2022年中考数学第一轮复习考点分类练习专题3：猜想与证明（含答案解析）

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1、答案第 1 页，共 15 页 2021-2022 学年中考数学第一轮复习考点分类练习学年中考数学第一轮复习考点分类练习 专题专题 3 猜想与证明猜想与证明 时间：40 分钟 一、单选题一、单选题 1用反证法证明“若，则”时，第一步应先假设（ ） A 不垂直于 B 不垂直于 C 不平行于 D 不平行于 2某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实： （1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外； （2）丙作案时总得有甲作从犯； （3）乙不会开车在此案中，能肯定的作案对象是（ ） A嫌疑犯乙 B嫌疑犯丙 C嫌疑犯甲 D嫌疑犯甲和丙 3小王、小陈、小张当

2、中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事”“小张也没做这件事” 小王：“我没做这件事”“小陈也没做这件事” 小张：“我没做这件事”“我也不知道谁做了这件事” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（ ） A小王 B小陈 C小张 D不能确定 4如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图 5 中三角形的个数是( ) A8 B9 C16 D17 5如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，按照此

3、规律继续下去，则 S9的值为（ ） A （12）6 B （12）7 C （22）6 D （22）7 6下列推理正确的是( ) A1290 ，2390 ，1390 B1390 ，3290 ，12 答案第 2 页，共 15 页 C1 与2 是对顶角，又23，1 与3 是对顶角 D1 与2 是同位角，又2 与3 是同位角，1 与3 是同位角 7六个整数的积36a b c d e f ，abcdef、 、 、 、 、 互不相等，则abcdef 的和可能是( ). A0 B10 C6 D8 8 我们知道， 一元二次方程 x2=1 没有实数根， 即不存在一个实数的平方等于1， 若我们规定一个新数“i ”，

4、使其满足 i2=1(即方程 x2=1 有一个根为 i)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1=i，i2=1，i3=i2 i=(1)(1) i=i，i4=(i2)2=(1)2=1，从而对任意正整数 n，则 i6=( ) A1 B1 Ci Di 二、填空题二、填空题 9观察：1 3122, 2 41=32, 3 51=42, 4 61=52请你用字母 n 的等式表示你发现的规律：_ 10很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释例如：平方差公式、完全平方公式等 （提出问题）如何用表示几何图形面积的方法计算：333312

5、3nL？ （规律探究）观察下面表示几何图形面积的方法： （解决问题）请用上面表示几何图形面积的方法写出3333123nL_=_（用含 n 的代数式表示） ； （拓展应用）根据以上结论，计算：3333246(2 )nL的结果为_ 11已知整数a和b，有下列命题： （1）若2ab ，则1ab ； （2）若3ab，则32ab ； （3）若6ab，则3ab 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9ab，则ab _. 12在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，6 9 4 15,5 7 3 11，小军猜想出的第六个数字答案第 3 页，共 15 页 是1813，也是正确的，根据此规律，第 n 个数是_

6、13甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局已知甲、乙各比赛了 4 局，丙当了 3 次裁判则第二局的输者是_ 14如图，45MON，正方形1ABBC，正方形1121AB B C，正方形2232A B B C，正方形3343A B B C，的顶点A，123,A A A L， 在射线OM上， 顶点1234,B B B B B L， 在射线ON上， 连接2AB交11AB于点D， 连接13AB交22A B于点1D，连接24A B交33A B于点2D，连接11B D交2AB于点E，连接22B D交13AB于点1E，按照这个规律进行下去，设

7、四边形11ADED的面积为1S，四边形2112A DE D的面积为2S，四边形3223A D E D的面积为3S， ，若2AB ，则nS等于_ （用含有正整数n的式子表示） 三、解答题三、解答题 15观察相邻两个奇数的和： （1）相邻两个奇数的和与 4 之间有什么关系？提出你的猜想 （2）通过证明，验证你的猜想是否正确 16观察以下等式： 第 1 个等式：212 1 11 2 第 2 个等式：222 2222 第 3 个等式：232 333 2 按照以上规律，解决下列问题： 答案第 4 页，共 15 页 （1）写出第 4 个等式：_； （2）写出你猜想的第n个等式：_（用含n的等式表示） ，并

8、证明 17阅读下面的材料： 如果函数 yf x满足：对于自变量x的取值范围内的任意1x，2x， （1）若12xx，都有12( )()f xf x，则称 f x是增函数； （2）若12xx，都有12( )()f xf x，则称 f x是减函数 例题：证明函数6( )(0)f xxx是减函数 证明：设120 xx， 21211212121266666xxxxf xf xxxx xx x 120 xx， 210 xx，120 x x 211260 xxx x即12( )0(f xf x 12( )()f xf x 函数6( )(0)f xxx是减函数 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数21(

9、)(0)f xx xx， 21( 1)( 1)0( 1)f ，217( 2)( 2)( 2)4f （1）计算：3f ，4f ； （2）猜想：函数21( )(0)f xx xx是 函数（填“增”或“减”） ； （3）请仿照例题证明你的猜想 答案第 5 页，共 15 页 18 几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系几何学以下是几何原本第一卷中的命题 6，请完成它的证明过程 命题 6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 已知： 求证： 证明：若 ABAC，其中必有一个较

10、大，不妨设 ABAC，在 AB 上截取 BDAC， 连接 DC ， ， ， ACBDBC BDCCAB 又BDCCAB BDC 与CAB 即等于又大于，显然是矛盾的 假设不成立，即 ABAC 19阅读下面的材料： 如果函数 yf x满足：对于自变量x的取值范围内的任意1x，2x， （1）若12xx，都有 12f xf x，则称 f x是增函数； （2）若12xx，都有 12f xf x，则称 f x是减函数 例题：证明函数 6f xx是减函数 证明：设120 xx， 21211212121266666xxxxf xf xxxx xx x 120 xx，210 xx，120 x x 211260

11、 xxx x即 120f xf x 12f xf x函数 6fxx（0 x）是减函数 根据以上材料，解答下面的问题： 答案第 6 页，共 15 页 己知函数 1f xxx（0 x） ， （1）计算：5f _，6f _； （2）猜想：函数 1f xxx（0 x）是_函数（填“增”或“减”） ； （3）请仿照例题证明你的猜想 20如图 1，点 C 是半圆 O 的直径 AB 上一动点（不包括端点） ，6cmAB ，过点 C 作CDAB交半圆于点 D，连结 AD，过点 C 作/CEAD交半圆于点 E，连结 EB牛牛想探究在点 C 运动过程中 EC 与 EB 的大小关系他根据学习函数的经验，记cmACx

12、，1cmECy，2cmEBy请你一起参与探究函数1y、2y随自变量 x 变化的规律 通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图 2 中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象 x 0.30 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 1y 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.27 0.38 2y 5.60 4.95 3.95 2.96 2.06 1.24 0.57 0.10 （1）当3x 时，1y （2）在图 2 中画出函数2y的图象，并结合图象判断函数值1y与2y的大小关系 （3）由（2）知“AC 取某值时，有ECEB

13、”如图 3，牛牛连结了 OE，尝试通过计算 EC，EB 的长来验证这一结论，请你完成计算过程 21勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数： 答案第 7 页，共 15 页 a b c 1 3 1 2 42 1 2 52 2 1 2 52 3 122 2 3 134 3 1 3 73 4 242 3 4 256 4 1 4 94 5 402 4 5 41 8 5 1 n a b c （1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上） （2）你能发现a，b，c之间的关系吗？ （3）对于偶数，这个关系 （填“成立”或“不成立”）吗？ （4）

14、你能用以上结论解决下题吗？ 22222019202010092020 1009 1（） 参考答案参考答案 1D 【解析】ab 的反面是 不平行于 . 故选 D. 2C 【解析】解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯； 根据（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之间； 由（2）知：若丙作案，则甲必作案； 由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1） （2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯 故选 C 3B 【解析】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”

15、是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、 假设小陈说“我没做这件事”是假话， 则“小张也没做这件事”是真话， 从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符答案第 8 页，共 15 页 合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； 做好事的是小陈， 故选 B 4C 【解析】分析：由图可知：第一个图案有三角形 1 个； 第二图案有三角形 4 个； 第三个图案有三角形 4+4=8 个； 第四个图案有三角形 4+4+4=12 个； 第五个图案有三角形 4+4+

16、4+4=16 个 故选 C 5A 【解析】如图所示 正方形 ABCD 的边长为 2， CDE 为等腰直角三角形，DE2+CE2=CD2，DE=CE，S2+S2=S1观察发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，由此可得 Sn=（12）n3当 n=9 时，S9=（12）93=（12）6，故选 A 6B 【解析】解：A. 1290 ，2390 ，13，不能推出1390 ，故本选项错误； B. 1390 ，3290 ，12（等量代换） ，故本选项正确； C. 1 与2 是对顶角，又23，1 与3 是对顶角，由对顶角的概念可知本选项错误； D. 1 与2

17、是同位角， 又2 与3 是同位角， 1 与3 是同位角， 由同位角的概念可知本选项错误； 故选 B 7A 【解析】-36=（-1） 1 （-2） 2 （-3） 3， 这六个互不相等的整数是-1、1、-2、2、-3、3， a+b+c+d+e+f=（-1）+1+（-2）+2+（-3）+3=0 故选 A 8A 【解析】解：6241iii . 故选 A. 答案第 9 页，共 15 页 9n（n+2）+1=（n+1）2 【解析】假设第一个数字为 n，则第二个数字为(n+2)，等号后面的数字为(n+1)，然后根据给出的式子得出规律. 10规律探究26；解决问题2(123)n ；22(1)4n n；拓展应用

18、222(1)n n或432242nnn 【解析】解：规律探究：333123=1+8+27=36=大正方形面积=221+2+3=6； 故答案为：62 解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知，23333123123nn ， 又(1)1232n nn Q， 2223333(1)(1)12324n nnnn； 故答案为：222(1)(1 23) ,4n nn ； 拓展应用：33333333324622123nn， 223333(1)1234n nnQ， 223233332432124622212424nnnnnnnn 故答案为：222(1)n n或432242nnn 1192 【解析】 （1）若2a

19、b，则1=2abab； （2）若3ab，则3=22abab； （3）若6ab，则3=2abab； 故可猜想出2abab； 所以若9ab，则92ab ， 故填92. 12321nn 答案第 10 页，共 15 页 【解析】 把这组数： 1，6 9 4 155 7 3 11， 变形得到3 6 9 12 153 5 79 11， ， ， 即 3 12 33 33 42 1+1 2 2+1 2 3+1 2 4+1， ，所以第六个数字是3 618=2 6+113，第 n 个数是321nn， 故答案为321nn 13丙 【解析】由题意，知：由丙当了 3 次裁判知有三场比赛是甲乙比赛，丙当裁判，且这三场比赛

20、分别是第一局，第三局，第五局： 第一局：甲 VS 乙，丙当裁判； 第三局：甲 VS 乙，丙当裁判； 第五局：甲 VS 乙，丙当裁判； 由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙 故答案是：丙 142429n 【解析】解：正方形1ABBC，正方形1121AB B C，且45MON， OAB和11AAB都是等腰直角三角形， 12OBABBB， 1114ABOB， 同理228A B ， 正方形1ABBC，正方形1121AB B C，正方形2232A B B C，边长分别为 2，4， 8， 12112/ /,/ /ACB B DBDB， 11224CDACDBB B， 12DBCD， 11124,3

21、33CDCBDB， 答案第 11 页，共 15 页 同理：1112122223231481816,333333C DC BD BC DC BD B， 112/ /DBDB， 121DEBEB D， 设 EDB1和 EB2D1的边 DB1和 B2D1上的高分别为 h1和1h， 11112413,823hDBhD B 11124,hhB B 1148,33hh， 设1112223,DE DBBEBED的边11223,DB DB D B的高分别为123,h h h, 1234816,333hhh 1 1112211111114464442222339A B DDB ESSSDB h; 同理求得：22

22、1212222122111188648842222339A B DD B ESSSD Bh; 333232223233111161664161284222339A B DD B ESSSD Bh； 224164424999nnnnS 故答案为：2429n 15 （1）相邻两个奇数的和是 4 的倍数； （2）见解析 【解析】解： （1）由图可知相邻两个奇数的和分别为 4、8、12、16，猜想：相邻两个奇数的和是 4 的倍数 （2）设 n 为正整数，则相邻两个奇数可以分别表示为21n和21n+， 它们的和为 21214nnn 因为 n 为正整数，所以 4n 是 4 的倍数， 所以猜想“相邻两个奇数

23、的和是 4 的倍数”是正确的 16 （1）242 4442 ； （2）222nnn n，证明见解析 【解析】解： （1）由前三个式子规律得第 4 个等式左边为 42+2 4，右边为 4 （4+2） ， 使用第 4 个等式为：242 4442 ； 答案第 12 页，共 15 页 （2）222nnn n 证明：右边22 =2n nnn 左边=右边， 等式成立 17 （1）269，6316； （2）增； （3）函数21( )(0)f xx xx是增函数，证明猜想见解析. 【解析】解： （1）21( )(0)f xx xx， 2126( 3)3( 3)9f ，2163( 4)4( 4)16f 故答案为

24、269，6316 （2）43 ，43ff 函数21( )(0)f xx xx是增函数 故答案为增 （3）设120 xx， 1212221211f xf xxxxx121222121xxxxx x 120 xx， 120 xx，120 xx， 12( )0(f xf x 12( )()f xf x 函数21( )(0)f xx xx是增函数. 18 ： ABC 中，BC；ABAC；BDCA，BACB，BCCB； （SAS） ； （全等三角形的对应角相等） ； （三角形外角性质） 【解析】解：已知： ABC 中，BC 求证：ABAC 证明：若 ABAC，其中必有一个较大，不妨设 ABAC，在 AB

25、 上截取 BDAC， 连接 DC BDCA， BACB， BCCB， ACBDBC（SAS） 答案第 13 页，共 15 页 BDCCAB（全等三角形的对应角相等） 又BDCCAB（三角形外角性质） BDC 与CAB 即等于又大于，显然是矛盾的 假设不成立，即 ABAC 故答案为： ABC 中，BC；ABAC；BDCA，BACB，BCCB； （SAS） ； （全等三角形的对应角相等） ； （三角形外角性质） 19 （1）245，356； （2）增； （3）证明见解析 【解析】 （1）11245-5 -=-5+=-555f 11356-6 -=-6+=-666f （2）增函数 （3）121212

26、12121211xxf xf xxxxxxxx x=121211xxx x 120 xx，120 xx，120 x x 121211xxx x0即 120f xf x 12f xf x 函数 1f xxx（0 x）是增函数 20 （1）3； （2）当 x 约等于 2 时，y1=y2；当 0 x2 时，y12 时，y1y2； （3）见解析 【解析】解（1）当 x=3 时，动点 C 与圆心 O 重合，此时，y1=OE=3 故答案为：3 （2）函数 y2的图象如图 2 所示，过两图象的交点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则垂足 N 表示的数2x 从图象可以看出： 当2x 时，12yy； 当 0

27、x2 时，12yy 答案第 14 页，共 15 页 （3）如图 3，连结 OD，过点 E 作EHAB于点 H 由（2）的初步判断，当2x 时，12yy，即 EC=EB 不妨取 AC=x=2，此时，1OC ，3OD DCABQ， 在Rt ODCV中， 2222312 2CDODOC 设OHm，则1CHm ，2222239EHOEOHmm ADCE， DAC=ECO 又90DCAEHCQ， DACECH DCEHACCH 22 2921mm 292 1mm 两边平方并整理得，23470mm 解得，12713mm ，（不合题意，舍去） OH=m=1 HC=OH+OC=1+1=2，2299 12 2E

28、Hm 222222 2122 3ECCHEH 答案第 15 页，共 15 页 又HB=OB-OH=3-1=2， 222222 2122 3EBBHEH EC=EB 通过以上计算可知，当取 AC=2 时， （2）中的结论 EC=EB 成立 21 （1）21n+，222nn，2221nn； （2）222abc； （3）成立； （4）0 【解析】 解：（1） 由表中信息可得(1)21annn，22 (1)22bn nnn，22 (1) 1221cn nnn ， 故答案为21n+，222nn，2221nn （2）由于22(21)441nnn， 22432(22 )484nnnnn， 22432(221

29、)48841nnnnnn 243243244148448841nnnnnnnnn 即222abc （3）令 n=2k，则 2(21)41akkk，22 2 (21)84bkkkk ， 22 2 (21) 1841ckkkk 222(41)1681akkk 222432(84 )646416bkkkkk 222243(841)64643281ckkkkkk， 由于22432431681 64641664643281kkkkkkkkk 即222abc， 对于偶数，这个关系成立 （4）22222019202010092020 1009 1（） 222(1010 1009)(2 1010 1009)2 1010 1009 1（） 由（2）中结论可知222(1010 1009)(2 1010 1009)2 1010 1009 1（） 22222019202010092020 1009 10（）