5.4.2（第一课时）周期性与奇偶性 分层训练（含答案）

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1、5.4.25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第一课时第一课时 周期性与奇偶性周期性与奇偶性 一、选择题 1.下列函数中，周期为 2 的是( ) A.ysin x2 B.ysin 2x C.ysin x2 D.y|sin 2x| 答案 C 解析 ysin x2的周期为 T2124； ysin 2x 的周期为 T22； ysin x2的周期为 T2；y|sin 2x|的周期为 T2. 2.(多选题)下列关于 x 的函数 f(x)sin(x)的说法正确的是( ) A.对任意的 ，f(x)都是非奇非偶函数 B.存在 ，使 f(x)是偶函数 C.存在 ，使 f(x)是奇函数

2、D.对任意的 ，f(x)都不是偶函数 答案 BC 解析 当 0 时，f(x)sin x 是奇函数，故 A 错误，C 正确；当2时，f(x)cos x 是偶函数，D 错误，B 正确，故选 BC. 3.设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则函数 yf(x)的图象可能是( ) 答案 B 解析 由 f(x)f(x)， 则 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称. 由 f(x2)f(x)，则 f(x)的周期为 2，故选 B. 4.定义在 R 上的函数 f(x)周期为 ，且是奇函数，f41，则 f34的值为( ) A.1 B.1 C.0 D.2 答案 B 解析 f34 f4

3、f4f41. 5.设 f(x)是定义域为 R，最小正周期为32的函数，若 f(x)cos x，2x0，sin x，00)的最小正周期不大于 2，则正整数 k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 答案 D 解析 因为 T2k48k2，所以 k4， 又 kN*，所以正整数 k 的最小值为 13. 12.若函数 f(x)对于定义域内的任意 x 都有 f(mx)f(mx)， 则函数 f(x)关于直线_对称；若 f(x)sin 2xacos 2x 的图象关于直线 x8对称，则实数 a的值为_. 答案 xm 1 解析 根据函数的对称性可知，若 f(mx)f(mx)，则函数 f(x)

4、关于直线 xm对称.因为 f(x)的图象关于 x8对称，所以 f8x f8x ，即 f(x)f4x .令 x0，则 f(0)f4，所以 a1. 13.已知函数 f(x)sin2xcos x1cos x1. (1)求函数 f(x)的定义域并判断函数的奇偶性； (2)求函数 f(x)的最小正周期. 解 (1)由 cos x10，得 x2k，kZ，所以函数 f(x)的定义域为x|xR，x2k，kZ，f(x)sin2xcos x1cos x11cos2xcos x1cos x1 cos2xcos x2cos x1（cos x1）（2cos x）cos x1 2cos x. 因为 f(x)f(x)，且函

5、数 f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数 f(x)为偶函数. (2)因为 f(x)2cos x(x2k，kZ)，所以 f(x)的最小正周期为 2. 14.已知函数 y5cos2k13x6(其中 xN)，对任意实数 a，在区间a，a3上要使函数值54出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次，则 k 的值为_. 答案 2 或 3 解析 因为 5cos2k13x654，所以 cos2k13x6 14.因为函数 ycos x 在每个周期内出现函数值14的次数为 2 次，而区间a，a3长度为 3，为使长度为 3 的区间内出现函数值14的次数不少于 4 次且不多于 8次， 必须使区间长度不小于 2 个周期长度， 且不大于 4 个周期长度， 即 222k133 且 422k133，所以32k72.又 kZ，故 k2 或 3.