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1、第第 2 2 课时课时 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换( (二二) ) 课时对点练课时对点练 1. 3cos 15 4sin215 cos 15 等于( ) A.12 B.22 C1 D. 2 答案 D 解析 3cos 15 4sin215 cos 15 3cos 15 2sin 15 sin 30 3cos 15 sin 15 212sin 15 32cos 15 2sin(45 ) 2. 2.sin 8 3cos 82cos 22等于( ) A. 2 B1 C.22 D.12 答案 A 解析 sin 8 3cos 82cos 22212sin 8 32cos 82cos 222sin
2、8 60 2cos 222sin 682cos 22 2. 3若 3sin cos 105,则 cos3等于( ) A.105 B105 C.1010 D1010 答案 D 解析 3sin cos 232sin 12cos 2cos3105,cos31010. 4函数 f(x)sin xcos x 的一个对称中心是( ) A.2,0 B.4,0 C.2,0 D.4,0 答案 D 解析 因为 f(x)sin xcos x 2sinx4, 根据函数 yAsin(x)的对称中心特征可知,对称中心是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点,四个选项中只有当 x4时,f 40,即函数f(x)的一个对称中心为
3、4,0 . 5若 3sin xcos x4m,则实数 m 的取值范围是( ) A2,6 B6,6 C(2,6) D2,4 答案 A 解析 3sin xcos x4m, 32sin x12cos x4m2, sin 3sin xcos 3cos x4m2, cosx34m2. 1cosx31,14m21,2m6. 6(多选)已知函数 f(x)sin xcos xsin2x,则下列说法正确的是( ) Af(x)的最大值为 2 Bf(x)的最小正周期为 Cf(x)关于直线 x8对称 Df(x)在0,4上单调递增 答案 BCD 解析 f(x)12sin 2x1cos 2x2 12(sin 2xcos
4、2x)1222sin2x412, f(x)max2212212,最小正周期 T22. 当 x8时,sin2x41, 直线 x8为对称轴 当 x0,4时,2x44,4, f(x)在0,4上单调递增, 综上有 B,C,D 正确,A 不正确 7已知函数 f(x)2sin x3cos x,x1,x2R,则 f(x1)f(x2)的最大值是_ 答案 2 13 解析 因为 f(x)2sin x3cos x 13sin(x)其中tan 32, 所以 f(x)max 13,f(x)min 13, 因为 x1,x2R, 所以 f(x1)f(x2)的最大值为 f(x1)maxf(x2)min 13( 13)2 13
5、. 8.如图,扇形 OAB 的半径为 1,圆心角为2,若 P 为弧AB上异于 A,B 的点,且 PQOB 交OB 于点 Q,当POQ 的面积大于38时,POQ 的取值范围为_ 答案 6,3 解析 设POQ038, 得 sin 232.又 2(0, ), 3223, 则60 时,f(x)max|5m|8, 解得 m3; 当 m0 时,f(x)max|5m|8, 解得 m3. 14.如图,已知 OPQ 是半径为 5,圆心角为 (tan 2)的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形当矩形 ABCD 的周长最大时,BC 边的长为_ 答案 5 解析 由 tan sin cos 2,sin2
6、cos21,00)在0,上有两个零点,则 的取值范围为( ) A.116,176 B.116,176 C.53,83 D.53,83 答案 B 解析 f(x) 3sin xcos x2sinx6,由 x0, 又 0, 则可令 tx66,6, 又函数 y2sin t 在 t6,6上有两个零点,作图如下, 则 263,解得 116,176. 16.如图,有一块以点 O 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地,使其一边 AD 落在半圆的直径上,另两点 B,C 落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为 20 m. (1)如何选择关于点 O 对称的点 A, D 的位置, 可以
7、使矩形 ABCD 的面积最大, 最大值是多少? (2)沿着 AB,BC,CD 修一条步行小路从 A 到 D,如何选择 A,D 位置,使步行小路的距离最远? 解 (1)连接 OB,如图所示,设AOB, 则 ABOBsin 20sin ,OAOBcos 20cos ,且 0,2. 因为 A,D 关于点 O 对称, 所以 AD2OA40cos . 设矩形 ABCD 的面积为 S,则 SAD AB40cos 20sin 400sin 2. 因为 0,2, 所以当 sin 21, 即 4时,Smax400(m2) 此时 AODO10 2(m) 故当 A,D 距离圆心 O 为 10 2 m 时,矩形 ABCD 的面积最大,其最大面积是 400 m2. (2)由(1)知 AB20sin , AD40cos , 所以 ABBCCD40sin 40cos 40 2sin4, 又 0,2, 所以 44,34, 当 42,即 4时,(ABBCCD)max40 2, 此时 AODO10 2, 即当 A,D 距离圆心 O 为 10 2 m 时,步行小路的距离最远
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