广东省广州市番禺区四校联考2021-2022学年八年级上期中数学试题（含答案解析）

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1、2021-2022 学年广东省学年广东省广州市番禺区广州市番禺区八年级（上）期中数学试卷八年级（上）期中数学试卷 一一.选择题选择题 1. 下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别是 4cm和 10cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 14cm 3. 下列计算错误的是（ ） A. 3243a baba b B. 2326mnm n C. 842aaa D. 2221455xyxyxy 4. 如图下列各组条件中，可以判定 ABCDEF的条件是（ ） A. AD、BE、CF B. A

2、BDE、ACDF、BCEF C. ABDE、ACDF、CF D. BCEF、AD、BF 5. 如图，CE 是ABC的外角ACD的平分线，若B35 ，ACE60 ，则A（ ） A. 105 B. 95 C. 85 D. 75 6. 如图， ABC的边长 AB8cm，AC10cm，BC4cm，作 BC 的垂直平分线交 AC 于 D，则 ABD的周长为（ ） A. 14cm B. 18cm C. 20cm D. 12cm 7. 如图所示，在ABC 中，D、E、F分别为 BC、AD、CE 的中点，且 SABC16cm2，则阴影部分（BEF）的面积等于（ ） A. 2cm2 B. 4cm2 C. 6cm

3、2 D. 8cm2 8. 若等腰三角形的一个内角比另一个内角大 30，则这个等腰三角形的底角度数是（ ） A. 50 B. 80 C. 50或 70 D. 80或 40 9. 如图，在锐角三角形 ABC 中，AB4， ABC 的面积为 10，BD平分ABC，若 M、N 分别是 BD、BC上的动点，则 CM+MN 的最小值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 10. 如图，BAC与CBE的平分线相交于点 P，BEBC，PB与 CE交于点 H，/PGAD交 BC于 F，交 AB于 G，下列结论：GAGP；:PACPABSSAC AB； BP垂直平分 CE；FPFC，其中正确的判断有

4、（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 11. 当x_时，0(2)1x 有意义 12. 已知3ma，4na ，则2m na的值是_ 13. 若一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是_边形 14. 如图，ADBC于点 D，D 为 BC 的中点，连接 AB，ABC的平分线交 AD于点 O，连结 OC，若AOC=125 ，则ABC=_. 15. 如图，在直角三角形纸片 ABC 中，ACB90 ，A30 ，AC3，BC1，将纸片沿着 CD折叠，使 AC边与 BC 边重合，则 BD 的长为_ 16. 如图，等边 ABC 中，AB=2，高线 AF=3，D是 AF 上一动点，以

5、BD 为边向下作等边 BDE，当点 D 从点 A 运动到点 F 的过程中，点 E 所经过的路径长为 三、解答题三、解答题 17. 计算：4x2（12xyy2）+3x（xy22x2y） 18. 如图，AD90 ，点 B，E，F，C在同一直线上，ABCD，BECF，求证：BC 19. 如图所示，已知在ABC 中，AD 平分BAC，BE 是边 AC 上高，CBE16 ，且 ACAD，求ABE的度数 20. 如图， ABC三个顶点在边长为 1 的正方形网格中，已知 A（4，5） ，B（3，1） ，C（2，3） （1）画出 ABC 及关于 y轴对称的 A1B1C1，其中点 B1的坐标是_； （2）若点

6、M 是 x轴上的动点，在图中画出使 B1CM周长最小时的点 M 21. 如图， 已知ABC 中， ABAC， 在 AC上有一点 D， 延长 BD， 并在 BD的延长线上取点 E， 使 AEAB，连接 AE （1）作图：作EAC 的平分线 AF，AF交 DE 于点 F， （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：ABEACF 22. 如图，ABC 中，CDAB于 D，BEAC于 E，CD、BE 交于 O，且 OBOC （1）求证：12 （2）判断 AO与 BC的位置关系 23. 如图，ABC中，ABAC，B30 ，点 O在 BC 边上运动（O 不与 B

7、，C重合） ，点 D在线段 AB上，连结 AO，OD点 O 运动时，始终满足AODB （1）如图 1，当 ODAC 时，则AOB 的形状是_； （2）如图 2，当 AO为BAC 的平分线时，求证 BD3AD； （3）在点 O的运动过程中，判断AOD形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDO的度数；若不可以，请说明理由 24. 如图，点 D、E分别在等边ABC 的边 AB、BC上，且 BDCE，CD，AE交于点 F （1）求AFD的度数； （2）如图 2，若 D，E，M，N 分别是ABC 各边上三等分点，BM，CD 交于 Q若ABC 的面积为 S，则四边形 ANQF的面积为_； （只写出答案即

8、可，不要求写解题过程） （3）如图 3，延长 CD到点 P，使BPD30 ，设 AFa，CFb，请用含 a，b的式子表示 PC的长，并说明理由 25. 等腰 RtABC 中，ACB90 ，CACB，点 A、C 分别在 x 轴、y轴正半轴上 （1）如图 1，求证：BCOCAO； （2）如图 2，若 OA5，OC2，求 B点的坐标； （3）如图 3，点 C（0，3） ，Q，A 两点均在轴上，且 SCOA18分别以 AC，CQ为腰在第一、第二象限作等腰 RtCAN、等腰 RtQCM，连接 MN交 y轴于 P 点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出 OP的值；若变化，求 OP的取值范围 2021-2

9、022 学年广东省学年广东省广州市番禺区广州市番禺区八年级（上）期中数学试卷八年级（上）期中数学试卷 一一.选择题选择题 1. 下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念结合四种 QQ表情图片的形状求解 【详解】解：由轴对称图形概念可知 A 是轴对称图形，B，C与 D 不是轴对称图形 故选 A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的定义. 2. 已知三角形的两边长分别是 4cm和 10cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D.

10、 14cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，进行解答即可 【详解】Q 10-4cm第三边 (10 + 4)cm， 6cm第三边 14cm， 故选：C 【点睛】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是： 大于已知的两边之差的绝对值，而小于两边的和 3. 下列计算错误的是（ ） A. 3243a baba b B. 2326mnm n C. 842aaa D. 2221455xyxyxy 【答案】C 【解析】 【分析】选项 A为单项式乘以单项式；选项 B 为积的乘方；选项 C 为同底数幂的除法；选项 D为合并同类项，

11、根据相应的公式进行计算即可 详解】A、 323243a babaa b ba b ，原计算正确，故这个选项不符合题意； B、2326mnm n，原计算正确，故这个选项不符合题意； C、828 26aaaa，原计算错误，故这个选项符合题意； D、2222215145555xyxyxyxyxy，原计算正确，故这个选项不符合题意 故选：C 【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练运用各运算公式是解题的关键 4. 如图下列各组条件中，可以判定ABCDEF的条件是（ ） A. AD、BE、CF B. ABDE、ACDF、BCEF C. ABDE、ACDF

12、、CF D. BCEF、AD、BF 【答案】B 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有 HL，根据以上定理判断即可 【详解】解：A、没有边的条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDEF，故本选项不合题意； B、符合全等三角形的判定定理 SSS，即能推出ABCDEF，故本选项符合题意； C、只满足 SSA，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDEF，故本选项不合题意； D、只能判定ABCDFE，故本选项不合题意； 故选 B 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键， 注意：全

13、等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有 HL 5. 如图，CE 是ABC的外角ACD的平分线，若B35 ，ACE60 ，则A（ ） A. 105 B. 95 C. 85 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，求得ACD120 ，利用三角形的外角性质求解即可. 【详解】CE是ABC 的外角ACD的平分线，ACE60 ， ACD120 ， ACDA+B，且B35 ， A85 ， 故选 C. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键. 6. 如图，ABC 的边长 AB8cm，AC10cm，BC4cm，作

14、 BC的垂直平分线交 AC于 D，则ABD的周长为（ ） A. 14cm B. 18cm C. 20cm D. 12cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案 【详解】解：BC的垂直平分线交 AC 于 D， DB=DC， ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=8+10=18（cm） ， 故选：B 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 7. 如图所示，在ABC 中，D、E、F分别为 BC、AD、CE 的中点，且 SABC16cm2

15、，则阴影部分（BEF）的面积等于（ ） A. 2cm2 B. 4cm2 C. 6cm2 D. 8cm2 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案 【详解】解：SABC16cm2，D为 BC 中点， SADBSADC12ABCSV 8cm2， E为 AD 的中点， SBED12ADBSV4cm2，SCED12ADCSV4cm2， SBECSBED+SCED4cm2+4cm28cm2， F为 CE 的中点， SBEF12 SBEC4cm2， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的中线平分面积，能求出各个

16、三角形的面积是解此题的关键 8. 若等腰三角形的一个内角比另一个内角大 30，则这个等腰三角形的底角度数是（ ） A. 50 B. 80 C. 50或 70 D. 80或 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出底角的度数 【详解】解：在ABC中，设Ax，Bx30，分情况讨论： 当AC 为底角时，2x（x30）180，解得 x50； 当BC 为底角时，2（x30）x180，解得 x40， 即：BC=40+30=70， 故这个等腰三角形的底角的度数为 50或 70 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明

17、确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键 9. 如图，在锐角三角形 ABC中，AB4，ABC的面积为 10，BD 平分ABC，若 M、N分别是 BD、BC上的动点，则 CM+MN的最小值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过 C作 CEAB于点 E，交 BD于点 M，过点 M作 MNBC于 N，则 CE即为 CMMN的最小值，再根据三角形的面积公式求出 CE 的长，即为 CMMN 的最小值 【详解】解：过 C 作 CEAB 于点 E，交 BD于点 M，过点 M作 MNBC 于 N，如图： BD平分ABC，

18、MEAB 于点 E，MNBC 于 N， MNME， CECMMECMMN是 CMMN最小值，此时 M 与 M重合，N 与 N重合， 三角形 ABC的面积为 10，AB4， 124CE10， CE5 即 CMMN的最小值为 5 故选：D 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形中的最短路径，解题的关键是理解 CE 的长度即为 CMMN最小值 10. 如图，BAC与CBE的平分线相交于点 P，BEBC，PB与 CE交于点 H，/PGAD交 BC于 F，交 AB于 G，下列结论：GAGP；:PACPABSSAC AB； BP垂直平分 CE；FPFC，其中正确的判断有（ ） A. B. C. D. 【

19、答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论； 根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； 根据线段垂直平分线的性质即可得结果； 根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果 【详解】解：AP 平分BAC， CAP=BAP， PGAD， APG=CAP， APG=BAP， GA=GP； AP 平分BAC， P 到 AC，AB 的距离相等， SPAC：SPAB=AC：AB， BE=BC，BP 平分CBE， BP 垂直平分 CE（三线合一） ， BAC与CBE的平分线相交于点 P，可得点 P 也位于BCD的平分线上， DCP=BCP， 又PGAD， FPC=DC

20、P， FP=FC， 故都正确 故选 D 【点睛】本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键 二、填空题二、填空题 11. 当x_时，0(2)1x 有意义 【答案】2 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义求解即可 【详解】0(2)1xQ有意义， 20 x ， x2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了零指数幂，掌握知识点是解题关键 12. 已知3ma，4na ，则2m na的值是_ 【答案】36 【解析】 【分析】根据222m nmnmnaaaaagg求解即可得到答案 【详解】解：3ma ，4na 22223436m nmnmnaaaaagg， 故答

21、案为：36 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解 13. 若一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是_边形 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题 【详解】解：多边形的外角和是 360度，多边形的内角和是外角和的 2倍， 则内角和是 720 度， 720180+2=6， 这个多边形的边数为 6 故答案为：六 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键 14. 如图，ADBC于点 D，D 为 BC 的中点，连接 AB，ABC的平分线交

22、 AD于点 O，连结 OC，若AOC=125 ，则ABC=_. 【答案】70 【解析】 【分析】略 【详解】试题分析：根据题意可得：COD=55 ， 根据等腰三角形的三线合一定理可得：BOC=110 ， 根据等腰三角形性质可得：OBC=C=35 ， 则根据角平分线的性质可得：ABC=35 2=70 . 【点睛】略 15. 如图，在直角三角形纸片 ABC 中，ACB90 ，A30 ，AC3，BC1，将纸片沿着 CD折叠，使 AC边与 BC 边重合，则 BD长为_ 【答案】31#13 【解析】 【分析】由翻折易得 AC=3，A=30，求出 AB，利用外角的性质得到ADB，推出 AB=BD 即可 【

23、详解】解：由折叠可知：AC=AC=3，A=A=30， BC=1， AB=31， ABC=180 -90 -30 =60 ， ADB=A=30， AB=BD=31， 故答案为：31 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，等角对等边，三角形外角的性质，熟记翻折前后对应边和对应角相等是解题的关键 16. 如图，等边ABC 中，AB=2，高线 AF=3，D 是 AF 上一动点，以 BD 为边向下作等边BDE，当点 D 从点 A 运动到点 F 的过程中，点 E 所经过的路径长为 【答案】3 【解析】 【分析】证明ABDCBE（SAS） ，推出 AD=EC可得结论 【详解】如图，连接 EC ABC，B

24、DE都是等边三角形， BA=BC，BD=BE，ABC=DBE=60， ABD=CBE， ABDCBE（SAS） ， AD=EC， 点 D从点 A运动到点 F， 点 E的运动路径的长为3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题 三、解答题三、解答题 17. 计算：4x2（12xyy2）+3x（xy22x2y） 【答案】32287x yx y 【解析】 【分析】先将括号展开，再合并同类项 【详解】解：222214322xxyyx xyx y =3222232436x yx yx yx y =32287x yx y 【

25、点睛】本题考查了整式的混合运算，考验学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型 18. 如图，AD90 ，点 B，E，F，C在同一直线上，ABCD，BECF，求证：BC 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证出 BF=CE，由 HL证明 RtABFRtDCE，得出对应角相等即可 【详解】解：证明：BECF， BE+EF=CF+EF， 即 BF=CE， A=D=90 ， 在 RtABF和 RtDCE中， ABCDBFCE， RtABFRtDCE（HL） ， B=C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键 19. 如图所示，已

26、知在ABC 中，AD 平分BAC，BE 是边 AC 上的高，CBE16 ，且 ACAD，求ABE的度数 【答案】26 【解析】 【分析】根据高的定义求出C，根据等边对等角得到ADC，根据三角形内角和定理求出CAD，再根据角平分线的定义求出BAC，再利用三角形内角和定理求出ABC，从而可得ABE 【详解】解：BEAC，CBE=16 ， C=180 -90 -16 =74 ， AD=AC， ADC=C=74 ， CAD=180 -ADC-C=32 ， AD平分BAC， BAC=2CAD=64 ， ABC=180 -BAC-C=42 ， ABE=ABC-CBE=26 【点睛】本题考查了三角形的内角和

27、定理，等边对等角，角平分线的定义以及三角形的高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键 20. 如图，ABC的三个顶点在边长为 1的正方形网格中，已知 A（4，5） ，B（3，1） ，C（2，3） （1）画出ABC及关于 y轴对称的A1B1C1，其中点 B1的坐标是_； （2）若点 M 是 x轴上的动点，在图中画出使B1CM周长最小时的点 M 【答案】 （1）图形见解析；B1（3，2） ； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）分别找到 A、B、C 点关于 y轴的对称点，然后连接即可； （2）找 C关于 x轴的对称点 C，连接1BC交 x轴于一点 M，根据两点之间线段最短，

28、可知此时的 M 即为使1BCM周长最小时的点 M 【详解】解： （1）111A B C如图所示；根据图形可知 B1(3，2)， 故答案为：(3，2)； （2）如图所示：找 C关于 x轴的对称点 C，则 C(-2，-3)，CMCM， 连接1BC交 x轴于一点 M，根据两点之间线段最短，可知此时的 M 即为使1BCM周长最小时的点 M 【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识 21. 如图， 已知ABC 中， ABAC， 在 AC上有一点 D， 延长 BD， 并在 BD的延长线上取点 E， 使 AEAB，连接 AE （1）作图：作EAC 的平分线 AF，AF交 DE

29、 于点 F， （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：ABEACF 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的作法作出 AF 即可； （2）求出 AE=AC，根据角平分线的定义可得EAF=CAF，再利用“边角边”证明AEF 和ACF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ABE=ACF 【详解】解： （1）如图，AF 即为所求； （2）AB=AC，AE=AB， AE=AC， AF 是EAC的平分线， EAF=CAF， 在AEF和ACF中， AEACEACCAFAFAF ， AEFACF（SAS） ， E=ACF，

30、AB=AE， ABE=E， ABE=ACF 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键 22. 如图，在ABC中，CDAB 于 D，BEAC于 E，CD、BE 交于 O，且 OBOC （1）求证：12 （2）判断 AO与 BC的位置关系 【答案】 （1）见解析； （2）AOBC 【解析】 【分析】 （1）先证明OBDOCE得到 OD=OE，再证明 RtADORtAEO，可得结论； （2） 延长 AO， 交 BC于点 F， 根据OBDOCE 得到OBD=OCE， 根据 OB=OC得到OBC=OCB，从而推出 AB=AC，再根据

31、垂直平分线判定证明即可 【详解】解： （1）CDAB，BEAC， ODB=OEC=ODA=OEA=90 ， 在OBD和OCE 中， ODBOECODOEBODCOE ， OBDOCE（ASA） ， OD=OE， 在 RtADO和 RtAEO中， ODOEAOAO， RtADORtAEO（HL） ， 1=2； （2）结论：OABC 延长 AO，交 BC于点 F OBDOCE， OBD=OCE， OB=OC， OBC=OCB， ABC=ACB， AB=AC， 点 A在线段 BC垂直平分线上， OB=OC， 点 O在线段 BC垂直平分线上， OA垂直平分 BC即 OABC 【点睛】本题考查了全等三角

32、形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 23. 如图，ABC中，ABAC，B30 ，点 O在 BC 边上运动（O 不与 B，C重合） ，点 D在线段 AB上，连结 AO，OD点 O 运动时，始终满足AODB （1）如图 1，当 ODAC 时，则AOB 的形状是_； （2）如图 2，当 AO为BAC 的平分线时，求证 BD3AD； （3）在点 O的运动过程中，判断AOD形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDO的度数；若不可以，请说明理由 【答案】 （1）直角三角形； （2）见解析； （3）60 或 105

33、【解析】 【分析】 （1）结论：AOB 为直角三角形证明BAO=90 即可； （2）利用直角三角形的性质得到 AB=2OA，再利用三线合一得到BAO，求出ADO，得到 AD和 OA的关系，等量代换即可； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出BDO的度数即可 【详解】解： （1）结论：AOB 为直角三角形 理由：AB=AC，B=30 ， C=B=30 ， BAC=180 -30 -30 =120 ， ODAC，AOD=B=30 ， OAC=AOD=30 ， BAO=120 -30 =90 ， AOB是直角三角形； （2）在 RtABO 中，AOB=90 ，B=30 ， AB=2OA， A

34、B=AC，AOBC， BAO=90 -30 =60 ， AOD=B=30 ， ADO=180 -60 -30 =90 ， AD=12OA，即 OA=2AD， BD=AB-AD=2OA-AD=4AD-AD=3AD （3）AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下： 分三种情况： DA=DO时，OAD=AOD=30 ， BDO=OAD+AOD=60 ； OA=OD时，ODA=OAD=12（180 -30 ）=75 ， BDO=180 -75 =105 ； AD=AO时，ADO=AOD=30 ， OAD=120 =BAC，点 O 与 C重合，不合题意； 综上所述，BDO的度数为 60 或 105 【点睛

35、】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键 24. 如图，点 D、E分别在等边ABC 的边 AB、BC上，且 BDCE，CD，AE交于点 F （1）求AFD的度数； （2）如图 2，若 D，E，M，N 分别是ABC 各边上的三等分点，BM，CD 交于 Q若ABC 的面积为 S，则四边形 ANQF的面积为_； （只写出答案即可，不要求写解题过程） （3）如图 3，延长 CD到点 P，使BPD30 ，设 AFa，CFb，请用含 a，b的式子表示 PC的长，并说明理由 【答案】 （1）60 ； （2）13S； （3）a+2b

36、，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由等边三角形的性质 AB=AC=BC，ABC=ACE=BAC=60 ，且 BD=CE，可证BDCCEA，由三角形的外角性质可求AFD的度数； （2）由等边三角形的性质可得 BD=CE=AM=DN，且 AB=AC=BC，ABC=ACE=BAC=60 ，可证ABMCAEBCD和BDQCEF，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形 ANQF 的面积； （3）在 AC上截取 AM=CE，由题意可证BHCCFA，可得 BH=CF=b，AF=CH=a，PHB=60 ，即可求 PC的长 【详解】解： （1）ABC是等边三角形 AB=AC=BC，ABC=ACE=B

37、AC=60 ，且 BD=CE， BDCCEA（SAS） ， CAE=BCD， AFD=CAE+ACF=BCD+ACD=ACB， AFD=60 ； （2）D，E，M，N 分别是ABC各边上的三等分点， BD=CE=AM=DN，且 AB=AC=BC，ABC=ACE=BAC=60 ， ABMCAEBCD（SAS） ， CAE=ABM=BCD，AMB=AEC=BDC，且 BD=CE， BDQCEF（ASA） ， SBDQ=SCEF， BD=DN， SBDQ=SDNQ=SCEF， D，E 是 AB，BC 上三等分点， SBDC=SCEA=13SABC=13S， 四边形 ANQF的面积=SABC-SAEC

38、-SDNQ-S四边形DFEB=S-13S-13S=13S； （3）PC=a+2b 理由如下：如图，在 AC上截取 AM=CE，即 AM=CE=BD， AM=CE=BD，ABC=BAC=ACB=60 ，AB=AC=CB CBDACEBAM（SAS） ， CAE=BCD=ABM，且ABC=ACE， MBC=ACD，且 BC=AC，EAC=BCD， BHCCFA（ASA） ， BH=CF=b，AF=CH=a， PHB=MBH+HCB=ABM+MBC=ABC， PHB=60 ，且BPD=30 ， PBH=90 ，且BPH=30 ， PH=2BH=2b， PC=PH+HC=a+2b 【点睛】本题是三角形

39、综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键 25. 等腰 RtABC 中，ACB90 ，CACB，点 A、C 分别在 x 轴、y轴的正半轴上 （1）如图 1，求证：BCOCAO； （2）如图 2，若 OA5，OC2，求 B点的坐标； （3）如图 3，点 C（0，3） ，Q，A 两点均在轴上，且 SCOA18分别以 AC，CQ为腰在第一、第二象限作等腰 RtCAN、等腰 RtQCM，连接 MN交 y轴于 P 点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出 OP的值；若变化，求 OP的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）

40、（-2，-3） ； （3）不变，9 【解析】 【分析】 （1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点 B 作 BDy轴于 D，再判定CDBAOC（AAS） ，求得 BD=CO=2，CD=AO=5，进而得出OD=5-2=3，即可得到 B点的坐标； （3）先过 N作 NHCM，交 y轴于 H，再HCNQAC（ASA） ，得出 CH=AQ，HN=QC，然后根据点 C（0，3） ，SCQA=18，求得 AQ=12，最后判定PNHPMC（AAS） ，得出 CP=PH=12CH=6，即可求得OP=3+6=9（定值） 【详解】解： （1）如图 1，ACB=90 ，AOC=90 ， BCO+ACO=9

41、0 =CAO+ACO， BCO=CAO； （2）如图 2，过点 B作 BDy 轴于 D，则CDB=AOC=90 ， 在CDB和AOC 中， CDBAOCBCOCAOBCAC ， CDBAOC（AAS） ， BD=CO=2，CD=AO=5， OD=5-2=3， 又点 B 在第三象限， B（-2，-3） ； （3）OP 的长度不会发生改变 理由：如图 3，过 N作 NHCM，交 y 轴于 H， 则CNH+MCN=180 ， 等腰 RtCAN、等腰 RtQCM， MCQ+ACN=180 ， ACQ+MCN=360 -180 =180 ， CNH=ACQ， 又HCN+ACO=90 =QAC+ACO，

42、HCN=QAC， 在HCN和QAC 中， CNHACQCNACHCNQAC， HCNQAC（ASA） ， CH=AQ，HN=QC， QC=MC， HN=CM， 点 C（0，3） ，SCQA=18， 12 AQ CO=18，即12 AQ 3=18， AQ=12， CH=12， NHCM， PNH=PMC， 在PNH 和PMC 中， HPNCPMPNHPMCHNCM ， PNHPMC（AAS） ， CP=PH=12CH=6， 又CO=3， OP=3+6=9（定值） ， 即 OP的长度始终是 9 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质