2021-2022学年浙教版八年级上数学期末考点题：等腰三角形问题（含答案解析）

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1、2021-2022学年浙教版八年级上数学期末考点题：等腰三角形问一、单选题1（2021·浙江·乐清市芙蓉镇中学八年级期末）如图所示，边长为2的等边三角形中，点在边上运动（不与、重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，点在边上从至的运动过程中，周长变化规律为（ ）A不变B一直变小C先变大后变小D先变小后变大2（2021·浙江莲都·八年级期末）ABC中，A=90°，B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（ ）A4B3C6D233在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放点从原点出发，沿

2、着“”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（ ）ABCD4（2021·浙江下城·八年级期末）在ABC中，BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ( )A若AC=2AB，则C=30°B若AC=2AB，则3BD=2CDC若B=2C，则AC=2ABD若B=2C，则SABD=2ACD5（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，将图1中的等腰直角三角形纸片，依次沿着折痕翻折，得到图2中的五边形如图2中，恰好落在线段上，交于点，则等腰直角三角形的直角边的长为（ ）

3、ABCD6如图，在中，点D、E都在边上，若，则的长是（ ）A1BCD7（2021·浙江温岭·八年级期末）如图有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图中两张纸片的长度之比（ ）ABCD8在中，点D为中点，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：；始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）ABCD9（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，在等腰中，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，下面的结论：；是正三角形；，其中正确的个数是（ ）A1

4、个B2个C3个D4个二、填空题10（2021·浙江·温州市第二十一中学八年级期末）如图，RtABC中，ACB90°，AC15，BC20，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，那么线段BF的长为_11等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_12如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM的周长的最小值为_13如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且

5、，过点作直线与轴负半轴交于点.已知点关于直线的对称点为，连结，并延长交轴于点.当时，则点的坐标为_.14（2021·浙江江干·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若，则_，_15（2021·浙江镇海·八年级期末）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把BDC沿BD翻折，得到BDC，DC与AB交于点A，连接AC，若ADAC4，BD6，则点D到BC的距离为_16在等腰中，为线段上一点，若_17（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期末）如图，已知等

6、腰ABC中，AB=AC=5，BC=8，E是BC上的一个动点，将ABE沿着AE折叠到ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当DEF是等腰三角形时，BE的长是_18如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，连接分别交，于H，G下列结论：图中有8个等腰三角形；其中正确的有_（填序号）19（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M若m（m1），则的值为_（用含m的代数式表示）20（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）已知：在

7、平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线yx+与x轴、y轴分别交于B、C两点四边形ABCD为菱形，连接AC，点P为ACD内一点，且APB60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BFAE，连接AF，EF，若AFE30°，则AF2+EF2的值为_三、解答题21如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒出发秒后，求的周长问满足什么条件时，为直角三角形？另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？22（2021·浙江杭州

8、83;八年级期末）（1）问题发现与探究：如图（1），ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CMAE于点M，连接BD，则线段AE、BD之间的大小关系是_，ADB=_°，并说明理由求证：AD=2CM+BD（2）问题拓展与应用：如图（2），等腰RtABC中，ACB=90°，过点A作直线，在直线上取点D，ADC=45°，连结BD，BD=1，AC=，请在图（2）中画出图形并求出点C到该直线的距离23如图，已知（1）求的面积；（2）在轴上是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点所有可能的坐标，若不存在，请说明理由

9、；（3）如果在第二象限内有一点，且过点作轴于，请用含的代数式 表示梯形的面积，并求当与面积相等时的值？24（2021·浙江柯桥·八年级期末）如图，在RtABC中，CACB，M是AB的中点，点 D 在 BM 上，AECD，BFCD，垂足分别为 E，F，连接 EM则下列结论中： BFCE； AEMDEM；AECE2ME；DE2DF22DM2； 若AE平分BAC，则EF：BF：1； 正确的有_（只填序号） 25（2021·浙江新昌·八年级期末）如图1，已知，点D是射线上的动点，延长至点E，使得，连结，过点D作，交的垂直平分线于点F，连结，探究与的关系下面是小明

10、遵循老师平时说的“一般问题特殊化入手研究”的思路所做的探究活动请你根据小明的探究思路，回答下列问题探究1如图2小明先探究点D与点C重合，延长至点G，使得，连结，发现一些全等三角形，如：等，从而发现请证明：探究2当点D与点C不重合时，猜想与的关系，并说明理由探究3小明由角度的关系联想到了线段之间的关系，当时，探究线段与的数量关系26（2021·浙江江干·八年级期末）如图，在中，（1）求BC边上的高线长；（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将折叠得到，连接PA、PE、PF如图2，当时，求AP的长；如图3，当点P落在BC上时，求证：27（2021·

11、;浙江瑞安·八年级期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交直线于点，点为线段上一点，作轴，轴，延长交直线于点，记，（1）求点的坐标（2）求关于的函数关系式（3）记点关于直线对称点，连结，当为等腰三角形时，求的值记直线交轴于点，若，则的取值范围为_28（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，线段与交于O，E，F，G分别是，中点（1）如图1，当时，与的数量关系是_，_；如图2当时，与的数量关系是_，_；（2）如图3，当时，与的数量关系是_，_；（3）请你证明图3的结论29在等腰直角三角形中，点M为射线上一个动点过点M作，交射线于E，将线段绕点B逆时针旋转得

12、到线段，过点N作交延长线于点F，连接（1）如图1，当点M在边上时，线段的数量关系为_；（2）如图2，当点M在射线上时，判断线段的数量关系并说明理由；（3）当点M在射线上运动时，能否存在为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长30（2021·浙江镇海·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知，点，点落在第二象限，点是轴正半轴上一动点，（1）如图1，当时，将沿着直线翻折，点落在第一象限的点处若轴，求点的坐标；如图2，当点运动到中点时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由；如图3，在折叠过程中，是否存在点，使得是以为腰的等暖三角形若存在，求出对应点的坐标若不存在请说

13、明理由；（2）如图4，将沿着翻折得到(点的对应点为点)，若点到轴的距离不大于，直接写出的取值范围（不需要解答过程)2021-2022学年浙教版八年级上数学期末考点题：等腰三角形问一、单选题1（2021·浙江·乐清市芙蓉镇中学八年级期末）如图所示，边长为2的等边三角形中，点在边上运动（不与、重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，点在边上从至的运动过程中，周长变化规律为（ ）A不变B一直变小C先变大后变小D先变小后变大【答案】D【分析】先证明BEDCDF，得到BED周长是BE+BD+AD=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD，由此求解即可得到答案【详解】解：AD=DE=

14、DF，BED=BAD，DAC=DFC，ABC是等边三角形，BAC=ABC=ACB=60°BED+BDE=ABC=60°（三角形外角定理）即BAD+BDE=60°又BAD+DAC=60°，BDE=DAC，BDE=DFC，DBE=180°-ABC，FCD=180°-ACBDBE=FCD在BED中CDF中BEDCDF（AAS），BE=CDBED周长是BE+BD+DE，DE=ADBED周长是BE+BD+AD=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD影响BED周长的是AD，又AD在变化过程中会经历一个由大变小在变大的过程，在ADBC时有最小值BE

15、D周长变化规律为先变小在变大故选D【点睛】本题考查了三角形的外角的性质和全等三角形的判定以及三角形周长等相关知识点，能够熟练的运用三角形外角和定理求得证全等所需要的对应角很关键.2（2021·浙江莲都·八年级期末）ABC中，A=90°，B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（ ）A4B3C6D23【答案】C【分析】过点C作射线CE，使BCE=30°，再过动点D作DFCE，垂足为点F，连接AD，在RtDFC中，DCF=30°，DF=DC，2AD+DC=2（AD+DC）=2（AD+DF）当A，D，F在同一直

16、线上，即AFCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长【详解】解：过点C作射线CE，使BCE=30°，再过动点D作DFCE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在RtDFC中，DCF=30°，DF=DC，2AD+DC=2（AD+DC）=2（AD+DF），当A，D，F在同一直线上，即AFCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，B=ADB=60°，ABD是等边三角形，AD=BD=AB=2，在RtABC中，BAC=90°，B=60°，AB=2，BC=4，DC=2，DF=DC=1，AF=AD+DF=2+1=3，2（AD+DF）

17、=2AF=6，2AD+DC的最小值为6，故选：C【点睛】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题3在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放点从原点出发，沿着“”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（ ）ABCD【答案】A【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可【详解】解：由题意知，A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1）

18、，A4（4，0），A5（5，-1），A6（6，0），A7（7，1），由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，-1，0这样循环，A2020（2020，0），故选：A【点睛】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在4（2021·浙江下城·八年级期末）在ABC中，BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ( )A若AC=2AB，则C=30°B若AC=2AB，则3BD=2CDC若B=2C，则AC=2ABD若B=2C，则SABD=2ACD【答案】B【分析】根据直角三角形30°角所对边是斜

19、边的一半，可得BC=2ABAC，从而可判断选项A、C；作AEBC，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D【详解】解：由题，BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，A.若AC=2AB，则，若C=30°，BC=2AB，故A错误；B. 若AC=2AB，则，作AEBC，则，可得，AD=AB，3BD=2CD，故B正确；C. 若B=2C，BAC=90°，B+C=90°，C=30°，B=60°，BC=2AB，AC2AB，故C错误；D.

20、若B=2C，由选项C可得C=30°，B=60°，AD=AB，ABD为等边三角形，ADB=60°，DAC=ADB-C=30°=C，AD=DC=BD，即AD为ABC的中线，SABD=SACD，故D错误故选：B【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键5（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，将图1中的等腰直角三角形纸片，依次沿着折痕翻折，得到图2中的五边形如图2中，恰好落在线段上，交于点，则等腰直角三角形的直角边的长为（ ）ABCD【答案

21、】C【分析】延长AD交直线EG于点B，延长AF，交直线EG于点C，首先根据折叠的性质证明四边形为菱形，同理得和四边形为菱形，根据菱形的性质得出，再判定和为等腰直角三角形，利用勾股定理求出和，即可得出，在中，利用勾股定理求出AD的长，用即可求出答案【详解】如图，延长AD交直线EG于点B，延长AF，交直线EG于点C，由折叠得：， DFBC， ，四边形为平行四边形，又，平行四边形为菱形，同理得：，又，DFEG，,，即，在中， ，又，在中， ，在中， ，故选：C【点睛】本题考查翻折变换，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三

22、角形的判定与性质6如图，在中，点D、E都在边上，若，则的长是（ ）A1BCD【答案】C【分析】由等腰直角三角形性质和勾股定理求出，根据旋转的性质得出，求出，证，由全等三角形的性质可得，设，则，根据，列方程，求出即可【详解】解：中，把绕点旋转到，使和重合，连接则，在和中，FBD=45°+45°=90°，设，则，x，故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键7（2021·浙江温岭·八年级期末）如图有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图所示，先将点与

23、点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图中两张纸片的长度之比（ ）ABCD【答案】D【分析】通过证明，结合折叠的性质，确定是等边三角形，然后再证明，得到，在中，因为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，设，则，则，再求即可【详解】解：如图，由题意可知，由折叠过程可知，是等边三角形，在中，设，则，故选：D【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形等知识点，理解题中的折叠过程，找到对应边的关系，能确定是等边三角形是解题的关键8在中，点D为中点，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：；始终为等腰直角三角形，其

24、中正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论【详解】解：连接，点为中点，在和中，始终为等腰直角三角形，正确的有故选D【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键9（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，在等腰中，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，下面的结论：；是正三角形；，其中正确的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】由题意易得OB=OC，则有OBD=OCD，APO=OCP，进

25、而根据角的关系可证，然后可得PBO=PBA+APO，由三角形内角和可得OPB=60°，可判断，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，APE=60°，进而可证BPEOPA，然后根据全等三角形的性质可判断，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断【详解】解：，BD=DC，ACB=ABC=30°，OB=OC，OBD=OCD，OB=OP，OC=OP，APO=OCP，OCP-OCB=ACB=30°，故正确；OP=OB，OPB=PBO，PBO=PBA+ABD+OBC=PBA

26、+30°+APO-30°，PBO=PBA+APO，在ABC中，BAC+ABC+ACB=180°，即OPB+APO+PBA+ABC+ACB=180°，2OPB+60°=180°，OPB=60°，BPO是正三角形，故正确；在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：PAE=60°，PAE是等边三角形，AP=PE=AE，APE=60°，BPE=APB-APE，OPA=APB-BPO，BPE=OPA，OP=BP，BPEOPA（SAS），BE=AO，AB-BE=AE，AB-OA=AP，故正确；延长AO，在A

27、O的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，ABF是等边三角形，ABF=60°，ABO+OBF=60°，ABO+PBA=60°，PBA=OBF，PB=OB，AB=BF，APBFOB（SAS），如要证，需证，由题意无法证明，故错误；所以正确的个数有3个；故选：C【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键二、填空题10（2021·浙江·温州市第二十一中学八年级期末）如图，RtABC中，ACB90°

28、;，AC15，BC20，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，那么线段BF的长为_【答案】4【分析】首先由RtABC中，ACB90°，AC15，BC20，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由 折叠得ECF是等腰直角三角形，然后由三角形的面积公式，求得CE的长，继而求得DF的长，再利用勾股定理求得答案【详解】解：根据折叠的性质可知：CDAC15，BCBC20，ACEDCE，BCFBCF，CEAB，BD20155，DCE+BCFACE+BCF，ACB90°，ECF45°

29、，ECF是等腰直角三角形，EFCE，EFC45°，BFCBFC135°，BFD90°，SABCACBCABCE，ACBCABCE，根据勾股定理求得AB25，CE12，EF12，EDAE9，DFEFED3，BF4故答案为：4【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质得出ECF是等腰直角三角形是本题的关键11等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_【答案】115°或65°【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可【详解】解：如图1，当等腰三角形的

30、顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°=115°；如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°-25°=65°.故答案为115°或65°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况，同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.12如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一

31、动点，则CDM的周长的最小值为_【答案】9【分析】连接AD，AM，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DMAD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论【详解】连接AD，MAABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABCBCAD×6×AD18，解得AD6，EF是线段AC的垂直平分线，点A关于直线EF的对称点为点C，MAMC，MC+DMMA+DMAD，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短（

32、CM+MD）+CDAD+BC6+×66+39故答案为9【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DMAD是解决此题的关键.13如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且，过点作直线与轴负半轴交于点.已知点关于直线的对称点为，连结，并延长交轴于点.当时，则点的坐标为_.【答案】【分析】先根据已知条件得出B的坐标(12,16)，然后根据等腰三角形和勾股定理得出E点坐标(4,0)，利用待定系数法可求得直线BD的解析式，即可求出D点坐标.【详解】作BFOC,垂足为F，B(12,16)ABOCABE=B

33、EC关于直线的对称点为ABE=EBCBEC=EBCBC=EC=20在RtBFC中 EF=20-12=8OE=12-8=4E(4,0)设直线BD的解析式为y=kx+b，把点B，E代入解析式得 解得 直线BD的解析式为 ；所以D；故答案：【点睛】本题考查了一次函数的解析式及交点、位置、勾股定理、对称等问题，掌握一次函数解析式和交点及找出等腰三角形是解题的关键.14（2021·浙江江干·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若，则_，_【答案】60° 10 【分析】如图，在BE上取点F，使F

34、CE60°，连接CD，设CP与AD交于点H，证CBFCAE，再证CFE是等边三角形，可推出CEF60°，即可求解；由BFAEED，CFE是等边三角形， CEEF，即可推出结论2AECEBD，进而即可求解【详解】解：如图，在BE上取点F，连接CF，使FCE60°，连接CD，设CP与AD交于点H，ABC是等边三角形，ACB60°，ACBC，ACBACFFCEACF，即BCFACE，点A与点D关于PC对称，PC垂直平分AD，则EAED，CACD，EADEDA，CADCDA，CADEADCDAEDA，即CAECDE，BCACCD，CBFCDE，CBFCAE，CB

35、FCAE（ASA），CFCE，又FCE60°，CFE是等边三角形，CEF60°，即=60°CBFCAE，BFAE，又AEED，BFAEED，CFE是等边三角形，CEEF，BFEFEDBD，2AECEBD，BD=10【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称变换，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够结合图形的变换作出合适的辅助线，构造全等三角形15（2021·浙江镇海·八年级期末）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把BDC沿BD翻折，得到BDC，DC与AB交于点A，连接AC，若ADAC4，BD6，则点D到BC的距离为_【答案】

36、【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DHBC'于点H，由翻折知，BDCBDC'，BD垂直平分CC'，证ADC'为等边三角形，利用含30°直角三角形的性质求出DM2，C'MDM2，BM4，在RtBMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DHBC'于点H，ADAC4，D是AC边上的中点，DCAD4，由翻折知，BDCBDC'，BD垂直平分CC'，DCDC'4，BCBC'

37、，CMC'M，ADACDC'4，ADC'为等边三角形，ADC'AC'DC'AC60°，DCDC'，DCC'DC'C×60°30°，在RtC'DM中，DC'C30°，DC'4，DM2，由勾股定理可得C'MDM2，BMBDDM624，在RtBMC'中，BC'，BC'DHBDC'M，2×DH6×2，DH，DCBDBC'，点D到BC的距离为故答案为：【点睛】本题主要考查折叠的性质、等边三角形

38、的和判定性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握上述知识是解题的关键16在等腰中，为线段上一点，若_【答案】4或1【分析】分三种情况：当AB=AC=5时，如图1，当AB=BC=5时，如图2，当AC=BC时，如图3，分别根据勾股定理和等腰三角形的性质求CD的长即可【详解】解：分三种情况：当AB=AC=5时，如图1，ADBC，ADC=90°，BD=DC，在RtADC中，由勾股定理得：DC=4，当AB=BC=5时，如图2，ADBC，ADB=ADC=90°，同理得：BD=4，DC=5-4=1，当AC=BC时，如图3，同理得：BD=4，设CD=x

39、，则AC=x+4，由勾股定理得：（x+4）2=x2+32，8x=-7，x=（不符合题意，舍），综上所述，DC的长为4或1；故答案为：4或1【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理，根据已知不确定腰的情况下，分三种情况进行讨论解决问题，并与勾股定理相结合解题的关键17（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期末）如图，已知等腰ABC中，AB=AC=5，BC=8，E是BC上的一个动点，将ABE沿着AE折叠到ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当DEF是等腰三角形时，BE的长是_【答案】或或【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF利用等腰三角形的

40、性质和全等三角形解题【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，当DE=DF时，如图1，此时DE=DF=BE=CF，AB=AC，B=C，在ABE和ACF中， ABEACF，AE=AF，AD垂直平分EF，EH=FH，设，则，则在直角DHE中，解得，当DE=EF时，如图2，作AHBC于H，连接BD，延长AE交BD于N，可知BE=DE=EF，AHBC，AB=AC，BC=8BH=CH=4，设，则，即AB=AD，BAN=DAN，ANBD，BN=DN，在AHE和BNE中， AHEBNE，AE=BE，设，则，在直角AEH中，解得，当DF=EF时，如图3，过A作AHBC于H，延长AF

41、交DC于M，同理故答案为：或或【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键18如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，连接分别交，于H，G下列结论：图中有8个等腰三角形；其中正确的有_（填序号）【答案】【分析】根据正方形的性质及等腰三角形的判定，可得出图中共有9个等腰三角形；根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BDCE，无法证出G为CE的中点；由SAS可证明GHCDGE；由上述推理可得，DBGGDE，再根据三角形的面积等于相似比的平方可得结论【详解】解：如图，在正方形中，和是等腰三角形；，和是等腰三角形；，

42、和是等腰三角形；，是等腰三角形，且，和是等腰三角形，综上，图中共有9个等腰三角形；故不正确；正方形，四边形是平行四边形，要使，只要为的中点即可，且，即和不全等，点不是中点，错误由分析可知，在和中，；故正确；如图，过点作交的延长线于点，交AF于N，设NG=x，则MG=1-x，CDE为等腰三角形，DCE=DEC=45°，可得CGM为等腰直角三角形，CM=1-x，CG=，设正方形ABCD的边长为1，则BC=DE=1，BD=DF=CE=，BCG为等腰三角形，解得：，故正确；综上，正确故答案为：【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质与判

43、定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键19（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M若m（m1），则的值为_（用含m的代数式表示）【答案】【分析】根据折叠的性质得到AE=BE，AB=BG，AH=HG，A=BGH=90°，证明HGM是等边三角形，设AB=1，BC=m，利用勾股定理求出EM，求出MG，GF的长，即可得到比值【详解】解：由第一次折叠可知：AE=BE，由第二次折叠可知：AB=BG，AH=HG，A=BGH=90°，BG=2BE，BGE=30°，EBG=60°，ABH