第六章平面向量及其应用 章末复习ppt课件
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1、第六章 章末复习 【知识网络】 【例 1】 (1)在ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则EB( ) A.34AB14AC B.14AB34AC C.34AB14AC D.14AB34AC 主题一 平面向量的线性运算 【主题探究】 (2)如图所示, 在正方形 ABCD 中, M 是 BC 的中点, 若ACAMBD,则 ( ) A.43 B.53 C.158 D.2 【解析】 (1)法一:法一:如图所示, EBEDDB12AD12CB1212(ABAC)12(ABAC) 34AB14AC,故选 A. 法二:法二:EBABAEAB12ADAB1212(ABAC) 34
2、AB14AC,故选 A. (2)因为ACAMBD(ABBM)(BAAD)(AB12AD)(ABAD)() AB 12 AD,且ACABAD, 所以1,121得43,13,所以 53,故选 B. 【答案】 (1)A (2)B 【规律方法】 向量线性运算的基本原则向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面 【跟踪训练】已知平面向量 a(2,1),b(1,1),c(5,1) 若(akb)c,则实数 k 的值为( ) A2 B12 C114 D114 解析:选 B.由
3、题意知,akb(2,1)k(1,1)(k2,k1),由(akb)c,得5(k1)k2,解得 k12,故选 B. 【例 2】如图,在平面四边形 ABCD 中,ABBC,ADCD,BAD120 ,ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点,则AEBE的最小值为( ) A.2116 B.32 C.2516 D.3 主题二 平面向量数量积的运算 【解析】 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x轴,建立如图的平面直角坐标系, 因为在平面四边形 ABCD 中,ABAD1, BAD120 , 所以 A(0, 0), B(1, 0), D12,32, 设 C(1,m),E(x,y),所以DC32,m32,A
4、D12,32, 因为 ADCD,所以32,m3212,320, 即321232m320,解得 m 3,即 C(1, 3), 因为 E 在 CD 上, 所以32y 3, 由CEDC, 得(x1)33232(y 3),即 x 3y2,因为AE(x,y),BE(x1,y),所以AEBE(x,y) (x1,y)x2xy2( 3y2)2 3y2y24y25 3y6,令 f(y)4y25 3y6,y32, 3 . 因为函数 f(y)4y25 3y6 在32,5 38上单调递减, 在5 38, 3 上单调递增, 所以 f(y)min45 3825 35 3862116. 所以AEBE的最小值为2116,故选
5、 A. 【答案】 A 【规律方法】 向量数量积的两种计算方法向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 时,可利用定义法求解,即 a b|a|b|cos . (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 a bx1x2y1y2. 【跟踪训练】 1已知向量 a,b 的夹角为34,|a| 2,|b|2, 则 a (a2b)_ 解析:a (a2b)a22a b22 22226. 答案:6 2设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|6,|AD|4,若点 M,N 满足BM3MC,DN2NC,则AMNM等于_ 解析:AMABBMAB34AD, NMC
6、MCN14AD13AB, 所以AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD) 148(16AB29AD2)148(1662942)9. 答案:9 【例 3】(1)已知向量 m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知 abc0, |a|2, |b|3, |c| 19, 则向量 a 与 b 的夹角为( ) A30 B45 C60 D以上都不对 主题三 向量的夹角及垂直问题 【解析】 (1)因为 mn(23,3),mn(1,1), (mn)(mn),所以(mn) (mn)(23,3) (1,1) 260,解得 3. (2)设向量 a 与 b 的
7、夹角为 ,因为 abc0, 所以 c(ab),所以 c2(ab)2, 即|c|2|a|2|b|22|a|b|cos ,所以 194912cos , 所以 cos 12,又 0180,所以 a 与 b 的夹角为 60. 【答案】 (1)B (2)C 【规律方法】 解决两个向量垂直问题,其关键在于将问题转化为它们的数量积为零,与求夹角一样若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系),将它转化为“x1x2y1y20”较为简单 【跟踪训练】 1 设向量 a(1, 0), b(1, m) 若 a(mab), 则 m_ 解析:因为 a(1,0),b(1,m), 所以 mab(m1,m) 由 a(mab)
8、得 a (mab)0, 即 m10,得 m1. 答案:1 2已知非零向量 a,b 满足|ab|a|,a (ab)0,则 ab 与b 夹角的大小为_ 解析:因为非零向量 a,b 满足 a (ab)0,所以 a2a b, 由|ab|a|可得 a22a bb2a2,解得|b| 2|a|, 设 ab 与 b 的夹角为 , 则 cos (ab) b|ab|b|a b|b|2|a|b|a|22|a|22|a|222, 又 0180,所以 135. 答案:135 【例 4】 已知平面向量 a, b 的夹角为6, 且|a| 3, |b|2, 在ABC中, AB2a2b, AC2a6b, D 为 BC 的中点,
9、 则|AD|等于( ) A2 B4 C6 D8 主题四 向量的长度(模)与距离的问题 【解析】 因为AD12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b,所以|AD|24(ab)24(a22b ab2) 432 2 3 cos 64 4,则|AD|2. 【答案】 A 【规律方法】 解决向量模的问题常用的策略解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式:|a| x2y2(其中 a(x,y) (2)应用三角形法则或平行四边形法则 (3)应用向量不等式|a|b|a b|a|b|. (4)研究模的平方|a b|2(a b)2. 【跟踪训练】已知平面向量 a,b 的夹角为23,且 a (ab)8, |a|
10、2,则|b|等于( ) A 3 B2 3 C3 D4 解析:选 D.因为 a (ab)8, 所以 a aa b8,即|a|2|a|b|cosa,b8, 所以 42|b|128,解得|b|4. 【例 5】已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, asin Acsin C 2asin Cbsin B. (1)求角 B 的大小; (2)若 A75,b2,求 a,c. 主体五 利用正、余弦定理解三角形 【解】 (1)由正弦定理得 a2c2 2acb2. 由余弦定理得 b2a2c22accos B. 故 cos B22,所以 B45 . (2)因为 sin Asin(30 45 ) s
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