第16章三角形的四心-初升高数学衔接课程(含答案解析)
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1、第第 16 章章 三角形的“四心”三角形的“四心” 【知识衔接】 初中知识回顾 1、重心:三角形的三条中线交点 2、外心:是三角形三边中垂线的交点 3、内心:是三角形的三内角平分线的交点 4、垂心:是三角形三条高的交点 高中知识链接 1、重心:它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍,重心和三顶点的连线将ABC 的面积三等分,重心一定在三角形内部 2、外心:它到各顶点的距离相等,锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形外学-科网 3、内心:它到三边的距离相等,内心一定在三角形内 4、垂心:垂心和三角形的三个顶点,三条高的垂足组成六组四点共圆,锐角
2、三角形的垂心在三角形内,直角三角形的垂心为直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形外 【经典题型】 初中经典题型 例 1:求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1 已知:D、E、F 分别为ABC三边 BC、CA、AB 的中点, 求证:AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1 证明:连结 DE,设 AD、BE 交于点 G, D、E 分别为 BC、AE 的中点,则 DE/AB,且12DEAB=, GDEGAB,且相似比为 1:2, GEBGGDAG2,2 设 AD、CF 交于点G,同理可得,2,2.AGG D CGG F= 则G与G重合, AD、BE、CF 交于一点
3、,且都被该点分成2:1 例 2:已知ABC的三边长分别为,BCa ACb ABc=,I 为ABC的内心,且 I 在ABC的边BCACAB、上的射影分别为DEF、 、,求证:2bcaAEAF+-= 证明:作ABC的内切圆,则DEF、 、分别为内切圆在三边上的切点, 例 3:已知:O 为ABC的重心和内心,求证:ABC为等边三角形 证明:如图, 连 AO 并延长交 BC 于 D,O 为三角形的内心,故 AD 平分BAC, DCBDACAB(角平分线性质定理) O 为三角形的重心,D 为 BC 的中点,即 BD=DC 1ACAB,即ABAC= 同理可得,AB=BC ABC为等边三角形 例 4:已知:
4、ABC中,于于EACBEDBCAD,AD 与 BE 交于 H 点 求证:ABCH 高中经典题型 1、已知三角形的三边长分别为 5,12,13,则其垂心到外心的距离为 ,重心到垂心的距离为 【答案】6.5,314 2、已知三角形的三边长为 5,12,13,则其内切圆的半径r 【答案】2 3、在ABC 中,A 是钝角,O 是垂心,AOBC,则 cos(OBC+OCB)= 【答案】22 4、设 G 为ABC 的重心,且 AG6,BG8,CG10,则ABC 的面积为 【答案】72 5、若900,那么以sin、cos、cottan为三边的ABC 的内切圆,外接圆的半径之和为 A、)cos(sin21 B
5、、)cot(tan21 C、cossin2 D、cossin1 【答案】A 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1在三角形内部,到三角形三边距离相等的点是( ) A 三条中线的交点 B 三条高线交点 C 三个内角平分线交点 D 三边垂直平分线交点 【答案】C 【解析】试题解析:如图, OGAB,OFAC,OG=OF,O在A的平分线上,同理O在B的平分线上,O在C的平分线上,即O是三条角平分线的交点,故选C 2已知等腰 ABC 中,AB=AC=5,BC=6,G 是 ABC 的重心,那么 AG=_ 【答案】 【解析】分析:如图延长 AG 交 BC 于 H利用等腰三角形的三线合一,可知 A
6、H是高,利用勾股定理求出AH,根据重心的性质 AG=AH 计算即可 详解:如图延长 AG交 BC于 H G 是重心,BH=CH=3 AB=AC=5,AHBC,AH=4,AG=AH= 故答案为: 3如图,点 G 是 ABC 的重心,AG 的延长线交 BC 于点 D,过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E,如果 BC6,那么线段 GE 的长为_ 【答案】2 【解析】分析:由点 G 是ABC 重心,BC=6,易得 CD=3,AG:AD=2:3,又由 GEBC,可证得AEGACD,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得线段 GE 的长 详解:点 G 是ABC 重心,BC=6, CD=BC=3,A
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