2021年江苏省徐州市中考第二次质检数学试卷（含答案解析）

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1、2021 年江苏省徐州市中考数学第二次质检试卷年江苏省徐州市中考数学第二次质检试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 题，每小题题，每小题 3 分，共计分，共计 24 分分.） 14 的相反数是（ ） A4 B4 C D 2下列运算，正确的是（ ） Aa+a2a3 Baa2a C2a3a2a Da3a23a3 3以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A2，3，5 B3，3，6 C2，5，8 D4，5，6 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当

2、摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ） A不可能 B不太可能 C非常有可能 D一定可以 6点（3，2）在反比例函数 y上，则下列不可能在该函数图象上的点是（ ） A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（3，2） 7如图，O 为ABC 的外接圆，且 AB 为O 的直径，若 OCAC5，则 BC 长为（ ） A10 B9 C8 D5 8如图，点 P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 同侧作正方形 ACDP、正方形 PEFB，连接 DF、PF，已知 AB10，当PDF 的面积为 8 时，AP 的长为（ ） A2 B8 C2 或 8

3、D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 30 分分 94 是 的算术平方根 10想了解中央电视台开学第一课的收视率，适合的调查方式为 （填“普查”或“抽样调查”） 112020 年 12 月 17 日，嫦娥五号返回器携带月球样品从距离地球 384000 千米远的月球安全回家，标志着我国探月工程 “绕、 落、 回” 三步走规划如期完成 其中 384000 用科学记数法可表示为 12分解因式 m2+6m 13如图，点 B、C、D 在同一直线上，ABCE，若A55，ACB65，则1 为 14 如图， ABC 中， C90， BD 平分AB

4、C 交 AC 于点 D， 若 CD6， 则点 D 到 AB 的距离为 15二次函数 yx22x+3 图象的顶点坐标为 16九章算术是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长 30 步，其所在圆的直径是 16 步，则这块田的面积为 平方步 17如图，果农将苹果树种在正方形的果园为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种针叶树，根据图中规律，该果农计划种 100 棵苹果树，需要种针叶树的棵数为 18如图，等边ABC 的边长为 6，点 D 是 AB 上一动点，过点 D 作 D

5、EAC 交 BC 于 E，将BDE 沿着DE 翻折得到BDE，连接 AB，则 AB的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共计小题，共计 86 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： （1）|2|+20210 （2） 20（1）解方程组： （2）解不等式： 21小丽在家备战体育中考，增强自身免疫力抗击疫情，每天晚上进行 5 组 1 分钟跳绳训练，10 天成绩如下图 （1）扇形统计图中 a （2）补全条形统计图 （3）小丽的跳远成绩是跳绳平均成绩的 90%，小丽的跳远成绩是多少分？（精确到个位）

6、22如图，ABC 与DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且AD，ABDC （1）求证：ABEDCE； （2）当AEB50，求EBC 的度数？ 23一只箱子里共 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同 （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格 24甲、乙两公司各为希望工程捐款 20000 元，已知乙公司比甲公司人均多捐 20 元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各为多少元 25某公司设计的木制护栏如图 2，护栏俯视图的一部分如

7、图 1，m 是左侧主柱，两侧主柱之间有 11 根长方体栏杆，栏杆的截面是 5cm 的正方形（图中 a1，a2，a11），每两根栏杆之间的距离为 12.5cm，根据有关标准要求，栏杆间距不得大于 11cm，在不增加材料的前提下，能否通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求？说明理由 （1.41，1.73，2.24） 26将图 1、图 2、图 3 中的直角三角形、锐角三角形、四边形纸片分别裁剪成若干块，并分别拼成一个矩形，请画出裁剪线并画出拼接示意图 27如图 1，正方形 ABCD 中，点 P、Q 是对角线 BD 上的两个动点，点 P 从点 B 出发沿着 BD 以 1cm/s 的速度向点 D 运动；

8、点 Q 同时从点 D 出发沿着 DB 以 2cm 的速度向点 B 运动 设运动的时间为 xs， AQP的面积为 ycm2，y 与 x 的函数图象如图 2 所示，根据图象回答下列问题： （1）a （2）当 x 为何值时，APQ 的面积为 6cm2； （3）当 x 为何值时，以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点 28如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB60，AB2，将一张和ABC 一样大的纸片和ABC 重叠放置，点 E 是边 BC 上一点（不含点 B、C），将OCE 沿着 OE 翻折，点 C 落在点 P 处 （1）直接写出OBC、OCB 的数量关系是

9、（2）连接 DE，设OPE 的面积为 S1，ODE 的面积为 S2，在点 E 取遍边 BC 上每一点（除点 B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出 S1+S2的值； （3）分别连接 PD、PC，当点 P 与点 B 重合时，易知 POPCPEPD，当点 P 不与点 B 重合时，POPCPEPD 是否成立？请在图 3、图 4 中选一种情况进行证明 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 题，每小题题，每小题 3 分，共计分，共计 24 分分.） 14 的相反数是（ ） A4 B4 C D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为

10、相反数，0 的相反数是 0 即可求解 解：4 的相反数是 4 故选：B 2下列运算，正确的是（ ） Aa+a2a3 Baa2a C2a3a2a Da3a23a3 【分析】A：不能合并同类项； B：根据同底数的幂相乘法则； C：不能合并同类项； D：根据单项式的乘法 解：A：不能合并同类项，不合题意； B：原式a2，不合题意； C：不能合并同类项，不合题意； D：原式3a3，合题意 故选：D 3以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A2，3，5 B3，3，6 C2，5，8 D4，5，6 【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可 解：A、2+3

11、5，故不能构成三角形，故选项错误； B、3+36，故不能构成三角形，故选项错误； C、2+58，故不能构成三角形，故选项错误； D、4+56，故，能构成三角形，故选项正确 故选：D 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，不是是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 5有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停

12、在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ） A不可能 B不太可能 C非常有可能 D一定可以 【分析】根据转盘知只有 1 个奇数，而且袋子中 20 个里只有 6 个黑球，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小 解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件， 故选：B 6点（3，2）在反比例函数 y上，则下列不可能在该函数图象上的点是（ ） A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（3

13、，2） 【分析】直接把点 P（3，2）代入反比例函数 y求出 k 的值，进而可得出结论 解：点（3，2）在反比例函数 y上， k326， A、236，此点在该函数图象上，故本选项错误； B、2（3）6，此点在该函数图象上，故本选项错误； C、2（3）66，此点不在该函数图象上，故本选项正确； D、3（2）6，此点在该函数图象上，故本选项错误 故选：C 7如图，O 为ABC 的外接圆，且 AB 为O 的直径，若 OCAC5，则 BC 长为（ ） A10 B9 C8 D5 【分析】先根据圆周角定理判断出ABC 是直角三角形，再由勾股定理即可得出结论 解：AB 为O 的直径， ACB90 OCAC5

14、， AB2OC10， BC5 故选：D 8如图，点 P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 同侧作正方形 ACDP、正方形 PEFB，连接 DF、PF，已知 AB10，当PDF 的面积为 8 时，AP 的长为（ ） A2 B8 C2 或 8 D4 【分析】设 APx，则 BP10 x，根据正方形的性质可知 DPAPx，将PDF 的面积用 x 表示为一个等式，求出 x 值，即可求解 解：设 APx，则 BP10 x， 四边形 ACDP 和四边形 PEFB 都是正方形， DPAPx， SPDEDPBP8， 即x（10 x）8，解得 x2 或 x8， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题

15、共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 30 分分 94 是 16 的算术平方根 【分析】如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，由此即可求出结果 解：4216， 4 是 16 的算术平方根 故答案为：16 10想了解中央电视台开学第一课的收视率，适合的调查方式为 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”） 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似 解：想了解中央电视台开学第一课的收视率，适合的调查方式为抽样调查 故答案为：抽样调查 112020 年 12 月 17 日，嫦娥五号返回器携带月球样

16、品从距离地球 384000 千米远的月球安全回家，标志着我国探月工程“绕、落、回”三步走规划如期完成其中 384000 用科学记数法可表示为 3.84105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 384000 用科学记数法表示为 3.84105 故答案是：3.84105 12分解因式 m2+6m m（m+6） 【分析】直接提取公因式 m，进而分解因式得出答案 解：原式m（m+6） 故答案

17、为：m（m+6） 13如图，点 B、C、D 在同一直线上，ABCE，若A55，ACB65，则1 为 60 【分析】首先根据三角形内角和定理求得B 的度数，然后根据平行线的性质解答 解：A55，ACB65， B180556560， ABCE， 1B60 故答案为：60 14 如图， ABC 中， C90， BD 平分ABC 交 AC 于点 D， 若 CD6， 则点 D 到 AB 的距离为 6 【分析】过点 D 作 DEAB，垂足为 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 DECD，即可得解 解：如图，过点 D 作 DEAB，垂足为 E， C90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D， D

18、ECD， CD6， DE6 即点 D 到 AB 的距离为 6 故答案为：6 15二次函数 yx22x+3 图象的顶点坐标为 （1，2） 【分析】将二次函数解析式配方，写成顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解 解：yx22x+3（x1）2+2， 抛物线顶点坐标为（1，2） 故答案为：（1，2） 16九章算术是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长 30 步，其所在圆的直径是 16 步，则这块田的面积为 120 平方步 【分析】利用扇形面积公式即可计算的解 解：扇形的田

19、，弧长 30 步，其所在圆的直径是 16 步， 这块田的面积 S120（平方步）， 故答案为 120 17如图，果农将苹果树种在正方形的果园为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种针叶树，根据图中规律，该果农计划种 100 棵苹果树，需要种针叶树的棵数为 80 【分析】观察图形不难发现，苹果树的棵数为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第 n 个图形中的棵数的表达式，然后把相应的数代入解答即可 解：第 1 个图形中苹果树的棵数是 1，针叶树的棵数是 8， 第 2 个图形中苹果树的棵数是 422，针叶树的棵数是 1682， 第 3 个图形中苹果树的棵数是 932，针叶树

20、的棵数为是 2483， 第 4 个图形中苹果树的棵数为是 1642，针叶树的棵数是 3284， ， 第 n 个图形中苹果树的棵数是 n2，针叶树的棵数是 8n， 当有 100 棵苹果树时，即 n2100，解得：n10， 需要种针叶树的数量为：81080（棵） 故答案为：80 18如图，等边ABC 的边长为 6，点 D 是 AB 上一动点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于 E，将BDE 沿着DE 翻折得到BDE，连接 AB，则 AB的最小值为 3 【分析】过 B 作 DE 的垂直平分线，可得BDE 和BDE 都是等边三角形，进而可得当 B在 AC 上时，AB最小 解：如图， DEAC，ABC

21、 是等边三角形， BDE 是等边三角形，折叠后的BDE 也是等边三角形， 过 B 作 DE 的垂直平分线， BDBE，BDBE， BB都在 DE 的垂直平分线上， AB最小，即 A 到 DE 的垂直平分线的距离最小，此时 ABBB， ABAC63， 即 AB的最小值是 3 故答案为：3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共计小题，共计 86 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： （1）|2|+20210 （2） 【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根的概念、零指数幂计算； （2）根据分式的除法法则计

22、算即可 解：（1）原式22+11； （2）原式 20（1）解方程组： （2）解不等式： 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 解：（1）， 3+，得：11x11， 解得 x1， 将 x1 代入，得：3y1， 解得 y2， 方程组的解为； （2）解不等式，得：x3， 解不等式，得：x1， 则不等式组的解集为1x3 21小丽在家备战体育中考，增强自身免疫力抗击疫情，每天晚上进行 5 组 1 分钟跳绳训练，10 天成绩如下图 （1）扇形统计图中 a 46 （2）补全条形统计图 （3）小

23、丽的跳远成绩是跳绳平均成绩的 90%，小丽的跳远成绩是多少分？（精确到个位） 【分析】（1）用 1 分别减去 6 分，7 分，8 分，9 分所占的百分率即可； （2）用“10 分”的人数它所占的比例求出总天数，再乘“8 分”所占的比例即可求出“8 分”的天数，再补全条形统计图即可； （3）求出跳绳平均成绩，再乘 90%即可 解：（1）14%8%6%36%46%， a46， 故答案为：46； （2）总天数为：2346%50（天）， “8 分”的天数为：506%3（天）， 补全条形统计图如下： （3）小丽的跳绳平均成绩为：（26+47+38+189+2310）509.12（分）， 小丽的跳远成绩是

24、：9.1290%8.208（分） 22如图，ABC 与DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且AD，ABDC （1）求证：ABEDCE； （2）当AEB50，求EBC 的度数？ 【分析】（1）根据 AAS 即可推出ABE 和DCE 全等； （2） 根据三角形全等得出 EBEC， 推出EBCECB， 根据三角形的外角性质得出AEB2EBC，代入求出即可 【解答】（1）证明：在ABE 和DCE 中 ABEDCE（AAS）； （2）解：ABEDCE， BEEC， EBCECB， EBC+ECBAEB50， EBC25 23一只箱子里共 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同 （

25、1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）因为箱子里共 3 个球，其中 2 个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是； （2）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为 2， 所以两次摸出的球都是白球的概率 24甲、乙两公司各为希望工程捐款 20000 元，已知乙公司比甲公司人均

26、多捐 20 元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各为多少元 【分析】本题的等量关系是：甲公司的人均捐款+20乙公司的人均捐款根据这个等量关系可得出方程求解 解：设甲公司人均捐款 x 元，则乙公司人均捐款 x+20 元， 根据题意得： 解得：x80 经检验 x80 是原方程的根， 故 x+2080+20100 元， 答：甲公司人均捐款 80 元，乙公司人均捐款 100 元 25某公司设计的木制护栏如图 2，护栏俯视图的一部分如图 1，m 是左侧主柱，两侧主柱之间有 11 根长方体栏杆，栏杆的截面是 5cm 的正方形（图中 a1，a2，a11），每两根栏杆之间的距离为 12.5

27、cm，根据有关标准要求，栏杆间距不得大于 11cm，在不增加材料的前提下，能否通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求？说明理由 （1.41，1.73，2.24） 【分析】由题意得，两主柱之间的距离为 12.512+115205（cm），将栏杆对角线和护栏平行安装即可 解：能通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求，理由如下： 如图，将栏杆对角线和护栏平行安装， 两主柱之间的距离为 12.512+115205cm， 栏杆的对角线长是 551.417.05（cm）， 这样安装每两根栏杆之间的距离为10.62（cm）11cm， 能通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求 26将图 1、图 2、图 3 中的直角

28、三角形、锐角三角形、四边形纸片分别裁剪成若干块，并分别拼成一个矩形，请画出裁剪线并画出拼接示意图 【分析】利用矩形的对角线把矩形分成 4 个等腰三角形，构造四个等腰三角形即可 解：裁剪线如图所示，矩形如图所示 27如图 1，正方形 ABCD 中，点 P、Q 是对角线 BD 上的两个动点，点 P 从点 B 出发沿着 BD 以 1cm/s 的速度向点 D 运动； 点 Q 同时从点 D 出发沿着 DB 以 2cm 的速度向点 B 运动 设运动的时间为 xs， AQP的面积为 ycm2，y 与 x 的函数图象如图 2 所示，根据图象回答下列问题： （1）a 9 （2）当 x 为何值时，APQ 的面积为

29、 6cm2； （3）当 x 为何值时，以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点 【分析】（1）由题意可得 Q 运动 3s 达到 B，即得 BD6，可知 ABAD3，从而 aABAD9； （2）连接 AC 交 BD 于 O，可得 OAACBD3，根据APQ 的面积为 6，即得 PQ4，当 P 在Q 下面时，x，当 P 在 Q 上方时，Q 运动 3s 到 B，x4； （3） 当 x0 时， B 与 P 重合， D 与 Q 重合， 此时以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点，当 Q 运动到 BD 中点时，以 PQ 为直径的圆与 AQ 相切，与APQ 的边有且只有三个公共点，

30、x，当P、Q 重合时，不构成三角形和圆，此时 x2，当 Q 运动到 B，恰好 P 运动到 BD 中点，x3，以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点，即可得到答案 解：（1）由题意可得：Q 运动 3s 达到 B， BD326， 四边形 ABCD 是正方形， ABAD3， aABAD9， 故答案为：9； （2）连接 AC 交 BD 于 O，如图： 四边形 ABCD 是正方形， ACBD，OAACBD3， APQ 的面积为 6， PQOA6，即PQ36， PQ4， 而 BPx，DQ2x， 当 P 在 Q 下面时，6x2x4， x， 当 P 在 Q 上方时，Q 运动 3s 到 B，此时

31、PQ3， x4 时，PQ4，则APQ 的面积为 6； 综上所述，x或 x4； （3）当 x0 时，如图： B 与 P 重合，D 与 Q 重合，此时以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点， 当 Q 运动到 BD 中点时，如图： 此时 x，以 PQ 为直径的圆与 AQ 相切，故与APQ 的边有且只有三个公共点， 当 P、Q 重合时，如图： 显然不构成三角形和圆，此时 x2， 当 Q 运动到 B，恰好 P 运动到 BD 中点，如图： 此时 x3，以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点， 综上所述，以 PQ 为直径的圆与APQ 的边有且只有三个公共点，x0 或x2 或 2x

32、3 28如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB60，AB2，将一张和ABC 一样大的纸片和ABC 重叠放置，点 E 是边 BC 上一点（不含点 B、C），将OCE 沿着 OE 翻折，点 C 落在点 P 处 （1）直接写出OBC、OCB 的数量关系是 OBCOCB （2）连接 DE，设OPE 的面积为 S1，ODE 的面积为 S2，在点 E 取遍边 BC 上每一点（除点 B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出 S1+S2的值； （3）分别连接 PD、PC，当点 P 与点 B 重合时，易知 POPCPEPD，当点 P 不

33、与点 B 重合时，POPCPEPD 是否成立？请在图 3、图 4 中选一种情况进行证明 【分析】（1）由矩形的性质可以证明 OBOC，则OBCOCB； （2） 由折叠的性质可得 SOPESOCE， 由等底等高的三角形的面积相等可得 SODESOBE， 可证明 S1+S2SOBC，则 S1+S2的值不变，由 SBOCSABC可求出 S1+S2的值； （3）当点 P 与点 B 不重合时，POPCPEPD 仍然成立，由三角形内角和定理导出PODPEC，证明PODPEC，即可证得结论 解：（1）如图 1，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， OCOAAC，OBODBD，且 ACBD，

34、OCOB， OBCOCB， 故答案为：OBCOCB （2）S1+S2的值不变， 如图 2，由折叠得OPEOCE， SOPESOCE， ODOB， ODE 与OBE 等底等高， SODESOBE， S1+S2SOPE+SODESOCE+SOBESOBC， OAOB，AOB60， AOB 是等边三角形， BAC60， ABC90，AB2， BCABtan602， SABC222， 同理可得 SBOCSBOASABC2， S1+S2 （3）当点 P 与点 B 重合时，如图 5，则 OEBC， BEOBCD90， OEDC， BOEBDC， ， BOBCBEBD， 即 POPCPEPD 当点 P 与点

35、 B 不重合时，POPCPEPD 仍然成立 如图 3，点 P 与点 C 在 BD 的同侧， CODAOB60， POD60+POC， ABC90，BAC60， OCE30， 由折叠得OPEOCE30， EPC+ECP180OPEOCEPOC1803030POC120POC， PEC180（EPC+ECP）180（120POC）60+POC， PODPEC， OPOCOD，EPEC， ， PODPEC， ， POPCPEPD； 如图 4，点 P 与点 C 在 BD 的异侧， 则PODPOCCODPOC60， OPC+OCP180POC，OPEOCE30， PEC180（OPC+OCP）OPEOCE180（180POC）3030POC60， PODPEC， 同理可得， PODPEC， ， POPCPEPD