（新高考）2021届高考二轮精品专题七：数列（教师版）

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1、 本部分高考的热点主要为等差、 等比数列的基本量和性质的考查和数列求和及数列的综合问题 基本量和性质的考查常以小题的形式出现，数列求和及数列综合问题常以解答题的形式出现是高考的重点 1相关公式 等差数列的通项公式：= 1+ ( 1) 等差中项：2= ;1+ :1，若 + = + ，则+ = + (， ) 等差数列的求和公式：12nnn aaS，112nn ndSna 等比数列的通项公式：= 1;1 等比中项：2= ;1 :1，若 + = + ，则 = (， ) 等比数列的求和公式：1111nna qSqq 前项和与第项的关系：= ;1( 2) 2判断等差数列的方法 （1）定义法 ;1 = （常

2、数）( )*+是等差数列； （2）通项公式法 = + （，为常数， ）*+是等差数列； （3）中项公式法 2:1= + :2( )*+是等差数列； （4）前项和公式法 命题趋势命题趋势 考点清单考点清单 专题专题 7 7 数列数列 = 2+ （，为常数， ）*+是等差数列 3判断等比数列的常用方法 （1）定义法 1nnaqa（是不为 0 的常数， ）*+是等比数列； （2）通项公式法 = （，均是不为 0 的常数， ）*+是等比数列； （3）中项公式法 :12= :2( 0， )*+是等比数列 一、选择题 1设是数列*+的前项和，若112a ，111nnaa ，则2021=（ ） A20172

3、 B1009 C20192 D1010 【答案】B 【解析】在数列*+中，112a ，111nnaa ， 则21111aa ，32112aa ，431112aa ， 以此类推可知，对任意的 ，:3= ，即数列*+是以3为周期的周期数列， 2021 = 3 673 + 2， 因此，202131233167367467412210092SSaaSa ，故选 B 【点评】根据递推公式证明数列*+是周期数列的步骤： （1）先根据已知条件写出数列*+的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数； （2）证明:= ( )，则可说明数列*+是周期为的周期数列 2已知首项为最小正整数，公差不为零的

4、等差数列*+中，2，8，12依次成等比数列，则4的值 精题集训精题集训 （70 分钟） 经典训练题 是（ ） A1619 B2219 C26 D58 【答案】A 【解析】设公差不为零的等差数列*+的公差为d，则有0d ， 因为2，8，12依次成等比数列，1= 1， 所以有82= 2 12，即( + 7)2= (1+ )(1+ 11)，整理得192= 1， 因为0d ，所以119ad ，119d ， 因此41316311919aad ，故选 A 【点评】本题主要考了等查数列的通项公式，可以利用基本量法进行求解，属于基础题 3等比数列*+中，1+ 2= 6，3+ 4= 12，则*+的前 8 项和为

5、（ ） A90 B30(2 + 1) C45(2 + 1) D72 【答案】A 【解析】 *+是等比数列， 1+ 2，3+ 4，5+ 6，7+ 8也成等比数列， Q1+ 2= 6，3+ 4= 12， 5+ 6= 24，7+ 8= 48， 前 8 项和为1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8= 90，故选 A 【点评】本题主要考了等比数列的性质以及等比数列的通项公式，属于基础题 4若数列*+满足1120nnaa，则称*+为“梦想数列”，已知正项数列1nb为“梦想数列”，且1+ 2+ 3= 1，则6+ 7+ 8=（ ） A4 B8 C16 D32 【答案】D 【解析】由题意可知，若数列*+为

6、“梦想数列”，则1120nnaa，可得112nnaa， 所以，“梦想数列”*+是公比为12的等比数列， 若正项数列1为“梦想数列”，则1112nnbb，所以，12nnbb， 即正项数列*+是公比为2的等比数列， 因为1+ 2+ 3= 1，因此，6+ 7+ 8= 25(1+ 2+ 3) = 32，故选 D 【点评】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为12的等比数列，解题要将这种定义应用到数列1nb中，推导出数列*+为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解 5等差数列*+中，已知1+ 4+ 7= 39，3+ 6+ 9= 27，求2+ 8=（ ）

7、 A11 B22 C33 D44 【答案】B 【解析】等差数列*+中1+ 4+ 7= 39，3+ 6+ 9= 27， 1+ 4+ 7= 34= 39，3+ 6+ 9= 36= 27， 4= 13，6= 9，2+ 8= 4+ 6= 22，故选 B 【点评】本题的考点为等差中项，及等差数列的通项公式，属于基础题 6两个等差数列的前项和之比为51021nn，则它们的第 7 项之比为（ ） A4513 B31 C8027 D21 【答案】B 【解析】设两个等差数列分别为*+，*+，它们的前项和分别为， 则51021nnSnTn，11377131137713131375231325132aaaaSbbb

8、bT，故选 B 【点评】本题考查等差数列的性质，若等差数列含有奇数项，则其前项和等于项数乘以中间项，是基础题 7在等差数列*+中，1= 2018，其前n项和为，若101221210SS，则2020=（ ） A4040 B2020 C2020 D4040 【答案】C 【解析】设等差数列*+的前项和为= 2+ ，则nSAnBn， 所以nSn是等差数列 因为101221210SS，所以nSn的公差为1， 又11201811Sa ，所以nSn是以2018为首项，1为公差的等差数列， 所以202020182019 112020S ，所以2020= 2020，故选 C 【点评】本题主要考查等差数列前项和公

9、式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题 8等差数列*+的前项和为，其中352a ，414S ，则当取得最大值时的值为（ ） A4 或 5 B3 或 4 C4 D3 【答案】C 【解析】设*+公差为，由题意知115224614adad，解得11322ad ， 由等差数列前项和公式，知2152nSnn ， 对称轴为154n ，所以当 = 4时，最大，故选 C 【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算及前项和的最值问题，属于基础题 9已知数列 na的前n项和0nSAqnB q，则“AB ”是“数列 na是等比数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也

10、不必要条件 【答案】B 【解析】当0AB时，0nS ，0na ， na不是等比数列； 若数列 na是等比数列，当1q 时，nSAB， 所以02nan，与数列 na是等比数列矛盾，所以1q ，111nnaqSq， 所以11aAq ，11aBq，所以AB ， 因此“AB ”是“数列 na是等比数列”的必要不充分条件，故选 B 【点评】 （1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 （2）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断 二、填空题 10等差数列*+中，5= 9，7= 21，则10+ 11+ 12=_ 【答案】13

11、5 【解析】由已知得5+ 7= 26，所以6= 15，所以公差 = 6， 所以10+ 11+ 12= (5+ 6+ 7) + 15 = 135，故答案为 135 【点评】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题 11设数列*+中12a ，若等比数列*+满足:1= ，且1010= 1，则2020=_ 【答案】2 【解析】根据题意，数列*+满足:1= ，即1nnnaba， 则有20202020201920182201920182017112019201820171aaaaabbbbaaaaa ， 而数列*+为等比数列，则2019 2018 2017 1= (1010)2019= 1， 则20201

12、1aa， 又由12a ，则2020= 2，故答案为 2 【点评】 本题考查了等比数列的性质以及应用， 考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力， 属于中档题 三、解答题 12设等差数列*+的前n项和为，首项1= 1，且4 41= 12数列*+的前n项和为，且满足1= 1，:1= 2+ 1 （1）求数列*+和*+的通项公式； （2）求数列nnab的前n项和 【答案】 （1）= 2 1，= 3;1； （2）1133nn 【解析】 （1）设数列*+的公差为d，且1= 1， 又4 41= 12， 则1+ 2+ 3+ 4 41= (1 + 2 + 3) = 12，所以 = 2， 则= 1 + ( 1)

13、 2 = 2 1； 由:1= 2+ 1，可得= 2;1+ 1( 2)， 两式相减得:1 = 2，:1= 3( 2)， 又2= 21+ 1 = 3，所以2= 31， 故*+是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以= 3;1 （2）设1213nnnnancb，记*+的前n项和为 则0121135213333nnnTL，12311352133333nnnTL， 两式相减得：121222221133333nnnnT L， 11112212233122133313nnnnnnT ，所以1133nnnT 【点评】数列求和的方法： （1）等差等比公式法； （2）裂项相消法； （3）错位相减法； （4）分组

14、（并项）求和法； （5）倒序相加法 13已知数列*+满足31212311212121212nnnaaaaL， （1）求数列*+的通项公式； （2） 设等差数列*+的前项和为， 且21122nSnnk， 令= + 2， 求数列*+的前项和 【答案】 （1）112nna ； （2）11122nnn nT 【解析】 （1）当 = 1时，11132a，132a ； 当 2时，由31212311212121212nnnaaaaL， 得31121231111212121212nnnaaaaL， ，得111121222nnnnna ，112nna ，132a 也符合， 因此，数列*+的通项公式为112nna

15、 （2）由题意，设等差数列*+的公差为， 则221111122222nn ndddSnbnbnnnk， 11221220ddbk ，解得1010bdk， = 1+ ( 1) = 1， 由（1）知，212nnnncbaknn， 故1232311111232222nnnTccccn LLL 111111221122212nnn nn n 【点评】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于n na b型数列，其中*+是等差数列，*+是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于*+ +型数列，利用分组求和法； （4）对于11nna a型数列，其中*+是公差为0d d

16、 的等差数列，利用裂项相消法求和 一、解答题 1已知数列*+满足：21*1233333nnnaaaanN （1）求数列*+的通项公式； （2）设111311nnnnbaa，求数列*+的前项和 【答案】 （1）*13nnanN； （2）11142 31nnS 【解析】 （1）因为数列*+满足：21*1233333nnnaaaanN， 高频易错题 所以，当 = 1时，113a ， 当 2时，21211333nnnaaa， 相减可得1133nna，所以13nna ， 综上可得，*13nnanN （2）因为1111111131131133nnnnnnnbaa 1131112 313131 31nnnn

17、n， 所以122311111111111231313131313142 31nnnnS 【点评】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）利用数列项与和的关系，求得通项，注意需要对首项验证； （2）将化简，利用裂项相消法求和即可 一、选择题 1公差不为 0 的等差数列*+中，23 72+ 211= 0，数列*+是等比数列，且7= 7，则68=（ ） A2 B4 C8 D16 【答案】D 【解析】等差数列*+中，3+ 11= 27， 故原式等价于72 47= 0，解得7= 0或7= 4， 各项不为 0 的等差数列*+，故得到7= 4 = 7， 数列*+是等比数列，故68= 72=16，故

18、选 D 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质 2设等差数列*+的前项和为，若396,S S S成等差数列，且2= 10，则9的值为（ ） A28 B36 C42 D46 【答案】B 精准预测题 【解析】396,S S S成等差数列， 29= 3+ 6， 设*+的公差为，则1119 83 26 52936222adadad，解得16ad ， Q2= 10，2= 1+ = 6 + = 5 = 10， = 2，112a ， 919 89362Sad，故选 B 【点评】本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式，考查学生的运算求解能力，求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式，并灵活运用，属于

19、基础题 3设等差数列 na的前n项和为nS，且0na ，若533aa，则95SS（ ） A95 B59 C53 D275 【答案】D 【解析】依题意，19951553992552aaSaaaSa， 又533aa，95927355SS，故选 D 【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题 4若等差数列*+的公差为d，前n项和为，记nnSbn，则（ ） A数列*+是等差数列，*+的公差也为d B数列*+是等差数列，*+的公差为 2d C数列*+ +是等差数列，*+ +的公差为d D数列* +是等差数列，* +的公差为2d 【答案】D 【解析】由题可得= 1

20、+ ( 1)，112nn nSnad， 则11111222nnSnbadaddnn是关于n的一次函数， 则数列*+是公差为12d的等差数列，故 A，B 错误； 由133222nnabaddn是关于n的一次函数，得数列*+ +是公差为32d的等差数列，故 C 错误； 又1122nnabddn 是关于n的一次函数，则数列* +是公差为12d的等差数列，故 D 正确， 故选 D 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等差数列*+，= + 是关于的一次函数，公差为p，熟练掌握等差数列通项公式的函数性质是解题的关键，属于基础题 5等比数列*+的首项1= 4，前n项和为，若6= 93，则数列l

21、og2的前 10 项和为（ ） A65 B75 C90 D110 【答案】A 【解析】*+的首项1= 4，前项和为，6= 93， 634 14 1911qqqq ，解得 = 2， = 4 2;1= 2:1，log2= + 1， 故数列log2的前10项和为10 2 1123411652 L，故选 A 【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 6 （多选）设*+是等差数列，是其前项的和，且5 8，则下列结论正确的是（ ） A 0 B7= 0 C9 5 D6与7S均为的最大值 【答案】BD 【解析】根据题意，设等差数列*+的公差为，依次分析选项

22、： *+是等差数列，若6= 7，则7 6= 7= 0，故 B 正确； 又由5 0，则有 = 7 6 5，即6+ 7+ 8+ 9 0，可得2(7+ 8) 0， 又由7= 0且 0，则8 0，必有7+ 8 0，显然 C 选项是错误的； 5 8，6与7S均为的最大值，故 D 正确， 故选 BD 【点评】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题 二、填空题 7数列*+中，1= 2，:= ，若155231122kkkaaaL，则 =_ 【答案】3 【解析】因为1= 2，:= ，所以:1= 1，所以112nnaaa， *+是等比数列，公比为 2，所以= 2 因为2311132155231

23、12222222kkkkkkkkaaaLL， 所以 = 3，故答案为 3 【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用，属于基础题 8 在等差数列 na中， 若1216aa，51a ， 则1a _； 使得数列 na前n项的和nS取到最大值的n_ 【答案】9，5 【解析】设等差数列 na的公差为d， 1216aa，51a ，1216ad，141ad， 解得19a ，2d 92111 2nann 令11 20nan，解得111522n 使得数列 na前n项的和nS取到最大值的5n 故答案为 9，5 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中

24、档题 三、解答题 9已知数列*+是等差数列，其前n项和为，且3= 12，8= 16数列*+为等比数列，满足1= 2，35= 2564 （1）求数列*+，*+的通项公式； （2）若数列*+满足111nnnnca ab，求数列*+的前n项和 【答案】 （1）= 2，= 4； （2）1114134nnnTn 【解析】 （1）设数列*+的公差是d，数列是*+的公比是q 由题意得117163312adad，所以12ad，所以= 2； 1= 2= 4，35= 2564 4= 256， 341644bqqb，= 4 （2）由（1）知111111 111414414nnnnnnca abn nnn， = 1+

25、 2+ 3+ + 121 1111 1111 1114 1244 234414nnnL 121111111111412231444nnnLL 11144111141413414nnnnnn 【点评】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于n na b结构，其中*+是等差数列，*+是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于*+ +结构，利用分组求和法； （4） 对于11nna a结构， 其中*+是等差数列， 公差为， 则111111nnnna adaa， 利用裂项相消法求和 10已知*+是等差数列，其前项和为若1 1，2 2，3 2成等比数列，5= 3(1

26、+ 4) （1）求*+的通项公式； （2）设= + 2数列*+的前项和为，求 【答案】 （1）= 2； （2）41413nnTn n 【解析】 （1）设等差数列*+的公差为， 因为1 1，2 2，3 2成等比数列，所以(1+ 2)2= (1 1)(1+ 2 2)， 即2 2 = 1 2， 因为5= 3(1+ 4)，所以1115 45332adaad，即1= ， 由得1= 1， = 1或12a ， = 2 当1= 1， = 1时，1 1 = 0，与1 1，2 2，3 2成等比数列矛盾， 所以12a ， = 2，所以= 2 + ( 1) 2 = 2 （2）由（1）得= + 2= 2 + 22= 2 + 4， 所以1241 422246244421 4nnnnnTn 41413nn n 【点评】数列求和的常用方法： （1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和 （2）错位相减法：若*+是等差数列，*+是等比数列，求11+ 22+ （3） 裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差， 相消剩下首尾的若干项 常见的裂项有11111n nnn，11 11222n nnn，111121 212 2121nnnn等 （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和 （5）倒序相加法