6.4.1平面几何中的向量方法ppt课件
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1、6.4.1 平面几何中的向量方法 学习目标学习目标 1.会用向量方法解决平面几何问题,体会向量在解决数学问题中的应用,培养数学建模素养. 2.掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的 “三部曲”. 1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的意义. (2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件: . aba=b 向量在平面几何中的应用 知识梳理 预习导学预习导学 (3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件: . (4
2、)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式 . (5)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题. aba b=0 cos = | 2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 问题; 第二步,通过 运算,研究几何元素之间的关系; 第三步,把 “翻译”成几何关系. 向量 向量 运算结果 【思考】 用向量方法解决平面几何问题的关键是什么? 提示:关键是将几何元素用向量表示,将平面几何问题转化为向量问题求解. 基础测试 1.
3、在ABC 中,若( + ) ( - )=0,则ABC 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.形状无法确定 2.若 =3e, =5e,且| |=| |,则四边形 ABCD 的形状 为 . 答案:C 等腰梯形 探索点一 平行问题 【例 1】 如图所示,已知 AC,BD是梯形 ABCD 的对角线,E,F 分别是 BD,AC 的中点.试用向量方法求证:EFBC. 重点探究重点探究 证明:设 =a, =b,则 = - =b-a. 因为 ,所以 = =b(0). 因为 E 为 BD 的中点,所以 =12 =12(b-a). 因为 F 是 AC 的中点,连接 BF(图略), 所以 =
4、+ = +12 = +12( - ) =12( + )=12( - )=12(b-a). 所以 = - =12(b-a)-12(b-a)=(12-12)b=(12-12) . 所以 . 因为 E,F,B,C四点不共线, 所以 EFBC. 方法规律 用向量方法证明 ABCD的步骤 (1)选择一个基底; (2)分别用基底表示 和 ; (3)确定 = 中的 的值(0),即有 ; (4)归纳总结. 【跟踪训练】 1.已知在平行四边形 ABCD中,E,F 是对角线 AC 上的两点,且 AE=FC=14AC,试用向量方法证明四边形 DEBF 也是平行四边形. 证明:设 =a, =b,则 = + . 由题意
5、知 = - =14 -a=14b-34a, = - =b-34 =14b-34a, 所以 = . 因为 D,E,F,B 四点不共线,所以 DEFB,DE=FB, 所以四边形 DEBF 是平行四边形. 探索点二 垂直问题 【例 2】 如图所示,四边形 ABCD是菱形,AC和 BD是它的两条对角线,试用向量方法证明:ACBD. 证明:方法一:因为 = + , = - , 所以 =( + ) ( - )=| |2-| |2=0. 所以 .所以 ACBD. 方法二:如图所示,以 BC 所在直线 为 x轴,以 B为原点建立平面直角 坐标系,则 B(0,0). 设 A(a,b),C(c,0),则 =(a,
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