中考数学全效大一轮总复习课件:第28课时 矩形菱形正方形(全国通用版)
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1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第八章第八章 四边形四边形 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2828课时课时 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1矩形矩形 定定 义:有一个角是义:有一个角是 的平行四边形叫做矩形的平行四边形叫做矩形 性性 质:质:(1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是 ; (2)矩形的对角线矩形的对角线 注注 意:意:(1)矩形的定义可作为性质;矩形的定义可作为性质; (2)矩形具备平行四边形的所有性质矩形具备平行四边形的所有性质 直角直角
2、直角直角 相等且互相平分相等且互相平分 首 页 末 页 判判 定:定:(1)有三个角是直角的四边形是有三个角是直角的四边形是 ; (2)对角线相等的平行四边形是对角线相等的平行四边形是 注注 意:意:矩形的定义可作为判定矩形的定义可作为判定 证明方法:证明方法:(1)先证明一个四边形是平行四边形,再证明它有一个角是直角;先证明一个四边形是平行四边形,再证明它有一个角是直角; (2)先证明一个四边形是平行四边形,再证明它的对角线相等先证明一个四边形是平行四边形,再证明它的对角线相等 矩形矩形 矩形矩形 首 页 末 页 2菱形菱形 定定 义:有一组邻边义:有一组邻边 的平行四边形是菱形的平行四边形
3、是菱形 性性 质:质:(1)菱形的四条边菱形的四条边 ; (2)菱形的对角线菱形的对角线 ,并且每一条对角线,并且每一条对角线 注注 意:意:(1)菱形的定义可作为性质;菱形的定义可作为性质; (2)菱形具备平行四边形的所有性质;菱形具备平行四边形的所有性质; (3)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,有菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,有 条对称轴条对称轴 相等相等 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 平分一组对角平分一组对角 两两 首 页 末 页 判判 定:定:(1)四条边都相等的四边形是四条边都相等的四边形是 ; (2)对角线互相垂直的平行四边形是对角线互相垂直的平行四边形是 注注
4、 意:意:(1)菱形的定义可作为判定;菱形的定义可作为判定; (2)对角线平分一组对角的平行四边形是菱形对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 菱形菱形 菱形菱形 首 页 末 页 证明方法:证明方法:(1)先证明一个四边形是平行四边形,再证明它的一组邻边相等或者对先证明一个四边形是平行四边形,再证明它的一组邻边相等或者对角线互相垂直;角线互相垂直; (2)可以证明一个四边形的四条边相等可以证明一个四边形的四条边相等 面面 积:积:(1)可用平行四边形的面积计算公式,即底可用平行四边形的面积计算公式,即底高;高; (2)两条对角线乘积的一半若菱形的两条对角线长为两条对角线乘积的一半若菱形的两条对角
5、线长为a和和b,则,则S菱形菱形 . 12ab 首 页 末 页 3正方形正方形 定定 义:四边义:四边 且四个角都是且四个角都是 的四边形叫做正方形的四边形叫做正方形 注注 意:意:(1)正方形既是有一组邻边相等的正方形既是有一组邻边相等的 ,又是有一个角是直角的,又是有一个角是直角的 ; (2)正方形不仅是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形、菱形正方形、矩形、菱正方形不仅是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形、菱形正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形,它们的包含关系如下:形都是特殊的平行四边形,它们的包含关系如下: 相等相等 直角直角 矩形矩形 菱形菱形 首 页 末 页 性性 质:质:(1)正方
6、形的四条边都正方形的四条边都 ,四个角都是,四个角都是 ; (2)正方形的对角线正方形的对角线 ,并且互相,并且互相 ,每一条对角线,每一条对角线 注注 意:意:(1)平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备;平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备; (2)正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形,有四条对称轴,对称中心是对角正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形,有四条对称轴,对称中心是对角线的交点线的交点 相等相等 直角直角 相等相等 垂直平分垂直平分 平分一组对角平分一组对角 首 页 末 页 判判 定:定:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形; (2)
7、有一个角是直角的菱形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形; (3)四条边都相等,且四个角都相等的四边形是正方形;四条边都相等,且四个角都相等的四边形是正方形; (4)对角线互相垂直的矩形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形; (5)对角线相等的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形; (6)对角线相等,且互相垂直平分的四边形是正方形对角线相等,且互相垂直平分的四边形是正方形 首 页 末 页 注注 意:意:正方形的定义可作为判定正方形的定义可作为判定 证明方法:证明方法:判定一个四边形是正方形,可以先判定它是一个平行四边形,再判定判定一个四边形是正方形,可以先判定它是一个平行四边形,再判定它
8、是矩形或是菱形,然后再证明它是正方形它是矩形或是菱形,然后再证明它是正方形 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 株洲株洲对于任意的矩形,下列说法一定正确的是对于任意的矩形,下列说法一定正确的是( ) A对角线垂直且相等对角线垂直且相等 B四边都互相垂直四边都互相垂直 C四个角都相等四个角都相等 D是轴对称图形,但不是中心对称图形是轴对称图形,但不是中心对称图形 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据矩形的性质可知,矩形的对角线相等但不一定垂直选项根据矩形的性质可知,矩形的对角线相等但不一定垂直选项A是错误是错误的;的; 矩形相邻的两边互相垂直,对边互相平行选项矩形相邻的两边
9、互相垂直,对边互相平行选项B是错误的;是错误的; 矩形的四个角都是直角所以相等;选项矩形的四个角都是直角所以相等;选项C是正确的;是正确的; 矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形选项矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形选项D是错误的故选是错误的故选C. 首 页 末 页 22019 娄底娄底顺次连接菱形四边中点得到的四边形是顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( ) A平行四边形平行四边形 B.菱形菱形 C矩形矩形 D.正方形正方形 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图在菱形如答图在菱形ABCD中,中,E,F,G,H分别是边分别是边AB,BC,CD,DA的中点,的中点, 第第2题答图题答图
10、 首 页 末 页 EHFGBD,EHFG12BD. EFHGAC,EFHG12AC, 故四边形故四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 又又ACBD, EHEF,HEF90 . 四边形四边形EFGH是矩形故选是矩形故选C. 首 页 末 页 32019 怀化怀化如图,在如图,在 ABCD中,中,AEBC,CFAD,E,F分别为垂足分别为垂足 求证:求证:(1)ABECDF; (2)四边形四边形AECF是矩形是矩形 首 页 末 页 证明:证明:(1)四边形四边形ABCD是平行四边形,是平行四边形, ABCD,BD. AEBC,CFAD, AEBCFD90 . ABECDF(AAS) 首 页 末 页
11、 (2)ABECDF, BEDF. 四边形四边形ABCD是平行四边形,是平行四边形, ADBC,ADBC. AFCE,AFCE. 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 AEBC, AEC90 . 四边形四边形AECF是矩形是矩形 首 页 末 页 42019 娄底娄底如图,点如图,点E,F,G,H分别在矩形分别在矩形ABCD的边的边AB,BC,CD,DA(不包括端点不包括端点)上运动,且满足上运动,且满足AECG,AHCF. (1)求证:求证:AEHCGF; (2)试判断四边形试判断四边形EFGH的形状,并说明理由的形状,并说明理由 首 页 末 页 (1)证明:证明:四边形四边形ABCD
12、为矩形,为矩形, AC90 . 又又AECG,AHCF, AEHCGF(SAS) (2)解:解:四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 理由:由理由:由(1)中中AEHCGF,可得,可得HEFG. 首 页 末 页 在矩形在矩形ABCD中,中,BD90 ,ABCD,BCAD, 且有且有AECG,AHCF, HDFB,BEDG. BEFDGH(SAS) EFGH. 四边形四边形EFGH为平行四边形为平行四边形 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 矩形的判定矩形的判定 2019 原创原创如图,在如图,在 ABCD中,对角线中,对角线AC与与BD相交于点相交于点E,点,点G
13、为为AD的的中点,连接中点,连接CG,CG的延长线交的延长线交BA的延长线于点的延长线于点F,连接,连接FD. (1)求证:求证:ABAF; (2)若若AGAB,BCD120 ,试判断四边形,试判断四边形 ACDF的形状,并证明你的结论的形状,并证明你的结论 首 页 末 页 (1)证明:证明:四边形四边形ABCD是平行四边形,是平行四边形, AFCD,ABCD. FAGCDG. G为为AD的中点,的中点, AGDG. 首 页 末 页 在在AGF与与DGC中,中, FAGCDG,AGDG,AGFDGC, AGFDGC(ASA) AFDC. ABAF. 首 页 末 页 (2)解:解:四边形四边形A
14、CDF为矩形为矩形 证明:证明:BCD120 , BAD120 . FAG180 BAD60 . 又又AGAB,ABAF, AGAF. AGF为等边三角形为等边三角形 首 页 末 页 AGFG. AFCD,AFCD, 四边形四边形ACDF为平行四边形为平行四边形 AD2AG,CF2FG. ADCF. 四边形四边形ACDF为矩形为矩形 【点悟】【点悟】 证明一个四边形是矩形,常用的方法有:证明一个四边形是矩形,常用的方法有:(1)有三个角是直角的四边有三个角是直角的四边形;形;(2)有一个角是直角的平行四边形;有一个角是直角的平行四边形;(3)对角线相等的平行四边形等对角线相等的平行四边形等 首
15、 页 末 页 12019 新疆新疆如图,在菱形如图,在菱形ABCD中,对角线中,对角线AC,BD相交于点相交于点O,E是是CD中中点,连接点,连接OE.过点过点C作作CFBD交交OE的延长线于点的延长线于点F,连接,连接DF. 求证:求证:(1)ODEFCE; (2)四边形四边形OCFD是矩形是矩形 首 页 末 页 证明:证明:(1)CFBD, ODEFCE. E是是CD中点,中点, ECED. CEFDEO, ODEFCE(ASA) 首 页 末 页 (2)ODEFCE, OEFE. DEEC, 四边形四边形OCFD是平行四边形是平行四边形 四边形四边形ABCD是菱形,是菱形, BDAC. D
16、OC90 . 四边形四边形OCFD是矩形是矩形 首 页 末 页 类型之二类型之二 矩形的性质矩形的性质 2018 张家界张家界如图,在矩形如图,在矩形ABCD中,点中,点E在在BC上,上,AEAD,DFAE,垂足为垂足为F. (1)求证:求证:DFAB; (2)若若FDC30 ,且,且AB4,求,求AD的长的长 首 页 末 页 (1)证明:证明:如答图,在矩形如答图,在矩形ABCD中,中,ADBC, 12. 又又DFAE,DFA90 . DFAB. 又又ADEA,ADFEAB(AAS) DFAB. 首 页 末 页 (2)解:解:1390 ,FDC390 , 1FDC30 .AD2DF. 又又D
17、FAB4, AD248. 首 页 末 页 22017 荆州荆州如图,在矩形如图,在矩形ABCD中,连接对角线中,连接对角线AC,BD,将,将ABC沿沿BC方向方向平移,使点平移,使点B移到点移到点C,得到,得到DCE. (1)求证:求证:ACDEDC; (2)请探究请探究BDE的形状,并说明理由的形状,并说明理由 首 页 末 页 (1)证明:证明:四边形四边形ABCD是矩形,是矩形, ABDC,ADBC. 由平移的性质,可得由平移的性质,可得DEAC,CEBC, ADEC. 在在ACD和和EDC中,中, ADEC,ACED,CDDC, ACDEDC(SSS) 首 页 末 页 (2)解:解:BD
18、E是等腰三角形理由如下:是等腰三角形理由如下: 在矩形在矩形ABCD中,中,ACBD, 由平移可得由平移可得DEAC, BDDE, BDE是等腰三角形是等腰三角形 首 页 末 页 类型之三类型之三 菱形的判定菱形的判定 2019 贺州贺州如图,在矩形如图,在矩形ABCD中,中,E,F分别是边分别是边BC,AD上的点,且上的点,且AECF. (1)求证:求证:ABECDF; (2)当当ACEF时,四边形时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由是菱形吗?请说明理由 首 页 末 页 (1)证明:证明:四边形四边形ABCD是矩形,是矩形, BD90 ,ABCD. 在在RtABE和和RtCDF中,中, A
19、BCD,AECF, RtABERtCDF(HL) 首 页 末 页 (2)解:解:当当ACEF时,四边形时,四边形AECF是菱形,理由如下:是菱形,理由如下: 矩形矩形ABCD中,中,ADBC,ADBC, 由由(1)知知RtABERtCDF, BEDF, BCAD, CEAF, CEAF, 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 又又ACEF, 四边形四边形AECF是菱形是菱形 首 页 末 页 32018 日照日照如图,在四边形如图,在四边形ABCD中,对角线中,对角线AC,BD相交于点相交于点O,AOCO,BODO.添加下列条件,不能判定四边形添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的
20、是是菱形的是( ) B AABAD BACBD CACBD DABOCBO 首 页 末 页 42018 北京北京如图,在四边形如图,在四边形ABCD中,中,ABDC,ABAD,对角线,对角线AC,BD交交于点于点O,AC平分平分BAD,过点,过点C作作CEAB,交,交AB的延长线于点的延长线于点E,连接,连接OE. (1)求证:四边形求证:四边形ABCD是菱形;是菱形; (2)若若AB 5,BD2,求,求OE的长的长 首 页 末 页 (1)证明:证明:AC平分平分BAD, DACBAC. ABDC, DCABAC. DACDCA. DADC. 又又ABAD, 首 页 末 页 ABDC. 又又A
21、BDC, 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 又又ABAD, 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 首 页 末 页 (2)解:解:四边形四边形ABCD是菱形,是菱形, OAOC,OBOD12BD1,ACBD. 在在RtABO中,由勾股定理,得中,由勾股定理,得 OA AB2OB2 5 2122. AC2OA4. CEAB,在,在RtACE中,中, OE12AC2. 首 页 末 页 类型之四类型之四 菱形的性质菱形的性质 2019 原创原创如图,四边形如图,四边形ABCD是菱形,对角线是菱形,对角线AC,BD相交于点相交于点O,且,且AB2. (1)求菱形求菱形ABCD的周长;的周长; (
22、2)若若AC2,求,求BD的长的长 首 页 末 页 解:解:(1)四边形四边形ABCD是菱形,是菱形, ABBCCDDA2. 菱形菱形ABCD的周长为的周长为8. (2)四边形四边形ABCD是菱形,是菱形, OAOC12AC1,OBOD,且,且AOB90 . 首 页 末 页 在在RtAOB中,中, OB AB2OA2 2212 3, BD2OB2 3. 【点悟】【点悟】 菱形的四条边都相等,有一个角是菱形的四条边都相等,有一个角是60 的菱形可以被其中一条对角线的菱形可以被其中一条对角线分成两个等边三角形分成两个等边三角形 首 页 末 页 52019 湖州湖州如图,已知在如图,已知在ABC中,
23、中,D,E,F分别是分别是AB,BC,AC的中点,的中点,连接连接DF,EF,BF. (1)求证:四边形求证:四边形BEFD是平行四边形;是平行四边形; (2)若若AFB90 ,AB6,求四边形,求四边形BEFD的周长的周长 首 页 末 页 (1)证明:证明:D,E,F分别是分别是AB,BC,AC的中点,的中点, EFAB,DFBC. 四边形四边形BEFD是平行四边形是平行四边形 (2)解:解:AFB90 ,AB6,D点是点是AB的中点,的中点, DFDB12AB3. 平行四边形平行四边形BEFD是菱形是菱形 BEEFDFBD3. C四边形四边形BEFD4DF12. 首 页 末 页 类型之五类
24、型之五 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 2019 长沙长沙如图,正方形如图,正方形ABCD,点,点E,F分别在边分别在边AD,CD上,且上,且DECF,AF与与BE相交于点相交于点G. (1)求证:求证:BEAF; (2)若若AB4,DE1,求,求AG的长的长 首 页 末 页 (1)证明:证明:四边形四边形ABCD是正方形,是正方形, BAEADF90 ,ABADCD. DECF,AEDF. 在在BAE和和ADF中,中, BAAD,BAEADF,AEDF, BAEADF(SAS), BEAF. 首 页 末 页 (2)解:解:由由(1)得:得:BAEADF, EBAFAD, EBAAEG9
25、0 , FADAEG90 ,AGE90 . AB4,DE1, 首 页 末 页 AE3,BE AB2AE25. 在在RtABE中,中, 12AB AE12BE AG, AG345125. 首 页 末 页 62019 凉山凉山如图,正方形如图,正方形ABCD的对角线的对角线AC,BD相交于点相交于点O,E是是OC上一上一点,连接点,连接EB.过点过点A作作AMBE,垂足为,垂足为M,AM与与BD相交于点相交于点F.求证:求证:OEOF. 证明:证明:在正方形在正方形ABCD中中 ACBD,AMBE, AOFBOEAME90 , FAOAEBEBOAEB90 , FAOEBO. 首 页 末 页 AC
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