, 解得13a13,故选 C. (2)令 g(x)fxx,则 g(x)xfxfxx2,由题意知, 当 x0 时,g(x)0,g(x)在(0,)上是减函数 f (x)是奇函数,f (1)0, f (1
6、)f (1)0,g(1)f110, 当 x(0,1)时,g(x)0,从而 f (x)0; 当 x(1,)时,g(x)0,从而 f (x)0. 又g(x)fxxfxxfxxg(x)(x0),g(x)是偶函数, 当 x(,1)时,g(x)0,从而 f (x)0; 当 x(1,0)时,g(x)0,从而 f (x)0. 综上,所求 x 的取值范围是(,1)(0,1)故选 A. 【规律方法】 利用导数确定参数的取值范围时,要充分利用 fx与其导数 fx之间的对应关系,然后结合函数的单调性等知识求解. 求解参数范围的步骤为: 1对含参数的函数 fx求导,得到 fx; 2若函数 fx在a,b上单调递增,则
7、fx0 恒成立;若函数 fx在a,b上单调递减,则 fx0 恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围; 3验证参数范围中取等号时, 是否恒有 fx0.若 fx0 恒成立, 则函数 fx在a,b上为常函数,舍去此参数值. 跟进训练 2若函数 f (x)13x312ax2(a1)x1 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,)上为增函数,试求实数 a 的取值范围 解 函数 f (x)的导数 f (x)x2axa1. 令 f (x)0,解得 x1 或 xa1. 当 a11,即 a2 时, 函数 f (x)在(1,)上为增函数,不合题意 当 a11,即 a2 时,函数 f (x)在(,1)上为增函数
8、, 在(1,a1)上为减函数,在(a1,)上为增函数 依题意当 x(1,4)时,f (x)0, 当 x(6,)时,f (x)0. 故 4a16,即 5a7.因此 a 的取值范围是5,7. 类型三 函数的极值、最值与导数 探究问题 三次函数 f (x)ax3bx2cxd(a0)令 x1,x2为 f (x)的极值点 1在什么情况下,yf (x)有一个零点? 提示 0 或 f (x1)f (x2)0, 即函数是单调的或者极大值和极小值同号 2在什么情况下,yf (x)有两个零点? 提示 0 且 f (x1)f (x2)0.即函数有两个极值点且其中一个极值点为零 3在什么情况下,yf (x)有三个零点
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