2021-2022学年江苏省常州市溧阳市八年级上期中数学试题（含答案解析）

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1、溧阳市溧阳市 20212022 学年度第一学期期中质量调研测试八年级数学试题学年度第一学期期中质量调研测试八年级数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分，在每小题所给的四个选项中，只有分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）一项是正确的） 1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 5 是 25平方根 B. 25 的平方根是 5 C. 93 D. 2-2-2 3. 如图所示，ABDCDB，下面四个结论中，不正确的是（ ） A. ABD和CDB 的面

2、积相等 B. ABD和CDB 的周长相等 C. A+ABDC+CBD D. ADBC，且 ADBC 4. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 7米，消防车的云梯最大升长为 25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A. 16 米 B. 20 米 C. 24 米 D. 25 米 5. 量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AOB中，OA=OB，射线 OC交边 AB于点 D则ADC 的度数为（ ） A. 90 B. 80 C. 70 D. 60 6. 以下四组代数式作为ABC的三边， 能使ABC为直角三角形的有： 3n， 4n， 5n， （n为正整数） ； n，

3、n+1，n+2（n 为正整数） ；n2-1，2n，n2+1（n2，n 为正整数） ；m2-n2，2mn，m2+n2（mn，m，n 为正整数） （ ） A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 7. 如图，ABCD，且 AB=CD，E、F 是 AD上两点，CEAD，BFAD，若 CE=a，BF=b，EF=c，则 AD的长为（ ） A. a+c B. b+c C. a-b+c D. a+b-c 8. BDE和FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC内，若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（ ） A. ABC的周长 B. AFH的周长 C. BD

4、E 或FGH的周长 D. 四边形 ADEC的周长 二、填空（本大题共有二、填空（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）写在答题卡相应的位置上） 9. 4 的平方根是 10. 27的立方根是_ 11. 地球的半径平均值为 6371千米，将该数据四舍五入精确到 100 千米为_千米 12. 比较大小3-2_2-1 13. 等腰三角形的顶角为 90 ，则它的一个底角度数为_ 14. 若一个直角三角形的两直角边长分别为 12、5，则其斜边长为_ 15. 如图，直线 a，b 过等边

5、三角形ABC顶点 A和 C，且/a b，142 ，则2的度数为_ 16. 如图，Rt ABC和Rt EDF中，/BC DF， 在不添加任何辅助线的情况下， 请你添加一个条件_，使Rt ABC和Rt EDF全等 17. 如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，DE=EC，EDC=35 ，则A=_ 18. 如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D） ，小明行走的路线是 ACD，小亮行走的路线是 BCD，已知 AB=3km，BC=4km，CD=5km，ABC=90 ，已知小明骑自行车速度为 akm/分钟，小亮走路，速度为 0.1km分钟小亮出发 30分钟后小明再出发

6、，若小明在路上遇到小亮则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则 a的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64分，请在答题卡指定区城内作答，如无特殊说明，解答分，请在答题卡指定区城内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）23161253 （2）-22231282 20. 求下列各式中的 x （1）2x2-18=0 （2） （x+4）3=-64 21. 如图、图、图都是 33正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点A，B，C均为格点在给定的网格中，按下列要求画图

7、： （1）在图中，画一条不与 AB重合的线段 MN，使 MN与 AB关于某条直线对称，且 M、N为格点； （2）在图中，画一条不与 AC重合的线段 PQ，使 PQ 与 AC 关于某条直线对称，且 P，Q 为格点； （3）在图中，画一个 DEF，使 DEF 与 ABC关于某条直线对称，且 D，E，F为格点 22. 如图，已知ABDC，AB=DC，BF=CE （1）ABFDCE； （2）AFDE 23. 如图，ABCV中，ACABBC. 已知线段 AB的垂直平分线与 BC边交于点 P，连结 AP，求证：2APCB?； 以点 B 为圆心，线段 AB长为半径画弧，与 BC边交于点 Q，连结 AQ，若3

8、AQCB?，求B的度数. 24. 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kn，门槛意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，推开双门，双门间隙 CD 的距离为 2寸，点C和点D距离门槛AB都为 1 尺（1尺=10寸） ，则AB的长是多少? 25. 按要求作（画）图并证明： （1）尺规作图：如图AOB，作AOB的平分线 OP（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）过平分线上一点 C画 CDOB 交 OA于点 D，取线段 OC的中点 E，过点 E 画直线分别交射线 CD、OB 于点 M、N（M不与 C、D 重合） ，请你探究线

9、段 OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论 26. 新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线” （1）如图 1，四边形 ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若BAD=120 ，BCD=150 ，则ABC=_ ； （2）如图 2，四边形 ABCD中，AB=AD，BC=2AB，A=60 ，D=150 ，试说明四边形 ABCD是“等腰四边形”； （3）若在“等腰四边形”ABCD 中，AB=BC=CD，ABC=90 ，且 BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出ADC的度数 溧阳市溧阳市 20212

10、022 学年度第一学期期中质量调研测试八年级数学试题学年度第一学期期中质量调研测试八年级数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分，在每小题所给的四个选项中，只有分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）一项是正确的） 1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：选项 A是轴对称图形，故 A不符合题意； 选项 B是轴对称图形，故 B不符合

11、题意； 选项 C不是轴对称图形，故 C 符合题意； 选项 D是轴对称图形，故 D不符合题意； 故选 C 【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 5是 25的平方根 B. 25 的平方根是 5 C. 93 D. 2-2-2 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据平方根的定义和算术平方根的定义逐一判断即可得出正确选项 【详解】解：A、5是 25的平方根，正确，故本选项符合题意； B、25的平方根是5，原说法错误，故本选项不符合题意； C、93，原说法错误，故本选项不符合题意； D、22没有意义，故本选项不符合题意 故选：A

12、【点睛】本题主要考查了平方根与算术平方根，注意：一个正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根 3. 如图所示，ABDCDB，下面四个结论中，不正确的是（ ） A. ABD 和CDB的面积相等 B. ABD 和CDB的周长相等 C. A+ABDC+CBD D. ADBC，且 ADBC 【答案】C 【解析】 【分析】通过全等三角形的性质进行逐一判断即可 【详解】A、ABDCDB， ABD和CDB 的面积相等，故本选项错误； B、ABDCDB，ABD 和CDB的周长相等，故本选项错误； C、ABDCDB， AC，ABDCDB， A+ABDC+CDBC+CBD，故本选项正确； D、ABDCDB，

13、ADBC，ADBCBD，ADBC，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 4. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 7米，消防车的云梯最大升长为 25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A. 16 米 B. 20 米 C. 24 米 D. 25 米 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度 【详解】解：如图所示，AB=25米，BC=7 米， 由勾股定理可得，AC=2222257ABBC=24(米) 则云

14、梯可以达该建筑物的最大高度是 24 米 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，要求学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题 5. 量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AOB中，OA=OB，射线 OC交边 AB于点 D则ADC 的度数为（ ） A. 90 B. 80 C. 70 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论 【详解】解：OA=OB，AOB=140 ， A=B=12（180 -140 ）=20 ， AOC=60 ， ADC=A+AOC=20 +60 =80 ， 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角

15、形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键 6. 以下四组代数式作为ABC的三边， 能使ABC为直角三角形的有： 3n， 4n， 5n， （n为正整数） ； n，n+1，n+2（n 为正整数） ；n2-1，2n，n2+1（n2，n 为正整数） ；m2-n2，2mn，m2+n2（mn，m，n 为正整数） （ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可 【详解】解：2223425nnn，22525nn， 222345nnn， 可以使ABC为直角三角形； 2221221nnnn，22244nnn， 22212nnn， 不可以使AB

16、C 为直角三角形； 222421221nnnn，2242121nnn， 22222121nnn， 可以使ABC为直角三角形； 2222422422mnmnmm nn，22242242mnmm nn， 2222222mnmnmn， 可以使ABC为直角三角形， 综上所述，共有 3组可以使ABC为直角三角形 故选：C 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理 7. 如图，ABCD，且 AB=CD，E、F 是 AD上两点，CEAD，BFAD，若 CE=a，BF=b，EF=c，则 AD的长为（ ） A. a+c B. b+c C. a-b+c D. a+b-c 【答案】D

17、 【解析】 【分析】由余角的性质可得A=C，由“AAS”可证ABFCDE，可得 AF=CE=a，BF=DE=b，可得AD 的长 【详解】解：ABCD，CEAD，BFAD， AFB=CED=90 ，A+D=90 ，C+D=90 ， A=C， 在ABF和CDE中， 90CEDAFBACABCD ， ABFCDE（AAS） ， AF=CE=a，BF=DE=b， EF=c， AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明ABFCDE是解本题的关键 8. BDE和FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC内，若求五边

18、形 DECHF 的周长，则只需知道（ ） A. ABC的周长 B. AFH的周长 C. BDE 或FGH的周长 D. 四边形 ADEC的周长 【答案】A 【解析】 【分析】 由等边三角形性质和三角形的内角和定理可得： FHGH， ACBA60 ， AHFHGC，进而可根据 AAS 证明AFHCHG，可得 AFCH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形 DECHF 的周长AB+BC，从而可得结论 【详解】解：GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60 ， AHF+GHC120 ， ABC为等边三角形， ABBCAC，ACBA60 ， GHC+HGC120 ， AHFHGC， AFH

19、CHG（AAS） ， AFCH BDE和FGH 是两个全等的等边三角形， BEFH， 五边形 DECHF 的周长DE+CE+CH+FH+DF BD+CE+AF+BE+DF （BD+DF+AF）+（CE+BE） ， AB+BC 只需知道ABC周长即可 故选：A 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键 二、填空（本大题共有二、填空（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）写在

20、答题卡相应的位置上） 9. 4 的平方根是 【答案】 2 【解析】 【详解】试题分析：2( 2)4，4 的平方根是 2故答案为 2 考点：平方根 10. 27的立方根是_ 【答案】3. 【解析】 【分析】根据立方根的定义求解即可. 【详解】解：27的立方根是3，故答案为3. 【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键. 11. 地球的半径平均值为 6371千米，将该数据四舍五入精确到 100 千米为_千米 【答案】36.4 10 【解析】 【分析】先将 6371 千米四舍五入精确到 100千米为 6400千米，再利用科学记数法表示，即可求解 【详解】解：3637

21、164006.410 故答案为：36.4 10 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是理解经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是 0的数字起到未位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法 12. 比较大小3-2_2-1 【答案】 【解析】 【分析】先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系 【详解】解：13232323232，12121212121， 而3221， 113221， 322 1 故答案为： 【点睛】本题考查了分母有理化，以及实数大小比较，熟练掌握运算

22、法则是解本题的关键 13. 等腰三角形的顶角为 90 ，则它的一个底角度数为_ 【答案】45 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和即可得到结论 【详解】解：等腰三角形的顶角为 90 ， 该等腰三角形的两底角相等， 它的一个底角度数为118090452 故答案为：45 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 14. 若一个直角三角形的两直角边长分别为 12、5，则其斜边长为_ 【答案】13 【解析】 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别是 5和 12，斜边长=22512=13故答案为 13 15. 如图，直线 a，b 过等边三角

23、形ABC顶点 A和 C，且/a b，142 ，则2的度数为_ 【答案】102 【解析】 【分析】根据题意可求出BAC的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案 【详解】Q三角形 ABC为等边三角形 60BAC /abQ 214260102BAC 故答案：102 【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 16. 如图，Rt ABC和Rt EDF中，/BC DF， 在不添加任何辅助线的情况下， 请你添加一个条件_，使Rt ABC和Rt EDF全等 【答案】ABED，答案不唯一 【解析】 【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是 ABED或 BCD

24、F或 ACEF或 AECF等，只要符合全等三角形的判定定理即可 【详解】Rt ABC和Rt EDF中， 90BACDEF， /BC DF， DFEBCA， 添加ABED， Rt ABC和Rt EDF中 DFEBCADEFBACABED， RtRtAASABCEDF， 故答案为：ABED答案不唯一 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键， 注意：两直角三角形全等的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL等 17. 如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，DE=EC，EDC=35 ，则A=_ 【答案】40 【解析】 【分析】 先证明35 ,

25、EDCECD 35 ,EDCDCB 再求解,ACBABC再利用三角形的内角和定理求解A即可. 【详解】解：Q DE=EC，EDC=35 ， 35 ,EDCECD Q DEBC 35 ,EDCDCB 353570 ,ACB ,ABACQ 70 ,ABCACB 180707040A 故答案为：40 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握“等边对等角”是解题的关键. 18. 如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D） ，小明行走的路线是 ACD，小亮行走的路线是 BCD，已知 AB=3km，BC=4km，CD=5km，ABC=9

26、0 ，已知小明骑自行车速度为 akm/分钟，小亮走路，速度为 0.1km分钟小亮出发 30分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则 a的取值范围是_ 【答案】1162a 【解析】 【分析】先由勾股定理求出 AC的长，再根据时间=路程速度分求出小亮到达 C 和 D 处在时间，再分别求出两人同时到达 C 和 D的 a 值，即可解答 【详解】解：在 RtABC中，AB=3km，BC=4km，CD=5km，ABC=90 ， 2222345ACABBC， 由题意，小亮到达 C的时间为 4 0.1=40（分钟） ，到达 D 的时间为（4+5）0.1=9

27、0（分钟） ， 小明和小亮同时到达 C 时，a= 54030= 12( km/分钟)， 两人同时到达 D时，a= 559030= 16， 小亮能坐上小明的顺风车，则 a的取值范围是1162a 故答案为：1162a 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，正确求出两人同时到达 C 和 D处时的 a值是解答的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64分，请在答题卡指定区城内作答，如无特殊说明，解答分，请在答题卡指定区城内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）23161253 （2）-

28、22231282 【答案】 （1）0 ； （2）2 【解析】 【分析】 （1）根据算术平方根，立方根，平方计算，即可求解； （2）根据算术平方根，立方根，平方，负整数指数幂计算，即可求解 【详解】解： （1）23161253 459 0 ； （2）-22231282 244 2 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根，平方，负整数指数幂是解题的关键 20. 求下列各式中的 x （1）2x2-18=0 （2） （x+4）3=-64 【答案】 （1）x= 3； （2）x=-8 【解析】 【分析】 （1）根据平方根的定义解答即可； （2）根据立方根的定义解答即可 【详解】解

29、： （1）2x2-18=0， 2x2=18，即 x2=9， 解得 x= 3； （2） （x+4）3=-64， 则 x+4=-4， 解得 x=-8 【点睛】本题主要考查了平方根与立方根，注意：一个正数有两个平方根 21. 如图、图、图都是 33 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点A，B，C 均为格点在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图中，画一条不与 AB重合的线段 MN，使 MN与 AB关于某条直线对称，且 M、N为格点； （2）在图中，画一条不与 AC重合的线段 PQ，使 PQ 与 AC 关于某条直线对称，且 P，Q 为格点； （3）在图中，画一个 DEF，使 DEF 与 ABC

30、关于某条直线对称，且 D，E，F为格点 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）画线段 AB关于大的正方形的对角线对称的线段 MN即可； （2）画线段 AC关于大的正方形的对角线对称的线段 PQ 即可； （3）分别确定, ,A B C关于大正方形的对角线的对称点,D E F，再顺次连接,D E F即可 【详解】解： （1）如图所示，线段 MN 是所求作的线段， （2）如图所示，线段 PQ是所求作的线段， （3）如图所示，DEFV是所求作的三角形， 【点睛】本题考查的是轴对称的性质与作图，轴对称图案的设计，掌握“先确定好对称轴再画图”是解题的关键. 22

31、. 如图，已知ABDC，AB=DC，BF=CE （1）ABFDCE； （2）AFDE 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先证明,BC 再利用SAS证明ABFDCE 即可； （2）利用全等三角形的性质可得,AFBDEC 再利用等角的补角相等证明,AFEDEF 从而可得结论 【详解】证明（1）ABDCQ ,BC Q AB=DC，BF=CE， ABFDCE； （2）Q ABFDCE， ,AFBDEC ,AFEDEF .AFDE 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握“利用SAS证明两个三角形全等”是解题的关键. 23. 如图，在ABCV中，AC

32、ABBC. 已知线段 AB的垂直平分线与 BC边交于点 P，连结 AP，求证：2APCB?； 以点 B 为圆心，线段 AB的长为半径画弧，与 BC边交于点 Q，连结 AQ，若3AQCB?，求B的度数. 【答案】 （1）见解析； （2）B=36. 【解析】 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质，得到 PA=PB，再由等腰三角形的性质得到PAB=B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到BAQ=BQA，设B=x，由题意得到等式AQC=B+BAQ=3x，即可得到答案. 【详解】 （1）证明：因为点 P 在 AB 的垂直平分线上， 所以 PA=PB， 所以PAB=B， 所以APC=PAB+B=

33、2B. （2）根据题意，得 BQ=BA， 所以BAQ=BQA， 设B=x， 所以AQC=B+BAQ=3x， 所以BAQ=BQA=2x， 在ABQ 中，x+2x+2x=180 ， 解得 x=36 ，即B=36 . 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质. 24. 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，推开双门，双门间隙 CD 的距离为 2寸，点C和点D距离门槛AB都为 1 尺（1尺=10寸） ，则AB的长是

34、多少? 【答案】101寸 【解析】 【分析】取 AB的中点 O，过 D作 DEAB 于 E，根据勾股定理解答即可得到结论 【详解】解：取 AB的中点 O，过 D 作 DEAB于 E，如图 2 所示： 由题意得：OA=OB=AD=BC， 设 OA=OB=AD=BC=r寸， 则 AB=2r（寸） ，DE=10寸，OE=12CD=1寸， AE=（r- -1）寸， 在 RtADE中， AE2+DE2=AD2，即（r- -1）2+102=r2， 解得：r=50.5， 2r=101（寸） ， AB=101 寸 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键 25. 按要求作（画）图

35、并证明： （1）尺规作图：如图AOB，作AOB的平分线 OP（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）过平分线上一点 C画 CDOB 交 OA于点 D，取线段 OC的中点 E，过点 E 画直线分别交射线 CD、OB 于点 M、N（M不与 C、D 重合） ，请你探究线段 OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1）见解析； （2）OD=ON+DM或 OD=ON-DM证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）当点 M在线段 CD上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是：ODDMON首先根据 OC是AOB 的平分线，CDOB，判断出DOC

36、DCO，所以 ODCDDMCM；然后根据 E 是线段 OC的中点，CDOB，推得CMEONE，得到 CMON，即可判断出 ODDMON 当点 M在线段 CD延长线上时，线段 OD、ON、DM之间的数量关系是：ODONDM同，可得 ODDCCMDM，再根据 CMON，推得 ODONDM即可 【详解】 （1）如图，OP为所求； （2）当点 M在线段 CD上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是：ODDMON 证明：如图 1， OC是AOB 的平分线， DOCCOB， 又CDOB， DCOCOB， DOCDCO， ODCDDMCM， E是线段 OC 的中点， CEOE， CDOB， C=EON

37、 CEM=OEN CMEONE CMON， 又ODDMCM， ODDMON 当点 M在线段 CD延长线上时，线段 OD、ON、DM之间的数量关系是：ODONDM 证明：如图 2， 由同理可得 ODDCCMDM，CMEONE CMON， ODDCCMDMONDM， 即 ODONDM 【点睛】此题主要考查了角平分线的作图、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 26. 新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那

38、么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线” （1）如图 1，四边形 ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若BAD=120 ，BCD=150 ，则ABC=_ ； （2）如图 2，四边形 ABCD中，AB=AD，BC=2AB，A=60 ，D=150 ，试说明四边形 ABCD是“等腰四边形”； （3）若在“等腰四边形”ABCD 中，AB=BC=CD，ABC=90 ，且 BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出ADC的度数 【答案】 （1）45； （2）见解析； （3）画图见解析； ADC=90或 45或 135 【解析】 【分析】 （1）由题意得：,ABAD CBCD再

39、利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解,ABDCBD从而可得答案； （2）如图，连接,BD 先证明ABD是等边三角形，可得1506090 ,BDC 则有222,BCBDCD 再证明,BDCD 从而根据新定义可得四边形 ABCD是“等腰四边形”； （3）分三种情况讨论：如图，当,90 ,ABBCCD ADABABC=?可得90ADC； 如图，当,90ABBCCD ABBDABC时，证明BDCV为等边三角形，从而可得答案；如图，当,90ABBCCD DADBABC 时，过点 D作 DEAB，过点 D作 DFCB，交 BC延长线于点F， 证明 DF=12CD延长DF至,H 使,DFHF= 连接

40、,HC 则,CDCH CDDH可得DHCV为等边三角形，再结合图形的性质可得答案. 【详解】解： （1）由题意得：,ABAD CBCD Q BAD=120 ，BCD=150 ， 118012030 ,2ABDADB 118015015 ,2CBDCDB 301545 ,ABCABDCBD 故答案为：45 （2）如图，连接,BD 60 ,AABADQ ABDV是等边三角形， ,60 ,ABBDADAABDADB 150 ,ADCQ 1506090 ,BDC 222,BCBDCD 2,BCAB ABBDQ 2,BCBD 2222,BDBDCD 22,BDCD 即,BDCD 所以四边形 ABCD是“

41、等腰四边形”. （3）如图，当,90 ,ABBCCD ADABABC=? 45 ,ABDDBCBDCADB ? 90 ,ADC 如图，,ABBCCD ABBD时， ,BDBCCD BDC V为等边三角形， 60 ,DBCDCBBDC 90 ,ABCQ 30 ,ABD 11803075 ,2BADBDA 6075135 ,ADC 如图，,ABBCCD DADB 过点 D作 DEAB，过点 D作 DFCB，交 BC 延长线于点 F， AD=BD，DEAB， BE= 12AB DEAB，DFCB，ABC=90， 90 ,DFBDEBF DFAB? 由平行线间距离处处相等可得： DF=BE= 12AB AB=CD， DF=12CD 延长DF至,H 使,DFHF= 连接,HC 则,.CDCH CDDH DHC V为等边三角形， 60 ,CDH 30 ,DCF ,CBCD DBDADCFCBDCDB DEAB DEBF Q 15 ,15 ,CBDCDBEDBADE 15345 .ADC 综上：ADC=90或 45或 135 【点睛】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟悉以上图形的性质是解题的关键.