四川省成都市2021-2022学年九年级上期中数学试题（含答案解析）

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1、20212022学年度九年级上数学半期试题A卷（共100分）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3. 一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则A1B1C1D1E1的最短边长为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 24. 下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）A 1，2，

2、3，4B. 2，3，5，8C. 2，3，D. 1，2，3，65. 关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）A. B. C. 或D. 6. 若点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），AB2，则AC的长为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线和被，所截，则的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则AEB的度数为（ ）A. 30°B. 20°C. 15°D. 10°10. 某公司今年销售一种产品，一月份获得

3、利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）A B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）="36.4"D. 二、填空题（每空4分，共16分）11. 若，则的值为_12. 一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一个球， 若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为_个13. 如图，1B，AD5cm，AB10cm，则AC_14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC8，BD6，过点O作OHAB于点

4、H，则OH的长为_三、解答题（共54分）15. 解下列方程：（1） （2）16. 关于x的一元二次方程（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值17. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了请求出竹竿的长度18. 在抗击新型冠状病毒疫情期间，各学校在推迟开学时间同时开展“停课不停学”的教学模式，针对远程网络教学，某学校为学生提供四类在学习方式；A（在线阅读）、B（在线听课）、C（在线答疑）、D（在线讨论），为了了解学生的需求，该校

5、通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（1）本次调查的人数有_人请补全条形图（2）“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数为_（3）小明和小强都参加了此次调查，都随机选择一种，请用树状图或列表格求出小明和小强选择同一种“最感兴趣学习方式”的概率19. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AOCO，BODO，且ABCADC180°（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）DFAC，若ADFFDC21，则BDF的度数是多少？20. 在中，ABAC5，BC8，过点C作直线l/AB，点N为直线l上一动点，作射线AN

6、，交射线BC于点P，将射线AN绕点A顺时针旋转，交线段BC于M，使得，连接MN（1）如图1，当点N在点C左侧时，求证（2）如图2，当点N在点C右侧时，若AM，求线段CN的长（3）如图3，若射线AM与直线l交于点Q，满足，请直接写出线段CN的长B卷（共50分）一、填空题（每题4分，共20分）21. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则_22. 已知，是一元二次方程的两实数根，则_23. 已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直

7、高称为该图形的高如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为_24. 如图，在ABC中，以AC为边在ABC外作等腰三角形AMC，满足，AM/BC，是边的中点，连结，作射线BO交折线段AMC于点N，若MN2，ON3，则AM的长为_25. 如图，在矩形ABCD中，AB6，AD10，H是CD边上一点，现将沿BH折叠，点C的对应点正好落在AD边上，点E、F分别是AD、BH边上的动点，再将四边形ABHD沿EF折叠，若点A的对应点正好落在线段BH上，且，则线段AE的长为_二、解答题（共30分）26. 一家水果店以每千克2元价格购进某种水果若干千

8、克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克售价降低多少元？27. 如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，ABAC6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AEBF，连接AF与CE相交于点G（1）求的度数（2）如图2，作交CE于点H，若CF4，求GH的值（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段

9、EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长28. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，已知直线：经过点B若点D为直线上一点，直线AD与直线BC交于点H，若，求点D的坐标；过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足请问是否存在这样的点M、N，使得与相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由20212022学年度九年级上数学半期试题A卷（共100分）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可

10、直接进行排除选项【详解】解：A、由可得是二元一次方程，故不符合题意；B、由可得是一元三次方程，故不符合题意；C、由可得是一元二次方程，故符合题意；D、由可得是分式方程，故不符合题意；故选C【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键2. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理逐项判断，即可求解【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，而

11、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确，符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理是解题的关键3. 一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则A1B1C1D1E1的最短边长为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】

12、设后A1B1C1D1E1的最短边的长为x，根据相似多边形对应边的比相等，可知最长边之比等于最短边之比，列方程求解【详解】解：两个相似的五边形，一个最长的边是6，另一个最长边长为12，则相似比是，根据相似五边形的对应边的比相等，设A1B1C1D1E1的最短边的长为x，则，解得：即A1B1C1D1E1的最短边的长为4故选：C【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，关键是确定两个多边形最长边之比等于最短边之比4. 下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）A. 1，2，3，4B. 2，3，5，8C. 2，3，D. 1，2，3，6【答案】D【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积

13、等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可【详解】解：A.1：23：4，故四条线段不成比例，不合题意；B.2：35：8，故四条线段不成比例，不符合题意；C.2：3：，故四条线段不成比例，不合题意；D.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段5. 关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到-1+a2=0，

14、再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值【详解】解：把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+x-1+a2=0得-1+a2=0，解得a1=1，a2=-1，而a-10，所以a的值为-1故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义6. 若点C是线段AB黄金分割点（ACBC），AB2，则AC的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，ACAB，代入数据即可得出AC的长度【详解】解：AB2，点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC时，；故选：A【点睛】本

15、题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键7. 如图，直线，直线和被，所截，则的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可【详解】解：直线l1l2l3，.AB=5，BC=6，EF=4，.DE=.故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键8. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解【详解】解：，A、若添加，

16、可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；B、若添加，不能证明，故本选项符合题意；C、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；D、若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键9. 如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则AEB的度数为（ ）A. 30°B. 20°C. 15°D. 10°【答案】C【解析】【分析】根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案【详解】四边形是正

17、方形，是等边三角形，故选：C【点睛】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键10. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）="36.4"D. 【答案】D【解析】【详解】设二、三月份的月增长率是x，依题意有：，故选D考点：由实际问题抽象出一元二次方程二、填空题（每空4分，共16分）11. 若，则的值为_【答案】【解析】【分

18、析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可【详解】解：，.故答案为：.【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握并利用两内项之积等于两外项之积的性质对式子变形整理是解题的关键12. 一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一个球， 若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为_个【答案】25【解析】【分析】设盒子中原有的白球的个数为个，利用简单事件的概率计算公式可得一个关于x的方程，再解方程即可得【详解】设盒子中原有的白球的个数为个，由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，则盒子中原有的白球的个数为25个，故答案为：25【点睛】

19、本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的应用，熟练掌握简单事件的概率计算方法是解题关键13. 如图，1B，AD5cm，AB10cm，则AC_【答案】cm【解析】【分析】由题意先利用相似三角形的判定证ACD与ABC相似，通过相似三角形的对应线段成比例即可求出AC的长【详解】解：1=B，A=A，ACDABC，即，解得：AC=cm故答案为：cm.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质并利用相似三角形的对应线段成比例进行分析是解题的关键14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC8，BD6，过点O作OHAB于点H，则OH的长为_【答案】【解析】【分析

20、】由菱形的性质可得BO3，AO4，AOBO，根据面积相等，可求出OH的长【详解】解：四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，BO3，AO4，AOBO，AB=，OHAB，AOBOABOH，OH，故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH三、解答题（共54分）15. 解下列方程：（1） （2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）先整理成一般式，然后利用公式法解方程即可；【详解】（1） 解： （2）解：【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和公式法，熟练掌握因式分解法和公式法解方程是

21、解题的关键16. 关于x的一元二次方程（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到，然后解不等式即可求解；（2）将代入原方程求解即可【详解】解：（1）原方程有两个不相等的实数根，解得：，m的取值范围是；（2）把带入原方程得：，解得：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根17. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比

22、门框高2尺他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了请求出竹竿的长度【答案】10尺【解析】【分析】设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得，求解即可得出答案【详解】解：设竹竿的长为x尺由题意得：，即，解得：或（不符合题意，舍去）， 竹竿的长为10尺【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，涉及勾股定理，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键18. 在抗击新型冠状病毒疫情期间，各学校在推迟开学时间的同时开展“停课不停学”的教学模式，针对远程网络教学，某学校为学生提供四类在学习方式；A（在线阅读）、B（在线听课）、C（在线答疑）、D（在线讨论），为了了解

23、学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（1）本次调查的人数有_人请补全条形图（2）“在线答疑”在扇形图中圆心角度数为_（3）小明和小强都参加了此次调查，都随机选择一种，请用树状图或列表格求出小明和小强选择同一种“最感兴趣学习方式”的概率【答案】（1）100；画图见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据在线阅读的人数和所占的百分比求出调查的总人数；用总人数减去其它方式的人数求出在线答疑的人数，从而补全统计图；（2）用360°乘以“在线答疑”所占的百分比即可；（3）根据题意画出树状图得出所有等

24、情况数和小明和小强选择同一种学习方式的情况数，再根据概率公式即可得出答案【详解】（1）本次调查的人数有（人）；在线答题的人数有：（人），补图如下：（2）“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是（3）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为、，则可画树状图如下：共有16种等情况数，其中小明和小强选择同一种学习方式的有4种，小明和小强选择同一种“最感兴趣学习方式”的概率【点睛】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件19. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AOCO，BODO，且ABCADC180°（1）求

25、证：四边形ABCD是矩形（2）DFAC，若ADFFDC21，则BDF的度数是多少？【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出FDC的度数，根据三角形的内角和，求出DCO，然后得到OD=OC，得到CDO，即可求出BDF的度数【详解】解：（1），四边形ABCD是平行四边形，ABCADC180°，四边形ABCD是矩形（2），DFAC，OCOD，【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是

26、直角的平行四边形是矩形20. 在中，ABAC5，BC8，过点C作直线l/AB，点N为直线l上一动点，作射线AN，交射线BC于点P，将射线AN绕点A顺时针旋转，交线段BC于M，使得，连接MN（1）如图1，当点N在点C左侧时，求证（2）如图2，当点N在点C右侧时，若AM，求线段CN的长（3）如图3，若射线AM与直线l交于点Q，满足，请直接写出线段CN的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题意直接依据相似三角形的判定定理进行分析求证即可；（2）根据题意作AHBC交于点C,结合勾股定理和相似三角形的相似比进行分析求解；（3）根据题意利用相似三角形结合全等三角形的性质进行分析即

27、可.【详解】解：（1）ABAC （2）作AHBC交于点CABAC5，AHBCBHHC4AM，得 l/AB （3） l/AB,，,.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质运用数形结合思维分析是解题的关键.B卷（共50分）一、填空题（每题4分，共20分）21. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则_【答案】2020【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算【详解】把代入方程得：， 故答案为：2020【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解22. 已知，是一元二次方程的两实

28、数根，则_【答案】4【解析】【分析】先由根与系数的关系求出mn及mn的值，再把化为的形式代入进行计算即可【详解】，是一元二次方程的两实数根，.故答案为：4【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法一元二次方程ax2bxc0（a0）的根与系数的关系为：x1x2 ，x1x223. 已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，

29、已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为_【答案】【解析】【分析】如图，设矩形的宽，则，根据勾股定理列方程求解即可得出答案【详解】如图，在菱形上建立矩形，则为该菱形的矩形，设矩形的宽，则，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍去），该菱形的矩形的宽为故答案为：【点睛】本题考查新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是解题的关键24. 如图，在ABC中，以AC为边在ABC外作等腰三角形AMC，满足，AM/BC，是边的中点，连结，作射线BO交折线段AMC于点N，若MN2，ON3，则AM的长为_【答案】或#或【解析】【分析】分N在AM和CM上两种情况；当N

30、在CM上，根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、平行线的性质，通过证明、，得可化为一元二次方程的分式方程，通过求解即可得到答案；当N在AM上，结合全等三角形、矩形的性质，通过勾股定理性质列一元二次方程并求解，即可完成求解【详解】分N在AM和CM上两种情况：当N在CM上，分别延长AM、BN，并交于点P，如下图：，是边的中点 等腰三角形AMC， AM/BC， ， ， ， 设 MN2，ON3， 或（不符合题意，舍去）经检验，时，是原方程的解；当N在AM上，连接CN，如下图：设 ，是边的中点 AM/BC， ， ， 四边形为矩形 或（不符合题意，舍去）AM的长为：或故答案为：或【点睛】本题考查了直角三角形

31、、等腰三角形、矩形、全等三角形、相似三角形、分式方程、一元二次方程、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线、矩形、全等三角形、相似三角形、分式方程、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解25. 如图，在矩形ABCD中，AB6，AD10，H是CD边上一点，现将沿BH折叠，点C的对应点正好落在AD边上，点E、F分别是AD、BH边上的动点，再将四边形ABHD沿EF折叠，若点A的对应点正好落在线段BH上，且，则线段AE的长为_【答案】【解析】【分析】过点A作MNBC，分别交BC于M，交AD于N，则四边形ABMN是矩形，AM=AN，MN=AB=6，然后证明，得到，再由折叠的性质可得，

32、则可由勾股定理得到，则，从而可以求得，得到，则，设，则，由，得到，解方程即可【详解】解：如图所示，过点A作MNBC，分别交BC于M，交AD于N，四边形ABCD是矩形， ，CDBC，四边形ABMN是矩形，AM=AN，由折叠的性质可得，设，则，解得，设，则，解得，,故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定二、解答题（共30分）26. 一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克（1）若将这种水果每千克

33、的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？【答案】（1）千克；（2）1元【解析】【分析】（1）利用每天的销售量=100+降低的价格÷0.1×20，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）利用每天销售利润=每斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出260斤，即可确定x的值，进而可得出每斤售价降低的钱【详解】（1）由题可得：每天的销售量是千克 （2）设需要每千克降低x元根据题意

34、得：解得：或当x0.5时，销售量是当x1时，销售量是每天至少售出260千克x1需要每千克降低1元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程27. 如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，ABAC6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AEBF，连接AF与CE相交于点G（1）求的度数（2）如图2，作交CE于点H，若CF4，求GH的值（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长【答案】（

35、1）60°；（2）；（3）2或【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到ABC，ACD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明ABFCAE，得到BAFACE，从而结合三角形的外角性质求解即可；（2）延长GA至点K使得AKCG，首先结合（1）的结论推出AFCCFG，得到，从而求出GF，AG，CG，再证明ADKCDG，推出DKG是等边三角形，从而求出DG，最后根据30°角的直角三角形的性质求解即可；（3）分别根据等腰三角形的定义进行分类讨论，并结合相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质求解即可【详解】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABAC，ABACBCADCD，AB

36、C，ACD是等边三角形ABCCAE，在ABF与CAE中，ABFCAE(SAS)，BAFACE，CGFGACACGGACBAFBAC60°；（2）如图所示，延长GA至点K使得AKCGBAFACE，FACGCF，GFCAFC，AFCCFG，, CF4，AC6，FGC60°，ADC60°，AGCADC180°，GADGCD180°，KADGAD180°，KADGCD，又DC=DA，ADKCDG（SAS），DKDG，KDAGDC，KDGADC 60°，DKG是等边三角形，AGDDGH60°，DGKGAKAGAGCG，DGH

37、60°， ；（3）若AM=MC，则MAC为等腰三角形，此时，取AC中点为点P，连接OP，OM，BM，MEO=60°，EO=EM，OEM为等边三角形，FGC=60°，MEO=FGC，MEAF，O为CE的中点，P为AC的中点， OP为AEC的中位线，OPAB，ABC为等边三角形，MAC为等腰三角形，P为AC的中点，由“三线合一”知，B、M、P三点共线，且BPAC，AP=PC=AC=3，ABP=ABC=30°，OEM为等边三角形，OE=OM，OEM=OME，OE=OC，OM=OC，OMC=OCM，OEM+OCM=OME+OMC，即：OEM+OCM=EMC，EM

38、C=90°，CMEM，在RtCEM中，ECM=90°-60°=30°，此时，如图所示，将AEC绕着C点逆时针旋转60°至BNC，连接MN，则ACE=BCN，NBC=60°，ECM=30°，ACE+MCB=30°， BCN+MCB=MCN=30°，MCN=MCE=30°，CE=CN，MCN=MCE，CM=CM，MCEMCN，CMN=CME=90°，E、M、N三点共线，ECN为等边三角形，NBC=ACB=60°，BNAC，BPC=90°，NBM=90°，CMN

39、=90°，BMN+CMP=90°，BMN+BNM=90°，BNM=CMP，BMNPCM， ，PC=3，BM=，在RtABP中，AP=3，ABP=30°，BP=，PM=BP-BM=，MBC=30°，OMC=90°-OME=30°，MBC+MCB=OMC+OMP，MCB=OMP，OPAB，OPC=BAC=60°，OPM=90°-60°=30°，OPMMBC，即：，OP=1，OP为AEC的中位线，AE=2OP=2；若AM=AC，则AMC为等腰三角形，如图所示，取AC中点P，连接OP，延长AO

40、交MC于Q点，由可知，EMC始终为直角三角形，EMC=90°，ECM=30°，且EM与AF始终平行，EMC=AQC=90°，AQMC于Q点，OM=OC，O点在AQ上，COQ=60°，CGF=60°， 此时O点和G点重合，CPO=CAB=60°，COQ=60°，APO=AOC=120°，APOAOC，AC=6，AP=3，AO=，RtOCQ中，OCQ=30°，设OQ=x，则CQ=x，在RtCAQ中，即：，解得：或（不合题意，舍去），由得：，解得：，OP是AEC的中位线，AE=2OP=；若AC=MC，则E点在A

41、B的延长线上，此时与E点在边AB上运动矛盾，故该种情况舍去；综上，AE2或【点睛】本题考查特殊平行四边形的动点问题，涉及到相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的运用，等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的性质，熟练综合分析是解题关键28. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴负半轴上，连接AC，BC，满足（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，已知直线：经过点B若点D为直线上一点，直线AD与直线BC交于点H，若，求点D的坐标；过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足请问是否存在这样的点M、N，使得与相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；

42、（2），；点N的坐标为（，）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）由题意利用相似三角形判定得出AFCCFG，进而得出求出点C坐标，进而利用待定系数法求解即可；（2）根据题意先设点D的坐标为，进而利用相似三角形的相似比建立方程求出m,注意分类讨论；根据题意直接利用相似三角形的性质进行分析即可，注意分类讨论.【详解】解：（1）AOCBOC90°，AFCCFG OA1，OB4OC2，点C坐标为（0，）设直线BC的解析式为把代入得解得：k=直线BC的解析式为 （2）设点D的坐标为如图1所示，作SD/y轴，AK/y轴，分别交直线BC于点S、点KOHKSHD，AHKDHS，D ，则 如图2所示，作SD/y轴，HT/y轴，分别交x轴于点S、点T