专题13:常见解题方法-教案(中考数学背诵手册)
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1、专题专题 13 13 中考中常见解题方法中考中常见解题方法 1、配方法 配方:就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例例 1:用配方法解方程 x2+4x+1=0,经过配方,得到( ) A(x+2) 2=5 B(x2) 2=5 C(x2) 2=3 D(x+2) 2=3 【点睛】配方法:若二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一
2、半的平方,若二次项系数不为1,则可先提取二次项系数,将其化为1后再计算。 【详解】将方程x2+4x+1=0, 移向得:x2+4x=1, 配方得:x2+4x+4=1+4, 即(x+2) 2=3; 因此选D。 2、因式分解法 因式分解:就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的因式分解:就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的
3、提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。分解、换元、待定系数等等。 例2:若多项式x2+mx-3因式分解的结果为(x-1)(x+3),则m的值为( ) A-2 B2 C0 D1 【点睛】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形,先将(x-1)(x+3)乘法公式展开,再根据对应项系数相等求出m的值。 【详解】x2+mx-3因式分解的结果为(x-1)(x+3), 即x2+mx-3=(x-1)(x+3), x2+mx-3=(x-1)(x+3)=x2+2
4、x-3, m=2; 因此选 B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。简化,使问题易于解决。 例 3:已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,则 x2+y2的值为( ) A-5 或 1 B1 C5 D5 或-1 【点睛】解题时把 x2+
5、y2当成一个整体来考虑,再运用因式分解法就比较简单 【详解】设 x2+y2=t,t0,则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8,化简得: (t+5)(t-1)=0, 解得:t1=-5,t2=1 又 t0 t=1 x2+y2的值为只能是 1 因此选 B 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 属于属于 R,a0)根的判别,)根的判别,=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常,解不等式,研究函数乃
6、至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,外,还可以求根的对称函数,讨讨论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。都有非常广泛的应用。 注意:注意:=b2-4ac0,方程无实数根,即无解;,方程无实数根,即无解;=b2-4ac =0,方程有两个相等的实数根;,方程有两个相等的实
7、数根;=b2-4ac0,方程有两个不相等的实数根。,方程有两个不相等的实数根。 例 4:当m为什么值时,关于x的方程01) 1(2)4(22xmxm有实根。 【点睛】题设中的方程未指明是一元二次方程,还是一元一次方程,所以应分42m0 和42m0 两种情形讨论。 【详解】当42m0 即2m时,) 1(2m0,方程为一元一次方程,总有实根; 当42m0 即2m时,方程有根的条件是: 208)4(4) 1(222mmm0,解得m25 当m25且2m时,方程有实根。 综上所述:当m25时,方程有实根。 5、待定系数法 在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后
8、根据题在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 例 5:已知函数 ymxxnx224 31的最大值为 7,最小值为1,求此函数式。 【点睛】求函数的表达式,实际上就是确定系数 m、n 的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的
9、值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【详解】 函数式变形为: (ym)x243x(yn)0, xR, 由已知得 ym0 (43)24(ym)(yn)0 即: y2(mn)y(mn12)0 不等式的解集为(-1,7),则1、7 是方程 y2(mn)y(mn12)0 的两根, 代入两根得:1120497120()()mnmnmnmn 解得:mn51或mn15 y54 31122xxx或者 yxxx224 351 此题也可由解集(-1, 7)而设(y1)(y7)0, 即 y26y70, 然后与不等式比较系数而得:mnmn 6127,解出 m、n 而求得函数式 y。 6
10、、构造法 在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。 例 6:如图,在ABC 中,B=2C,BAC 的平分线交 BC 于点 D。求证:ABBDAC 【点睛】若遇到三角形的角平分线时,常构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够找到解题途径。 【详解】延长 CB 到点 F,使 BF=AB,连接 AF,则BAF 为等腰三角形,
11、且F=1.再根据三角形外角的有关性质,得出ABD=1+F , 即ABD=21=2F,而ABD=2C,所以C=1=F , AFC为等腰三角形,即 AF=AC,又可得FAD 为等腰三角形,因此 ,AF=DF=DB+BF=DB+AB,即 ABBDAC。 7、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反
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