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1、2.3.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 一、选择题 1.点(2,5)到直线 y2x 的距离为( ) A.55 B.2 55 C.3 55 D. 5 答案 A 解析 直线y2x可化为2xy0, 由点到直线的距离公式得|225|22(1)21555. 2.两平行线分别经过点 A(3,0),B(0,4),它们之间的距离 d 满足的条件是( ) A.0d3 B.0d5 C.0d4 D.3d5 答案 B 解析 当两平行线与 AB 垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|5,所以 01), 则图中 A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(
2、0,b). |AD| 2,|BC| 2b. 梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2的距离, 故 h|10b|2|b1|2b12(b1), 由梯形面积公式得2 2b2b124, b29,b 3.又 b1,b3. 从而得到直线 l2的方程是 xy30. 10.已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点, (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0, 即(2)x(12)y50, 点 A(5,0)到 l 的距离为 3, |1055|(2)2(12)23.
3、 即 22520,2,或 12, l 的方程为 x2 或 4x3y50. (2)由2xy50,x2y0解得x2,y1,所以交点P的坐标为(2, 1),如图, 过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离,则 d|PA| (当 lPA 时等号成立). dmax|PA| 10. 11.(多选题)已知在ABC 中,A(3,2),B(1,5),点 C 在直线 3xy30 上.若ABC 的面积为 10,则点 C 的坐标可以为( ) A.(1,0) B.53,8 C.(1,6) D.53,2 答案 AB 解析 由|AB|5,ABC 的面积为 10,得点 C 到直线 AB 的距离为 4.设 C(
4、x,3x3),利用点到直线的距离公式可求得 x1 或 x53.故点 C 坐标为(1,0)或53,8 . 12.若直线 l1:2xmy10 与直线 l2:y3x1 平行,则 m_,此时直线 l1与 l2之间的距离为_. 答案 23 104 解析 直线 l1:2xmy10 与直线 l2:y3x1 平行, 2m3,m23, 故直线 l1:6x2y30,直线 l2:6x2y20. 则直线 l1与 l2之间的距离为|3(2)|62(2)2104. 13.已知实数 x,y 满足关系式 xy10,求式子 S x2y22x2y2的最小值. 解 法一 x2y22x2y2(x1)2(y1)2, 上式可看成是一个动
5、点 M(x,y)到一个定点 N(1,1)距离的平方, 即为点 N 与直线 l:xy10 上任意一点 M(x,y)距离的平方. S|MN|的最小值应为点 N 到直线 l 的距离,即 |MN|mind|111|23 22. 法二 xy10,yx1, S x2(x1)22x2(x1)2 2x22x5 2x12292, x12时,Smin923 22. 14.已知 10 条直线. l1:xyc10,c1 2, l2:xyc20, l3:xyc30, l10:xyc100,其中 c1c2c10. 这 10 条直线中,每相邻两条直线之间的距离依次为 2,3,4,10.求: (1)c10; (2)xyc100 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积. 解 (1)原点 O 到 l1的距离为 d1|00 2|12(1)21, 原点 O 到 l2的距离为 d212, 原点 O 到 l3的距离为 d3123, 原点 O 到 l10的距离为 d101231055. 因为 d10c102,所以 c1055 2. (2)由(1)知,直线 l10的方程为 xy55 20,其与 x 轴交于点 M(55 2,0),与 y 轴交于点 N(0, 55 2), 则OMN 的面积为 SOMN12|OM|ON|12(55 2)23 025.
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